圓錐曲線新題型及定點(diǎn)問題分析

1、高三沖刺講義：圓錐曲線新題型及定點(diǎn)問題分析圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容合熱點(diǎn),強(qiáng)，對學(xué)生邏輯思維能力、轉(zhuǎn)化思想與劃歸思想的應(yīng)用。研究這些2類問題；計(jì)算能力要求很高，這些問題重點(diǎn)考查學(xué)生方程思想、定點(diǎn)問題與定值問題是這類題目的典型代表,知識綜合性較函數(shù)思想、卜面我們就著重或形在圓錐曲線中，有一類曲線系方程， 對其參數(shù)取值不同時(shí)，曲線本身的性質(zhì)不變， 態(tài)發(fā)生某些變化，但其某些固有的共同性質(zhì)始終保持著，這就是我們所指的定值定點(diǎn)問題。 圓錐曲線中的幾何量，有些與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值定點(diǎn)問題，她涵蓋兩類問題，懂曲線景觀定點(diǎn)問題；二是動(dòng)曲線的某些幾何量的斜率、長度、角度、距

2、離、面積等為常數(shù)問題。在幾何問題中，有些幾何量與參變數(shù)無關(guān)，即定值問題，這類問題求解策略是通過應(yīng) 有賦值法找到定值，然后將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的推導(dǎo)、論證定值符合一般情形。.對于這類所以在圓錐曲線的綜合性問題里，定點(diǎn)定值問題往往是我們學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn) 問題的學(xué)習(xí)，通常有兩種處理方法 從特殊人手，求出定點(diǎn)或定值，再證明這個(gè)點(diǎn) （值）與變量無關(guān). 直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算中消去變量：從而得到定點(diǎn) （定值）： 而第二個(gè)方法又是我們深入且歸納的重點(diǎn)方法，其中又包括：i、通過定義代入化簡；2、通過平面幾何知識或三角知識代入；3、通過韋達(dá)定理化簡;下面我們就來介紹這些題型：題型:通過代入化簡得定值已知P(xo,

3、 yo)為橢圓2J i上的一點(diǎn)，其中FF2為橢圓的左右焦點(diǎn); b求證:PFia CXo,PFiacXo 0a證明:PFi,(X° C)22y。2Xo22cxo cb2b2 22 Xoacxo aCa -Xoa同理得證:PF1 ac xoa題型二：通過平面幾何知識化簡得到22例2:已知橢圓E的方程為 上43, , 一 2 直線l與圓X3相切于點(diǎn)Q,且Q在y軸的右側(cè)，設(shè)直線l交橢圓E于不同兩點(diǎn)A(xi, yi), B(X2, y2).（1）若直線l的傾斜角為求直線l的方程;(2)求證：|AF | |AQ| | BF | | BQ |.3 c提示：用代入法轉(zhuǎn)化 AF, yi 3 -X2 4

4、AQ=VOA2 r2 ；從而化簡出AFAQ是一個(gè)常值。解(1)設(shè)直線l的方程為ym,則有ImJ .266又切點(diǎn)Q在y軸的右側(cè)，所以m 爬,所以直線l的方程為y x J6(2)因?yàn)?AOQ為直角三角形，所以|AQ| JOA2 OQ2 Jx： y2 322又 x- Y- 1 得 |AQ| 1x1432 x 221| AF | J(xi 1)2 yi2又 x-< 1 得 | AF | 2 x1432所以 | AF | |AQ| 2 ,同理可得 | BF | | BQ | 2所以 |AF| |AQ | | BF | |BQ|題型三：通過定義化簡得到：例3：某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案(

5、陰影區(qū)域)"，其中AC、BD是過拋物線 焦點(diǎn)F的兩條弦，且其焦點(diǎn)F(0,1) , AC BD0 ,點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，記EFA ,其中為銳角.(1)求拋物線方程；/C、+、丁 y 2(cos 1)(2)求證： AF -2.sin(3)如果使“蝴蝶形圖案”的面積最小，求第(3)問提示：|AF 絲曳n, |DF sin想想BF和DF如何參加他們也可以寫出來。的大小2(1 sin )2；cos之后面積問題就轉(zhuǎn)化為三角求最值問題了。解析：(1)由拋物線 焦點(diǎn)F(0,1)得,拋物線 方程為x2 4y(2)設(shè) AF m ,則點(diǎn) A( msin ,mcos 1)所以，(msin )2 4(1 mco

6、s ),既 m2sin24mcos 4 0即 n2(cos 1)解得 AF-2-；sin(3)同理： BF 2(1 羋 ) , DF cos“蝴蝶形圖案”的面積 S S AFB S CFD2(1 sin )2，cosCF2(1 cos )2. sin令 t sin cos , t2,11-AF BF -CF DF224 4sin cosT.?(sin cos )1 人y -x b .21 t 1 則 S 4T 4 - t2t12 1,1一 2時(shí)，即 一“蝴蝶形圖案”的面積為 8 t4題型四：通過韋達(dá)化簡得到例4、已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過M (2,1)、N (272

7、,0)兩點(diǎn)，P是E上的動(dòng)點(diǎn).(1)求OP的最大值;(2)若平行于 OM的直線l在y軸上的截距為b(b 0),直線l交橢圓E于兩個(gè)不同點(diǎn)A、B,求證：直線 MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ).解(1)設(shè)橢圓E的方程為mx2 ny2 1(m 0, n 0, m n)將M (2,1), N(2 J2,0)代入橢圓E的方程，得 4m n 1 2分8m 1-，-1斛得m , n81-, l，、，所以橢圓E的方程為2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X。，y0)，則OP2x2 y2 .22又P(x0,y°)是E上的動(dòng)點(diǎn)，所以x0 組1,得吃8 4y2,82代入上式得 OP2 x2 y2 8 3y；, y72, 72故y0

8、0時(shí)，。Pmax 26.OP的最大值為26.1(2)因?yàn)橹本€l平行于OM ,且在y軸上的截距為b,又kOM ,所以直線l的方程為21y -x b由 2 2 2 得 x2 2bx 2b2 4 0士 L 1822設(shè) A(xi,y1)、B(X2,y2),則 Xi x22b,xx2 2b 4 .又幻 一,k2紅 x1 2x22故 klk2yi 1y21x12x2 2(% 1)(x2 2) (y2 1)(x, 2)(x1 2)(x2 2)1)(x12)k20.1.1 ,一，11.又 y2x1b,y22x2b,所以上式分子(2x1b 1)區(qū) 2)(2x2bx1x2(b 2)( x一 2一 一x2) 4(b

9、 1) 2b 4 (b 2)( 2b) 4(b 1) 0 故 k1所以直線MA與直線MB的傾斜角互補(bǔ).題型五、通過類比結(jié)論得到例5：橢圓T的中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O,右焦點(diǎn)為F(2,0),且橢圓T過點(diǎn)E(2,J2).若 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓 T上，設(shè)三條邊的中點(diǎn)分別為 M、N、P .(1)求橢圓T的方程；(2)設(shè) ABC的三條邊所在直線的斜率分別為k1、k2、k3,且ki 0,i 1,2,3 .111若直線OM、ON、OP的斜率之和為0,求證：一 一 一為定值.k1 k2 k322解：(1)設(shè)橢圓T的方程為 當(dāng)5 1 ,由題意知：左焦點(diǎn)為 F'( 2,0) a b所以 2a | EF |

10、 | EF' | & 3石，22解得a 2短,b 2.故橢圓T的方程為匕L 1 .84(方法2、待定系數(shù)法) 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3, y3), M (、力)，N5&IP'F),由：為2 2yl2 8, x22 2y22 8,兩式相減，得到(x1x2)(x1 x2)2( y1y2)(y1y2)0所以k1 Xy21 x1 x21包，即工2kx1 x22 yly22 tlk1s'同理所以所以k2 1 k1 1 k12*S21!k311 J2 3(3S32( ),又因?yàn)橹本€OM ,ON , OP的斜率之和為0,S1 S2，方法2、k2

11、k3(可參照方法1給分)設(shè)直線AB : yt1k1(x sO ,代入橢圓xx2_22(1 2k1 )x4&4(t匕8)左1 2k12題型六：其他綜合問題例6：已知拋物線C :ks)k1x 2a2sl，化簡得k1x2 2y2 8,得到2ks)8 01s一3 (以下略)2t12 Px ( p 0),直線l交此拋物線于不同的兩個(gè)點(diǎn)A(x1, y1)、B(x2, y2) .(1)當(dāng)直線l過點(diǎn)M (p,0)時(shí)，證明y y2為定值;(2)當(dāng)y1y2p時(shí)，直線l是否過定點(diǎn)若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由;(3)如果直線l過點(diǎn)M (p, 0),過點(diǎn)M再作一條與直線l垂直的直線l交拋物線C

12、于兩個(gè)不同點(diǎn)D、E.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為P,線段DE的中點(diǎn)為Q,記線段PQ的中點(diǎn)為N .問是否存在一條直線和一個(gè)定點(diǎn)，使得點(diǎn)N到它們的距離相等若存在，求出這條直線和這個(gè)定點(diǎn)；若不存在，請說明理由.答案：(1) y1 y 2p2 ; (2) (-, 0) . ( 3)存在直線 x 15P 28點(diǎn)N到它們的距離相等.22斜率之和為0,若存在，求出x0的值；若不存在，請說明理由答案：(1) x y 3 0； (2) k 1； (3)存在一點(diǎn)(6,0)。例8：動(dòng)圓C過定點(diǎn)F p,0且與直線x R相切，其中P 0 .設(shè)圓心C的軌跡 的方程 22為 F(x,y) 0.(1)求 F(x,y) 0;ui(2)曲

13、線 上的一定點(diǎn)p x0,y0 (y0 0)方向向量d (y0, p)的直線l (不過點(diǎn)P)與 曲線交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線 PA、PB斜率分別為kpA、kPB,計(jì)算kPA kPB;(3)曲線 上的兩個(gè)定點(diǎn)F0(x0,y0)、Q0(x0,y0)分別過點(diǎn)P。、Q。做傾斜角互補(bǔ)的兩條直答案：(1) y22px p 0 ;(2) kAPkBPy1y0 y2y0必V。y2y。.2p-2222x1x0x2x0y1V。y2y。y1 y。2p2p2p2p線F0M、Q°N分別與曲線 交于M、N兩點(diǎn)，求證直線 MN的斜率為定值2Py2y= 2p(yi V2 2y0)=0 (yi y0)(y2 y0) k2

14、Pk MNV。 V。27 0),其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q 丁5)為橢圓上22例:9 :已知橢圓C的方程為 與 L 1 (aa 2'_*玄 八、(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;uuu(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P (x0,y°)滿足OPuuuu uuirOM 2ON，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為 1,求證：x2 2y2為定值;2(3)在(2)的條件下探究：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B ,使得|PA | PB|為定值若存在，給出證明；若不存在，請說明理由 22答案：(1) L L 1 ； (2) x02 2y02 (x1 2x2)2 2(y1 2y2)242/2222、(Xi2y1)4(

15、X2 2y2 ) 4%*2 8，丫2 20 4(x- 2y1y2)20 (定值)(3)存在點(diǎn) A(J10,0)、B( ，10,0),使得 |PA| |PB|=4J5 (定值)例10：設(shè)拋物線 C:y2 2px(p 0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l交拋物線C于點(diǎn)A(xi,yi), B(X2, y2)且 yy24 .(1)求拋物線C的方程；uuur uuu uur(2)若OE 2(OA OB) (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且點(diǎn) E在拋物線C上，求直線l傾斜角；(3)若點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線 MF ,MA,MB的斜率分別為k0,ki,k2 ,求答案：(1) y2 4x .證：當(dāng)k0為定值時(shí)，k1

16、 k2也為定值.(2)直線l的傾斜角為arctanJ2或narctan J2 .k0伊彳可得yM2k°,由(2)知 y1 y2 4a,又 y1y24 ,.,Y1 2k0y2 2k0y1 2k0 y2 2k0 k1 k2x1 1x2 1ay1 2 ay2 22ay1 y2 2kca(y1V2) 2(y y2) 8k。"2 k, x La y丫2 2a(y1428a 8kca8a 8kc2 Z24a2 8a2 428k0(a2 1)24(a1)2 k0,又k0為定值,所以k1 k2也為定值.例11：已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),D 1,0是它的一個(gè)頂點(diǎn),(1,J2)是它的一條漸近線

17、的一個(gè)方向向量.C交于A, B兩點(diǎn)(A, B都不同于點(diǎn)D ),(1)求雙曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)(3,0 )任意作一條直線與雙曲線uur uuur求證：DA DB為定值;22 對于雙曲線？：之 鄉(xiāng) 1(a 0,b 0,a b), E為它的右頂點(diǎn)，M,N為雙曲線？a b.然后在以下三個(gè)情形中選擇一個(gè)，寫出類似結(jié)論上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EM EN ,那么直線 MN是否過定點(diǎn)若是，請求出 此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由22(不要求書寫求解或證明過程).情形一：雙曲線，工a b它的左頂點(diǎn)；情形二：拋物線 y2 2 Px(p 0)及它的頂點(diǎn)；1(a 0,b 0,a b)及2情形三：橢圓與a2yy

18、 1(a b 0)及它的頂點(diǎn) b22答案：(1) x2 y-2uuu uuur1; (2) DA DB=0 為定值;(3) MN過定點(diǎn)(a(a'2 ab2)b2,0)情形一:2在雙曲線？：當(dāng) a2yr 1(a 0,b 0,a b)中, b2若E為它的左頂點(diǎn)，M,N為雙曲線？上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EME N ,則直線MN過定點(diǎn)2 2,2.a(a b )2,2a b,0).情形二：在拋物線 y22px(p 0)中，若M , N為拋物線上的兩點(diǎn)(都不同于原點(diǎn) O),且OM ON ,則直線 MN過定點(diǎn)(2p,0).情形三:22(1)在橢圓、* 1(a b 0)中，若E為它的右頂點(diǎn), a

19、bM,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E),且EMEN ,則直線MN過定點(diǎn)/ 22("0)M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn)E ),且E ME N ,則直線MN過定點(diǎn)(22a(b a )2u2a b,0)22x y(2)在橢圓 下臺 1(a b 0)中，若E為它的左頂點(diǎn), a bM,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不22(3)在橢圓與 1(a b 0)中，若F為它的上頂點(diǎn), a b同于點(diǎn)F ),且FMFN ,則直線 MN過定點(diǎn)(0,b(b2 a2)a2 b222x y (4)在橢圓 f 2r i(a b 0)中，若F為它的下頂點(diǎn)， M,N為橢圓上的兩點(diǎn)(都不 a b同于點(diǎn)F ),且F M F N ,則

20、直線MN過定點(diǎn)(0, 空一?). a2 b2【課后作業(yè)】、B是拋物線y2 2px (p>0)上的兩點(diǎn)，且 。屋OR求證：(1) A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；(2)直線AB經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)。22證明：(1)設(shè) A( x1,y1)、B( x2, y2)，則yi2pxi,y22 PX2。.22222-yiy2pxi2Px2=4px1x24py1y2,，yy24P為定值,2x#2y1y2 4p也為定值。22(2) . y2y1(y2 y1)(y2 y1)2P(x1x2)x1x2,y2 y1x2x12Py1 y2直線AB的方程為：y y1_2_22pV12p 4px y, - x

21、-y y2 % y2y, y2 % y22Py y2(x2p)，,直線AB過定點(diǎn)2p, 0)。2.已知拋物線方程為 y傾斜角互補(bǔ)。PA與PB的1 2x h,點(diǎn)A、B及點(diǎn)P(2, 4)都在拋物線上，直線2(1)試證明直線AB的斜率為定值；1解析：(1)證明：把P(2, 4)代入y-x2 h,得h=6。2y 4 k(x 2)所以拋物線方程為：y 4=k(x2),由12 ，消去y,得y x 62x2 2kx 4k 4 0。所以xaVa4k 422k2 4k2k 2,因?yàn)镻A和PB的傾角互補(bǔ)，所以kpB4xB 2k 2k代k,得2yB2k2 4kkABYbYaXaXb2k2 4k 4 8k2k 2 (

22、 2k2) 4k2。3、設(shè)拋物線y2 2px(p> 0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/ x軸，證明：直線 AC經(jīng)過原點(diǎn)。方法1：設(shè)直線方程為yk(x Tp) , A(x1,y1)，b(X2, Y2), C(-2p,y2)，k(xg2px2pyk22,p 0, - Y1Y2p ， koAy1x1y2 p 萬2p ,又 y12 y2 px1kOCyXi%A,即k也是直線OA的斜率，所以AC經(jīng)過原點(diǎn)當(dāng)k不存在時(shí)，AB±x軸，同理可證k0c kOA方法2:如圖2過A作ADL l ,D為垂足，則:AD/ EF/ BC連結(jié)AC與EF相交于點(diǎn)N

23、,則|EN | |CN |而|記|BF |AB|NF |BC|,由拋物 |AB|線的定義知：|AF|二|AD|BF|二|BC| ,IEN |I ad | |BF | | AF | | BC |AB|AB|NF |.4、已知點(diǎn)A(1,0)P、巳、巳是平面直角坐標(biāo)系上的三點(diǎn)，且AP、AP2、AP3 成等差數(shù)列，公差為d(1)若P坐標(biāo)為1. 1d 2,點(diǎn)旦在直線3x y 18 0上時(shí)，求點(diǎn)旦的坐標(biāo);(2)已知圓C的方程是(x 3)2 (y 3)2 r2(r 0),過點(diǎn)A的直線交圓于PP3兩點(diǎn),P2是圓C上另外一點(diǎn)，求實(shí)數(shù) d的取值范圍；(3)若P、P2、P3都在拋物線y2 4x上，點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)為3,求證：線段PP3的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).答案：