華東師大版八年級(jí)：命題及全等三角形的判定

1、，曾例題講解【命題、定理與證明】 例L下列語(yǔ)句中，不是命題的是（DB.對(duì)頂角相等A.兩點(diǎn)之間線段最短9C.不是對(duì)頂角不相等D.過(guò)直線AB外一點(diǎn)P作直線AB的垂線例2.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的條件是（DA.垂直C.同一條直線B.兩條直線互相平行D.兩條直線垂直于同一條直線例3.命題“等角的補(bǔ)角相等”的條件是 兩個(gè)角相等 ，結(jié)論是這兩個(gè)角的補(bǔ)角也相等例4.下面給出的四個(gè)命題中，假命題是（D ）A.如果a =3,那么|a |=3B.如果產(chǎn)=4,那么x=±2C.如果（n 1） （n+2） =0,那么1=0 或a+2 = 0D.如果（”-1尸+（+2尸=0,那么。=1或8=

2、-2例5.下列各數(shù)中，可以用來(lái)證明命題“任何偶數(shù)都是8的整數(shù)倍”是假命題的反例是（D ）A. 17B. 16C. 8D. 4例6.下面關(guān)于基本事實(shí)和定理的聯(lián)系說(shuō)法不正確的是（B ）A.基本事實(shí)和定理都是真命題B.基本事實(shí)就是定理，定理也是基本事實(shí)C.基本事實(shí)和定理都可以作為推理論證的依據(jù)D.基本事實(shí)的正確性不需證明，定理的正確性需證明例7.如圖，點(diǎn)E, F, M, N分別在線段AB, AC, BC上，Zl + Z2 = 180° , Z3=ZB,求證：CENF.r解：VZ3=ZB, ABC/EM,，N1 = NBCE,XN1+N2 = 18O。，/ *A ZBCE+Z2 = 180&

3、#176; , ACE#NF/ l 解：VDE±AC, BC±AC, ，DEBC, ，N1 = NBCD,VZ1+Z2 = 18O° , AZBCD+Z2 = 180° ,，CDHF, A ZHFB=ZCDB,CD_LAB, AZCDB=90° , A ZHFB=ZCDB=90°ISAS1例 1.如圖，己知 AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE.A. ZBAD=ZCAEB. AABDAACEC. AB=BCD. BD=CE例2.如圖，AC與BD相交于點(diǎn)0,若0A=0D,用“A AR=DCA,A HF ± AB/7

4、7BHC下列結(jié)論不正確的是（C'4a BCSAS”證明AOBgDOC,還需條件（B ）AD例 8.如圖，已知 AC_LBC, CD±AB, DE±AC, Zl + Z2 = 180° ,求證：HF±AB.B. OB=OCC. ZA=ZDD. ZAOB=ZDOC例3.如圖，已知B為線段CD的中點(diǎn)，AB=EB, Z1 = Z2,求證：N 解：VZ1 + ZEBD=18O° , Z2+ZABC = 180° , N1 = N2,Z. NABC=NEBD,又 BC=BD, AB=EB,AAABCAEBD（SAS）,，ZA=ZE例4.如

5、圖，AD是aABC的中線，E, F分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn),BCA=ZE.V C B D且DE=DF.連結(jié)BF, CE,下列說(shuō)法:CE=BF；AABD和4ACD面積相等：BFCE：BDFgA£DE,其中正確的有（D ）AA. 1 個(gè)IC. 3 個(gè)I例5.如圖，A, F, C, D四點(diǎn)在一直線上，AF= 求證：（DAABCADEF：（2） ZCBF=ZFEC.解：（1）;ABDE, A ZD=ZA,zA）.4 個(gè)D c=CD, ABDE,且 AB=DE.EDAB9VAF=DC.，AF+FC=FC+DC, AAC=DF,DE=AB, 二ABC烏DEF(SAS)(2)由(D知ABCgZ

6、XDEF,，EF=BC, NEFC=NBCF,又FC=CF, AAEFCABCF, AZCBF=ZFECI ASA例L如圖，下列各組條件中，能判定ABCgZWEF的是(C )A. AB=DE, BC=EF, ZA=ZDB. NA=ND, NC=NF, AC=EFC. ZA=ZD, NB=NE, AB=DED. NA=ND. NB=NE, ZC=ZF例2.如圖，某同學(xué)把一個(gè)三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊大小完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（D ）A.帶和去B.帶去C.帶去D.帶去例3.如圖，NA=ND, AE=DC, FEBC,請(qǐng)問(wèn)圖中有哪幾對(duì)三角形全等？并任選其中一對(duì)給予證明.

7、解：有三對(duì)，ACBDEF, ABCEAFEC. AABEADFC,可選擇用ASA證ACBDEF,證明略例 4,如圖，在 RtZkABC 中，ZACB=90° , BC=2 cm, CDJ_AB,在 AC 上取一點(diǎn) E,使 EC=BC,過(guò)點(diǎn) E 作EF_LAC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,若EF=5 cm,求AE的長(zhǎng).解：V ZACB=90° , CD±AB,/. ZFCE4-ZBCD=90° , ZB+ZBCD=90° ,，NFCE=NB.VEF±AC> A ZFEC=ZACB=90° ,又CE=BC, /.ABCAFCE(A

8、SA),，AC=EF=5 cm,，AE = 3 cm.-.ABDAACE(SSS), AZBAD=Zb ZABD=Z2,VZ3=ZBAD+ZABD,，N3=N1 + N2HL例 1.如圖，ZB=ZD=90° , BC=CD, Zl=40° ,則N2=(B)A. 40°B. 50°C. 60°D. 75°例2.如圖，CD±AB, BE_LAC,垂足分別為D, E, BE與CD相交于0,且N1 = N2,為（D ）®ZB=ZC：ADOgZiAEO：BODgZkCOE：圖中有四組三角形全等.A.1個(gè)B.2個(gè)C. 3個(gè)D.

9、4個(gè)例3.如圖，在ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE_LAB于E, DFJ_AC于F,且BE=CF.求證：AD平分NBAC.在 RtABDE 和 RtZkCDF 中,BD=CD,be=cf,.RtABDERtACDF(HL),，DE=DF,在 RtAADE 和 RtZkADF 中,AD=AD>|.DE=DF,證明：:D是BC中點(diǎn)，BD=CD,9.-.RtAADERtAADF(HL)> A ZDAE=ZDAF,即 AD 平分NBACDM±AB,且DM=AC,過(guò)M作MEBC交AB于E.求證:一、一次全等1 .如圖，在aABC中，ZC=90° , D是AB上一點(diǎn), ME=

10、AB.證明：VME/7BC, A ZMED=ZB, 'NB=NMED,在AABC 和aMED 中，|/C=NMDE=90° , AC=DM,ABC四MED(AAS), AE=AB2 .如圖，ABJ_CD 于 B, CF 交 AB 于 E, CE=AD, BE=BD> 求證：CF±AD.證明：VAB1CD, Z. ZABC=ZABD=90° ,(CE=AD>在 RtABEC 和 RtZBDA 中， _BE BD .-.RtABECRtABDA(HL),，NC=NA,V ZA+ZD=90° ,NC+ND=90° ,ZCFD=18

11、0° - 90° =90c ,即 CF_LAD3 .如圖，點(diǎn) C, E 分別為AABD 的邊 BD, AB 上兩點(diǎn)，且 AE=AD, CE=CD, ZD=70° , ZECD=150° ,求ZB的度數(shù).AE=AD, 解：連接 AC.在AAEC 和ADC 中，1CE=CD>AC=AC,.-AECAADC(SSS), A ZAEC=ZD=70° ,又NECD=150° ,A ZBCE=180a - 1500 =30° , A ZB = 70° -30' =40c二、二次全等4 .如圖，AB=AD, BC=

12、CD, P 為 AC 上一點(diǎn)，求證：PB=PD.AB=AD,證明：在AABC 和 AADC 中，bC=DC, AC=AC,ABC四ADC(SSS), AZBAC=ZDAC,P4B=AD 9在aABP 和aADP 中， ZBAC=ZDAC,ap=ap,ABP絲ADP(SAS), A BP=DP5 .如圖，AB=AC, BE_LAC 于 E, CDLAB 于 D, BE, CD 交于點(diǎn) 0,求證：0B=0C.證明：CD±ABt A ZAEB=ZADC=90° ,NAEB=/ADC,9BCEAABE 和4ACD 中,ZA=ZA,D,AB=AC,.-.ABEAACD(AAS),，A

13、D=AE, NB=NC,AAB-AD=AC-AE,即 BD=CE,ZBOD=ZCOE (對(duì)頂角相等)， 在ABDO 和aCEO 中，ZB=ZC,.BD=CE,AABDOACEO(AAS), AOB=OC6 .如圖，AC_LAD, BC1BD, OE_LCD, AC=BD,求證：DE=CE.證明：ACJ_AD, BC±BD> A ZA=ZB=90','DC=CD, 在 RQADC 和 RtZBCD 中， _ AC=BD»ARtAADCRtABCD(HL), , ZACD=ZBDC,2ode=noce,在 RtzXODE 和 RtZXOCE 中，ZOED=

14、 Z0EC=90° ,|,OE=OE>ARtAODERtAOCE(MS), .DE=CE三、綜合題7.如圖，ZBAC=90° ，AB=AC, D 為 BC 上一點(diǎn)，CELAD 于 E, BF_LAD 于 F,若 CE=7, BF=4,求 EF 的長(zhǎng).解：VCEXAD, BF±AD, /. ZAEC= ZBFA=90° , 又NBAF+NEAC=90° , ZFBA+ZBAF=90° , AZEAC=ZFBA>'NAEC=NBFA, 在AABF 和aCAE 中，ZEAC=ZFBA._AC=AB> .,-ABFA

15、CAE(AAS),，AE=BF, AF=CE,VEF=AF-AE, .EF=CE-BF=7-4 = 3 8.如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90° , AC = 2AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，將一塊銳角為45。的直角三角板如 圖放置，使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A, D重合，連接BE, EC.試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系， 并證明你的猜想.BE=EC, BEXEC,證明：AC = 2AB,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AAB=AD=CD,VZEAD=ZEDA=45<> , /. ZEAB= ZEDC=135° ,VEA=ED, EABgZkEDC, ； NAEB= NDEC, EB=EC,A ZBEC=ZAED=90° , A BE=EC, BEX EC一、命題、定理與證明二、全等三角形的判定1 .三角形全等的條件，兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（邊角邊或SAS）用SAS判定三角形全等的