高等數(shù)學(xué)課件：5-2微積分基本定理

1、一、引例：變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與一、引例：變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與 速度函數(shù)之間的聯(lián)系速度函數(shù)之間的聯(lián)系 三、牛頓三、牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 第二節(jié)微積分基本定理二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 第五五章 一、引例一、引例 在變速直線運(yùn)動(dòng)中在變速直線運(yùn)動(dòng)中，）知）知（)()(1tvts 物體在時(shí)間間隔物體在時(shí)間間隔,21TT內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程.)()(12TsTs 即即問(wèn)題問(wèn)題0lim iinitv)(1 總位移總位移ttvTTd)(21 )()(d)(11TsTsttvTT ),()( xfxF )()(d)(aFxFttfxa )(d)(dd21Tvtt

2、vTTT ）（ )(d)(ddxfttfxxa ,1TT考慮考慮x二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xattfxd)()( )dbaf tt ，( )dxaf tt ,bax ,bax 幾何意義幾何意義圖中陰影部分面積圖中陰影部分面積1.引入引入)(xfy xbaoy)(x上連續(xù)，上連續(xù)，在在設(shè)設(shè),)(baxf2. 定理定理1(微積分第一基本定理）微積分第一基本定理）則則( )( )dxaxf tt 證證()axb可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且d( )( )ddxaxf ttx ，( )f x ,bax 時(shí)，時(shí)，),(10bax xattfxd)()( hxatt

3、fhxd)()( xattfd)( hxxttfd)(）（xhx)( hxxttfd)()(xfy xbaoyxhx)(x,)(上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)baxf則則hxhx)()( hxxttfhd)(1)(f hxx hxhxh)()(lim0 )(lim0fh )(xf ）（xhx)( hxxttfd)(, 0 h取取).()(afa , 0 h取取).()(bfb #)(xfy xbaoyxhx)(x( )f x , xa b ( ) , f xC a b xattfxxd)(dd)(需證需證)( x 故故時(shí)，時(shí)，ax 02時(shí)，時(shí)，bx 03積分和求導(dǎo)互為逆運(yùn)算積分和求導(dǎo)互為逆運(yùn)算3. 變限

4、積分求導(dǎo)問(wèn)題變限積分求導(dǎo)問(wèn)題 bxttfx)(d)(dd3）（ xattfxd)(dd1 ）（)(xf )(d)(dd2xattfx）（)()(xxf )()(d)(dd4xxttfx）（)()()()(xxfxxf ） )()(d)(d)(xaaxttfttf )()(d)(xxttf（因（因)()(xxf 例例1解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；）（）（ttxxad2cos12 ttxbxd1123 ）（）（ ）（）（x1xtt 22cos22cos x ）（）（x2xtt 311311x ttxxxadsin32 ）（）（2)dsin(3xxattxx ）（）（ xatt dsi

5、n22sin xx 例例2解解texxatd1223 ）（）（ttxxxd)1ln(2322 ）（）（ ）（）（x1xex243 ）（）（x2xxxx2)1ln(3)1ln(426 )sin(2cosxex 例例3 求求0lim xItextd1cos2 2x解解0lim xI00 x2e21 例例4 確定常數(shù)確定常數(shù) a , b , c 的值的值, 使使).0(d)1ln(sinlim20 ccttxxaIxbx解解,0sin0 xxax時(shí),因因,0 c.0 b得得00)1ln(coslim20 xxaIx cxxax 20coslim故故.1 a又由又由221cos1xx, 得得.21 c

6、（c 0） ttftxfxd)()(0 例例5 證明證明 )(xF在在),0( 內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加 . 證證 )(xF 20d)(ttfx ttfxfxxd)()(0 20d)(ttfx ttfxfxd)()(0 )(tx 0只要證 20d)(ttfx xfx)()( )(xf)0(x 只要證：只要證：( )0Fx ,0)(,),0)( xfxf且且內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)ttftxd)(0 ttfxd)(0 .)0)(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加，（在在故故 xF三三 、原函數(shù)與不定積分的概念、原函數(shù)與不定積分的概念定義定義 1 若函數(shù)若函數(shù) F (x) 及及 f (x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足

7、)()(xfxF 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數(shù)上的原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 2. 原函數(shù)的個(gè)數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系原函數(shù)的個(gè)數(shù)及原函數(shù)之間的關(guān)系 （1）若）若 F (x) 為為f (x) 的原函數(shù)，的原函數(shù)， 則則 F (x) +C亦然；亦然；（2）若）若 F (x)、G(x) 均為均為f (x) 的原函數(shù)，的原函數(shù)， G(x)=F (x) +C則則1. 原函數(shù)的定義原函數(shù)的定義結(jié)論結(jié)論則則的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是若若,)()(xfxF原函數(shù)的一般表達(dá)式原函數(shù)的一般表達(dá)式( C ：任意常數(shù)：任意常數(shù) ) .初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)則必有原函數(shù)則必

8、有原函數(shù)3. 原函數(shù)存在定理原函數(shù)存在定理CxF )()(xf是是 （原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理）定理定理2.)(d)(的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是）（xfttfxxa 上連續(xù)，上連續(xù)，在在若若,)(baxf上上存存在在原原函函數(shù)數(shù)，在在則則,)(baxf4. 不定積分定義不定積分定義( )f x的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的稱稱為為在在( )f xI上的上的不定積分不定積分,( )d,f xx 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )記作記作原原函函數(shù)數(shù)( )F xC 在區(qū)間在區(qū)間 I 上

9、上，定義定義 2即即( )d( )f xxF xC 注注),()()(xFxfdxxf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)只只需需求求，求求 否否正正確確，只只需需檢檢驗(yàn)驗(yàn)：所所求求不不定定積積分分的的結(jié)結(jié)果果是是)()(xfCxF ？如如 xxdsinCx cosCxFxxf )(d)(不可丟不可丟 !)cos( Cxxsin 例例6 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程解解 xy2 xxyd2 Cx 2曲線過(guò)點(diǎn)曲線過(guò)點(diǎn) ( 1 , 2 ) ,C 2121 C12 xyyx

10、o)2, 1 ().(xfy 四、不定積分的性質(zhì)四、不定積分的性質(zhì)1. .不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)不定積分運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1 （互逆運(yùn)算）（互逆運(yùn)算）)()d)(ddxfxxfx 即即（或微分）運(yùn)算的互逆關(guān)系（或微分）運(yùn)算的互逆關(guān)系 ),()(dd) 1 (xfCxFx CxFxxf)(d)(xxfxxfd)()d)(d( 亦亦即即抵消抵消與與 d,)(d)()2( CxFxxF.)()(d CxFxF相相差差一一個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)抵抵消消與與,d 2. 線性運(yùn)算性質(zhì)線性運(yùn)算性質(zhì) xxfkd)(1 ）（xxgxfd)()(2 ）（ xxfkd)( xxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)2例例7).(,cos2

11、1)()(0, 1)0(, 0)()()(xfxxFxfxFxFxfxF求求時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)?shù)牡脑瘮?shù)數(shù)，為為設(shè)設(shè) 解解)()(xfxF 依題設(shè)，知依題設(shè)，知xxFxFcos)()(2 ,cos )(2xxF 即即xxxFdcos)(2 Cx sin, 1, 1)0( CF得得由由0)( xF又又1sin)( xxF.1sin2cos)( xxxf故故 xkd)1( k 為常數(shù)為常數(shù))Cxk xxd)2(Cx 111 xxdCx ln時(shí)時(shí)0 x)1( )ln()ln( xxx1 )( x11 x五、五、 基本積分表（基本積分表（）積分表積分表（）續(xù)續(xù)1 21d)3(xxCx arctan x

12、xdcos)4(Cx sin xx2cosd)5( xxdsec2Cx tan（或（或）Cx cotarc 21dxxCx arcsin（或（或）Cx cosarc xxdsinCx cos xx2sind xxdcsc2Cx cot211x ）（xarctanx2sec ）（xtan積分表積分表（）續(xù)續(xù)2 xxxdtansec)6(Cx sec xxxdcotcscCx csc xexd)7(Cex xaxdCaax ln2shxxeex Cx ch xxdchCx sh xxdsh)8(2chxxeex xxtansec ）（xsecxa ）（aaxln例例8xxxxd)1cos32(12

13、 ）（xxxxxxd1dcos3d122 Cxxx 1sin3ln2xexxd)5(22 ）（xexxd)25)2( )2ln()2(eex 2ln25x C 由線性性由線性性Caaxaxx lnd例例9xxxd)2(1 ）（ xxxxd2d2123Cxx 23253452 3d2xxx）（xxd34 134 Cx 313C 134x小小結(jié)結(jié)2 套用基本積分公式套用基本積分公式（基本積分法）（基本積分法）1 拆項(xiàng)、整理（用分配律、線性性）拆項(xiàng)、整理（用分配律、線性性）Cxxx 1d1xxxxxd)1(1122 ）（xxxxxd)1()1(22 xxd112 xxd1 xarctan Cx ln

14、分子迎合分母分子迎合分母例例10 xxxd1224 ）（xxxd11)1(24 xxxxd11)1)(1(222 Cxxx arctan313 221dd)1(xxxx（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母（有理函數(shù)的積分）分子迎合分母小結(jié)小結(jié)例例11 xxdcot12）（xxd1csc2 ）（x2csc ）（xcot xx cotC xxxxdsincos2cos2 ）（xxxxxdsincossincos22 xxxdsincos）（Cxx cossin用三角公式變形用三角公式變形 分子迎合分母分子迎合分母例例12 ，已知已知0,0,sin)(xxxxxf解解.d)(xxf 求求)(lim0 xf

15、x 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在)()( xf上上的的原原函函數(shù)數(shù)一一定定存存在在，在在)()( xf)(lim0 xfx ,0)0( f分析分析先求先求 f (x) 的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù) F(x)，.)(d)( CxFxxf 0,20,cos)(2xcxxxxF有有 0,0,sin)(xxxxxf 處處連連續(xù)續(xù)，在在因因0 xxF 0, 120,cos)(2xxxxxF)(lim0 xFx ）（xFx0lim),0(F, 1 c得得從從而而)( 為為待待定定常常數(shù)數(shù)c）存在，）存在，（ 0F 0, 120,cos)(2xxxxxF xxfd)(CxF )( 0,120,cos2xCxxCx六、牛頓

16、六、牛頓 萊布尼茨公式萊布尼茨公式上連續(xù)，上連續(xù)，在在設(shè)設(shè),)(baxf)()(d)(aFbFxxfba ( 牛頓牛頓 - 萊布尼茨公式萊布尼茨公式) 證證 由定理由定理 2,)(d)(的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是xfxxfxa 故故CxxfxFxa d)()(,ax 令令, )(aFC 得得)()(d)(aFxFxxfxa ,bx 再令再令得得)()(d)(aFbFxxfba 記作記作 )(xFab定理定理3函數(shù)函數(shù) , 則則的一個(gè)原的一個(gè)原是是)()(xfxF#例例13 3121d1xxI）（xarctan 13 )1arctan(3arctan 3 127 )4( xxI0d2cos12

17、 ）（xxdcos202 xxdcos20 20dcos2xxdcos2 xxsinsin2220 xx 22 例例14 求曲線求曲線, 0sinxy在在 的面積的面積 . 解解 xxA0dsinxcos 01 1 2 yoxxysin軸所圍成軸所圍成上與上與x例例15 汽車以每小時(shí)汽車以每小時(shí) 36 km 的速度行駛的速度行駛 ,速停車速停車,2sm5 a解解 （1）先求剎車后車速及停車時(shí)刻）先求剎車后車速及停車時(shí)刻t1初速度初速度 0v)(10sm )(sm3600100036 減速行駛速度減速行駛速度tavtv 0)(t510 ,0510)( ttv令令得停車時(shí)刻得停車時(shí)刻(s)21 t

18、 20d)(ttvs 20d)510(tt 22510tt (m)10 02)(36hmk剎車剎車, , 問(wèn)剎車距離問(wèn)剎車距離? 到站需要減到站需要減以等加速度以等加速度（2）剎車距離）剎車距離例例16解解 . 21, 2, 10,2)(xxxxf設(shè)設(shè))20(d)(0 xttfxx）（;21）（）求）求（;2）（）求）求（x.3）的連續(xù)性）的連續(xù)性（）討論）討論（xttfd)()2(120 ）（ttd210 td221 211022tt 3 解（續(xù)）解（續(xù)）時(shí)，時(shí)，）（1 , 02 xttfxxd)()(0 ttxd20 2x ttfxxd)()(0 ttd210 txd21 xtt11022

19、 12 x . 21, 12, 10,)(2xxxxx故故）可導(dǎo)，）可導(dǎo)，（的連續(xù)性得，的連續(xù)性得，）由）由（xxf)(3.)(連續(xù)連續(xù)故故x時(shí)，時(shí)，（2 , 1 xxt02 . 21, 2, 10,2)(xxxxf設(shè)設(shè)ttfxxd)(0 ）（例例9)20( x內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)）（)()(xfxF 1. 微積分基本公式微積分基本公式 xxfbad)()()(aFbF 牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式2. 變限積分求導(dǎo)公式變限積分求導(dǎo)公式 xattfxd)(dd1 ）（)(xf )(d)(dd2xattfx）（)()(xxf 3. 不定積分的概念不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不

20、定積分的定義 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 基本積分表基本積分表 4. 直接積分法直接積分法:恒等變形恒等變形 基本積分公式基本積分公式常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式利用三角公式 , 代數(shù)公式代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)思考題思考題1. 若若則則的原函數(shù)的原函數(shù)是是,)(xfex d)(ln2 xxfx提示提示，xe )()( xexfxeln )(ln xfx1 Cx 2212. 求下列積分求下列積分.cossind)2(;)1(d)1(2222 xxxxxx提示提示)1(1)1(1)1(2222xxxx xxxx2222cossincossin

21、1)2( xx22cscsec xx22cossin 22111xx )(2x 2x 例例2-1火車進(jìn)站時(shí)火車進(jìn)站時(shí),需要逐漸減速需要逐漸減速, 設(shè)火車減速時(shí)的設(shè)火車減速時(shí)的速度隨時(shí)間的變化為速度隨時(shí)間的變化為ttV311)( (公里公里/分分)問(wèn)火車應(yīng)在距離站臺(tái)多遠(yuǎn)的地方開(kāi)始減速問(wèn)火車應(yīng)在距離站臺(tái)多遠(yuǎn)的地方開(kāi)始減速?解解,0t,0)311)( ttV（令令火車減速時(shí)間為火車減速時(shí)間為分分，30 t減速的路程減速的路程: cttt63112)(ts減速的總路程減速的總路程)3(s,6)(2cttts ,0)0( s由由,0 c便可以的到便可以的到:6)(2ttts )(5 .1)(公公里里 t

22、s例例4-1xxxxd618cos32 求求解解性性質(zhì)質(zhì)，得得由由不不定定積積分分的的線線性性運(yùn)運(yùn)算算xxxxd618cos32 xxxxxxd16d118dcos32 cxxx ln6arctan8sin3例例5-1xxxxxxd11232 求求xxxxxxd11332 解解xxxxd23425 xxxxxxddd23425 cxxx 1213412512113425cxxx 13127372cxxx 1372327例例 6-1xxxd13 求求解解xxxd13 xxxd1113 ）（ xxxxd1112 cxxxx 1ln2323例例7-2xxd2sin2 求求解解xxd2cos1 xxd

23、2sin2 xxxdcos21d21cxx sin212例例 8-1,e)(xxf 設(shè)設(shè) xxFxde)(和和求求原原函函數(shù)數(shù)解解 0,e0,ee)(xxxfxxx,),(上上連連續(xù)續(xù)在在 存存在在，從從原原函函數(shù)數(shù))(xF分析分析的的一一個(gè)個(gè)，可可先先求求為為求求)(d)(xfxxf 原函數(shù)原函數(shù) F(x)，則有，則有.)(d)( CxFxxfe,0( )e,0 xxxF xcx)( 為為待待定定常常數(shù)數(shù)ce,0( )e,0 xxxF xcx)( 為為待待定定常常數(shù)數(shù)c 處處連連續(xù)續(xù)，在在因因0 xxF)(lim0 xFx )(lim0 xFx ),0(F11 c 得2.c 即e,0( )e

24、2,0 xxxF xx xxde可驗(yàn)證：可驗(yàn)證：存在，且存在，且)0(F (0)(0)1Ff e,0e2,0 xxCxCxRxxfxF ，從而從而)()( xxfd)(CxF )(備用題備用題解解1. 設(shè)設(shè),*1)(d)(2202）（ xxftf)(xf可導(dǎo)，且滿足方程可導(dǎo)，且滿足方程).(xf求求（*）對(duì)）對(duì)x求導(dǎo)：求導(dǎo)：xxf2)(22 xxf2)( 2 ，得，得令令2xu ，2)()( ufuf xuufufd2d)()( ,2)(lnCuuf Cueuf 2)(,21ueC.)(21xeCxf 故故得：得：），取），取由（由（0* x1)0(0 f11 C.)(2xexf 3234)(

25、2 xxxf解解設(shè)設(shè),d)(2d)()(20102 xxfxxfxxxf求求).(xf定積分為常數(shù)定積分為常數(shù) ,d)(10axxf 設(shè)設(shè)bxxf 20d)(abxxxf2)(2 , 則則 10d)(xxfa 33x 22bx ax2 01 20d)(xxfb 33x 22bx ax2 02ab2231 ab4238 ,31 a34 b故應(yīng)用積分法定此常數(shù)故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .2.3.求求解解 20dsin2sinnxxnxI的遞推公式的遞推公式(n為正整數(shù)為正整數(shù)) . 由于由于,dsin)1(2sin201 nxxxnI因此因此 1nnII 20d)12cos(2xxn 20dsinsi

26、n)12cos(2xxxxn12)1(21 nn1 nnII12)1(21 nn所以所以),3 ,2( n2dcos2201 xxI其中其中4. 解解 ，設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù),0)(baxxf 證明：證明：, 0d)(10 xxfba若若; 0)( xf則則, 0)(20 xf若. 0d)( xxfba則則（反證法）（反證法）01),(0bax 假設(shè)有假設(shè)有. 0)(0 xf使使連續(xù)，得連續(xù)，得由由)(xf).(0)(00 xxxkxf , 0)( xf又又 baxxfd)(xxfxaxxbxd)(0000 xxfxxd)(00 , 02 k, 0d)( baxxf得得.矛盾矛盾. 0)( x

27、f故故4.證（續(xù)）證（續(xù)） ，設(shè)連續(xù)函數(shù)設(shè)連續(xù)函數(shù),0)(baxxf 證明：證明：, 0d)(10 xxfba若若; 0)( xf則則, 0)(20 xf若. 0d)( xxfba則則（反證法）（反證法）02，假設(shè)假設(shè)0d)( baxxf，又知連續(xù)函數(shù)又知連續(xù)函數(shù),0)(baxxf 知，知，由由01，則則0)( xf.矛盾矛盾. 0d)( xxfba故故例例1-11-1解解).0(;0, 00,d)1(e)(202fxxxtxfxt 求求若若 )0(f00d)1(e1lim0202 xtxxtx)(002031elim2xxx .31 2203limxxx 例例1-21-2解解0ddsin)(012 xytetttxyyt由由方方程程設(shè)設(shè)所確定，所確定，.ddxy求求求求導(dǎo)導(dǎo)，得得將將方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x即即, 0ddsin2 xexyyy.sindd2yeyxyx 例例1-31-3解解求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) xttxfxF0d)()()2(d)()(0 xttfxxF)(d)(0 xxfttfx xttxfxF0d)()(例例2-22-2證明證明為為奇奇函函數(shù)數(shù)，)(xf證明證明內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且單單調(diào)調(diào)增增，在在),( .d)()(0 xtttfxF為為奇奇函函數(shù)數(shù)；)(xFut 令令)1)()()( xfxxxf xtttfx