(完整)《3.1.1 特征值與特征向量》習(xí)題2

1、(完整)3.1.1 特征值與特征向量習(xí)題22021年12月20日 星期一 多云 文檔名稱：(完整)3.1.1 特征值與特征向量習(xí)題2文檔作者：凱帆 創(chuàng)作時(shí)間：2021.12.2s012 / 123.1.1 特征值與特征向量習(xí)題21求矩陣m的特征值和特征向量2. 已知矩陣m的一個(gè)特征值為3，求另一個(gè)特征值及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量3. 已知矩陣m，向量，.(1)求向量23在矩陣m表示的變換作用下的象；(2)向量是矩陣m的特征向量嗎？為什么？4. 已知矩陣a，設(shè)向量，試計(jì)算a5的值5. 已知矩陣a，其中ar，若點(diǎn)p(1,1)在矩陣a的變換下得到點(diǎn)p(0，3)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣a的特征值及

2、特征向量6. 已知矩陣a，若矩陣a屬于特征值6的一個(gè)特征向量1，屬于特征值1的一個(gè)特征向量2，求矩陣a，并寫出a的逆矩陣7. 已知矩陣a對(duì)應(yīng)的變換是先將某平面圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，再將所得圖形繞原點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°.(1)求矩陣a及a的逆矩陣b；(2)已知矩陣m，求m的特征值和特征向量；(3)若在矩陣b的作用下變換為，求m50.(結(jié)果用指數(shù)式表示)8. 已知二階矩陣m的一個(gè)特征值8及與其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量1，并且矩陣m對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1,2)變換成(2,4)(1)求矩陣m；(2)求矩陣m的另一個(gè)特征值及與其對(duì)應(yīng)的另一個(gè)特征向量2的坐標(biāo)之間的關(guān)系；(3

3、)求直線l：xy10在矩陣m的作用下的直線l的方程9. 給定矩陣m，n及向量1，2.(1)求證m和n互為逆矩陣；(2)求證1和2都是矩陣m的特征向量10給定矩陣m及向量.(1)求矩陣m的特征值及與其對(duì)應(yīng)的特征向量1，2；(2)確定實(shí)數(shù)a，b，使向量可以表示為a1b2；(3)利用(2)中的表達(dá)式計(jì)算m3，mn；(4)從(3)中的運(yùn)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么？參考答案1.【解】矩陣m的特征多項(xiàng)式f()(1)(6)令f()0，解得矩陣m的特征值11，26.將11代入方程組易求得為屬于11的一個(gè)特征向量將26代入方程組易求得為屬于26的一個(gè)特征向量綜上所述，m的特征值為11，26，屬于11的一個(gè)特征向量為，

4、屬于26的一個(gè)特征向量為.2【解】矩陣m的特征多項(xiàng)式為f()(1)(x)4因?yàn)?3為方程f()0的一根，所以x1由(1)(1)40得21，設(shè)21對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，則由得xy令x1，則y1.所以矩陣m的另一個(gè)特征值為1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為.3 【解】(1)因?yàn)?323，所以m(23)，所以向量23在矩陣m表示的變換作用下的象為.(2)向量不是矩陣m的特征向量理由如下：m，向量與向量不共線，所以向量不是矩陣m的特征向量4 【解】矩陣a的特征多項(xiàng)式為f()2560，解得12，23.當(dāng)12時(shí)，得1；當(dāng)23時(shí)，得2，由m1n2，得，得m3，n1，a5a5(312)3(a51)a523(1)23&#

5、215;2535.5【解】(1)，a4.(2)a，f()223.令f()0，得11，23，對(duì)于特征值11，解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，因此1是矩陣a的屬于特征值11的一個(gè)特征向量對(duì)于特征值23，解相應(yīng)的線性方程組得一個(gè)非零解，因此2是矩陣a的屬于特征值23的一個(gè)特征向量矩陣a的特征值為11，23，屬于特征值11，23的特征向量分別為，.6 【解】由矩陣a屬于特征值6的一個(gè)特征向量1，可知6，所以cd6，由矩陣a屬于特征值1的一個(gè)特征向量2，可知，所以3c2d2.聯(lián)立可得解得即a，a的逆矩陣a1.7【解】(1)a；ba1.(2)設(shè)m的特征值為，則由條件得0，即(3)(4)62760.解得11

6、，26.當(dāng)11時(shí)，由，得m屬于1的特征向量為1；當(dāng)26時(shí)，由6，得m屬于6的特征向量為2.(3)由b，得，設(shè)m1n2mn，則由解得所以122.所以m50m50(122)m5012m5022×650×.8【解】(1)設(shè)矩陣m，則8，故由題意得，故聯(lián)立以上兩方程組可解得故m.(2)由(1)知矩陣m的特征多項(xiàng)式f()(6)(4)821016.令f()0，解得矩陣m的另一個(gè)特征值2.設(shè)矩陣m的屬于特征值2的一個(gè)特征向量2，則m22，解得2xy0.(3)設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣m的作用下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則，即代入直線l的方程并化簡(jiǎn)得xy20，即直線l的方程為xy20.9 【證明】(1)因?yàn)閙n，nm，所以m和n互為逆矩陣(2)向量1在矩陣m的作用下，其象與其共線，即，向量2在矩陣m的作用下，其象與其共線，即，所以1和2都是m的特征向量10.【解】(1)矩陣m的特征多項(xiàng)式f()(2)(1)30(7)(4)令f()0，解得矩陣m的特征值14，27.易求得屬于特征值14的一個(gè)特征向量1，屬于特征值27的一個(gè)特征向量2.(2)由(1)可知ab，解得a1，b3，所以132.(3)m3m3(132)m3