D5_5反常積分審斂法

1、二、無界函數(shù)反常積分的審斂法二、無界函數(shù)反常積分的審斂法第五節(jié)反常積分無窮限的反常積分無界函數(shù)的反常積分一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 反常積分的審斂法 函數(shù) 第五五章 一、無窮限反常積分的審斂法一、無窮限反常積分的審斂法定理定理1.,0)(, ),)(xfaCxf且設若函數(shù)xattfxFd)()(.d)(收斂則反常積分axxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,),上有上界在a證證:,0)(xf,),)(上單調(diào)遞增有上界在axF根據(jù)極限收斂準則知 xaxxttfxFd)(lim)(lim存在 ,.d)(收斂即反常積分axxf定理定理2

2、 . (比較審斂原理), ),)(aCxf設有分大的x且對充)()(0 xgxf, 則收斂xxgad)(收斂xxfad)(發(fā)散xxfad)(發(fā)散xxgad)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 不失一般性 ,),時設 ax)()(0 xgxf,d)(收斂若xxga有則對at xxftad)(xxgtad)(xxgad)(的是故txxftad)(因此 單調(diào)遞增有上界函數(shù) , xxfxxfatatd)(d)(lim.d)(收斂即反常積分xxfa機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,d)(發(fā)散若xxfa時有因為at xxgxxftatad)(d)(0,t令.)(必發(fā)散可見反常積分xdxga說

3、明說明: 已知xxapd11,p收斂1,p發(fā)散)0( a,)0()(作比較函數(shù)故常取AxAxgp得下列比較審斂法.極限存在 ,定理定理3. (比較審斂法 1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),)(aCxf設非負函數(shù),0) 1M若存在常數(shù)有使對充分大的xpxMxf)(;d)(收斂則xxfa,0)2N若存在常數(shù)有使對充分大的xpxNxf)(.d)(發(fā)散則xxfa, 1p, 1p. )0( a例例1. 判別反常積分xxxd1sin1342解解:的斂散性 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3421sin0 xx341x341x由比較審斂法 1 可知原積分收斂 .思考題思考題: 討論反常積分x

4、xd11133的斂散性 .提示提示: 當 x1 時, 利用 11) 1(1113333xxx可知原積分發(fā)散 .定理定理4. (極限審斂法1)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,0)(, ),)(xfaCxf且若;d)(收斂時xxfa.d)(發(fā)散時xxfalp0, 1lp0, 1lxfxpx)(lim則有: 1) 當2) 當證證:,1時當 p根據(jù)極限定義 , 對取定的,0當 x 充分大時, 必有l(wèi)xfxp)(, 即pxMxf)(0)(lM;d)(收斂可見xxfa滿足當機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .d)(發(fā)散可見xxfa,1時p可取,0必有l(wèi)xfxp)(即pxlxf)()(lNxN,0l

5、使時用任意正l (, )lN 代替數(shù)pxxpxxfxfx1)(lim)(lim注意注意: 此極限的大小刻畫了.0)(的快慢程度趨于時xfx例例2. 判別反常積分121dxxx的斂散性 . 解解:2211limxxxx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 11lim21xx1根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分收斂 . 例例3. 判別反常積分xxxd11223的斂散性 . 解解:21lim2321xxxx221limxxx1根據(jù)極限審斂法 1 , 該積分發(fā)散 . 定理定理5.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ,d, ),)(收斂）（且若axxfaCxf.d)(收斂則反常積分axxf證：證：, )()(

6、)(21xfxfx令則)()(0 xfx ,d 收斂）（axxf,d)(也收斂axx)()(2)(xfxxfxxfxxxxfaaad)(d)(2d)(而.d)(收斂可見反常積分xxfa定義定義. 設反常積分,d)(收斂xxfaxxfad)(,d)(收斂若axxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則稱絕對收斂 ; xxfad)(,d)(發(fā)散若axxf則稱條件收斂 . 例例4. 判斷反常積分)0,(dsin0abaxbxexa為常數(shù)的斂散性 .解解:,sinxaxaexbe因,d0收斂而xexa根據(jù)比較審斂原理知,dsin收斂axaxbxe故由定理5知所給積分收斂 (絕對收斂) .無界函數(shù)的反常

7、積分可轉化為無窮限的反常積分.二、無界函數(shù)反常積分的審斂法二、無界函數(shù)反常積分的審斂法,)(, ,()(的瑕點為設xfabaCxf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由定義 babaxxfxxfd)(limd)(0則有令,1tax例如1120d)1(limd)(abtttafxxfbaabtttaf12d)1(因此無窮限反常積分的審斂法完全可平移到無界函數(shù)的反常積分中來 .定理定理6. (比較審斂法 2)定理3 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為設非負函數(shù)abaCxf, ,)(,0) 1M若存在常數(shù)qaxMxf)()(;d)(收斂則xxfba,0)2N若存在常數(shù)axNxf)(.d)(發(fā)散則xxf

8、ba, 1q瑕點 ,有有利用xaxbaqd)(11,q收斂1,q發(fā)散有類似定理 3 與定理 4 的如下審斂法. 使對一切充分接近 a 的 x ( x a) .定理定理7. (極限審斂法2)定理4 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ，且若0)(, ,()(xfbaCxf;d)(,收斂時xxfba.d)(,發(fā)散時xxfbalq0, 10lq0, 1lxfaxqx)()(lim則有: 1) 當2) 當例例5. 判別反常積分.lnd31的斂散性xx解解:,1為瑕點此處x利用洛必達法則得xxxln1) 1(lim1xx111lim1根據(jù)極限審斂法2 , 所給積分發(fā)散 .例例6. 判定橢圓積分定理4 目錄 上

9、頁 下頁 返回 結束 ) 1()1)(1 (d210222kxkxx散性 . 解解:,1為瑕點此處x由于 1limx的斂21) 1( x)1)(1 (1222xkx)1)(1 (1lim221xkxx)1 (212k根據(jù)極限審斂法 2 , 橢圓積分收斂 . 類似定理5, 有下列結論:,)(d)(baaxxf收斂為瑕點若反常積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例7. 判別反常積分xxxdln10的斂散性 .解解:,d)(baxxf收斂稱為絕對收斂 . ,0為瑕點此處x,0lnlim410 xxx因, 1ln,41xxx 有的故對充分小從而 4141lnlnxxxxx411x據(jù)比較審斂法2,

10、 所給積分絕對收斂 .則反常積分 三、三、 函數(shù)函數(shù)1. 定義定義:函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 下面證明這個特殊函數(shù)在0s內(nèi)收斂 . 1121011d,dxexIxexIxsxs.) 11I討論)0(d)(01sxexsxs令;,11是定積分時當Is ,10時當 sxsxsexex1111sx11, 11s而.21收斂知根據(jù)比較審斂法I)(的反常積分含參變量s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(1xsexxsxex1lim.)22I討論2lim xx0112d xexIxs.12收斂知根據(jù)極限審斂法I綜上所述 , 21)(IIs.0上收斂在s2. 性質性質(1) 遞推公式機動

11、目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: 0d) 1(xexsxs)0()() 1(ssss(分部積分)0dxsex01d0 xexsexxsxs)(ss注意到:0d) 1 (xex1有,N n)() 1(nnn) 1() 1(nnn) 1 (!n!n(2)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證證: ,) 1()(sss.)(,0ss時當1) 1 (,0)(連續(xù)在且可證明ss)(,0ss時(3) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有時當,21s )(21(證明略)(4)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 得令,2ux 的其他形式)(s)0(d)(01sxexsxs)0(d2)(0122suuessu,12ts再令,21 ts即得應用中常見的積分) 1(2121d02ttueuut這表明左端的積分可用 函數(shù)來計算.例如,0d2ueu21212內(nèi)容小結內(nèi)容小結 1. 兩類反常積分的比較審斂法比較審斂法和極限審斂法極限審斂法 . 2. 若