華師大27.1.3_圓周角(2)

1、27.1.3 27.1.3 圓周角圓周角(2)(2)特征：特征： 角的頂點在圓上角的頂點在圓上. 角的兩邊都與圓相交角的兩邊都與圓相交.1、圓周角定義圓周角定義: 頂點在圓上頂點在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.一、舊知回放一、舊知回放:2、圓心角與所對的弧的關(guān)系、圓心角與所對的弧的關(guān)系3、圓周角與所對的弧的關(guān)系、圓周角與所對的弧的關(guān)系4、同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系、同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系一、舊知回放一、舊知回放:圓周角圓周角定理定理一條弧所對的一條弧所對的圓周角圓周角等于它所對的等于它所對的圓心角圓心角的一半的一半. .OABCOABCOABC

2、即即 ABC = AOC.ABC = AOC.211、100的弧所對的圓心角等于的弧所對的圓心角等于_，所對的圓周角等于，所對的圓周角等于_。2、一弦分圓周成兩部分，其中一部分是另一部分的、一弦分圓周成兩部分，其中一部分是另一部分的4倍，則倍，則這弦所對的圓周角度數(shù)為這弦所對的圓周角度數(shù)為_。3、如圖，在、如圖，在O中，中，BAC=32，則，則BOC=_。4、如圖，、如圖，O中，中，ACB = 130，則，則AOB=_。5、下列命題中是真命題的是（、下列命題中是真命題的是（ ）（A）頂點在圓周上的角叫做圓周角。）頂點在圓周上的角叫做圓周角。（B）60的圓周角所對的弧的度數(shù)是的圓周角所對的弧的度

3、數(shù)是30（C）一弧所對的圓周角等于它所對的圓心角。）一弧所對的圓周角等于它所對的圓心角。（D）120的弧所對的圓周角是的弧所對的圓周角是60測驗測驗AOCBBAOC1005036或問題討論問題討論問題問題1、如圖、如圖1, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么關(guān)的大小有什么關(guān)系系? ?為什么為什么? ?圖圖1問題問題2、如圖、如圖2，AB是是O的直徑，的直徑，C是是O上任一點，上任一點，你能確定你能確定BACBAC的度數(shù)嗎的度數(shù)嗎? ?BAOC圖圖2問題問題3、如圖、如圖3，圓周角，圓周角BAC =90，弦，弦BC經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O嗎？為什么？嗎？為什

4、么？B = D= EBAC =90OBACDEOBCA圖圖3問題解答問題解答1、圓周角定理的推論、圓周角定理的推論1：同圓或等圓中，同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。相等的圓周角所對的弧也相等。2、圓周角定理的推論、圓周角定理的推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。的圓周角所對的弦是直徑。用于找相等的用于找相等的角角用于找相用于找相等的弧等的弧用于判斷某個用于判斷某個圓周角是否是圓周角是否是直角直角用于判斷某用于判斷某條線是否過條線是否過

5、圓心圓心已知：如圖，在已知：如圖，在ABC中，中，AB=AC,以以AB為直徑的圓交為直徑的圓交BC于于D,交交AC于于E,求證：求證：BD=DE證明證明：連結(jié)：連結(jié)AD.AB是圓的直徑，點是圓的直徑，點D在圓上，在圓上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分頂角平分頂角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等（同圓或等圓中，相等的圓周角所對弧相等）。）。ABCDE例例2： 如圖，如圖，P是是ABC的外接圓上的一點的外接圓上的一點APC=CPB=60。求證：。求證：ABC是等邊三角形是等邊三角形APBCO證明：證明：ABC和和APC 都是都是所對的

6、圓周角。所對的圓周角。 ACABC=APC=60(同弧所對的圓周角相等）同弧所對的圓周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是所對的圓周角，所對的圓周角，BCBAC=CPB=60。ABC等邊三角形。等邊三角形。例例3: 船在航行過程中，船長常常通過測定船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁。如圖角度來確定是否會遇到暗礁。如圖A,B表示表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A,B兩點的一個圓形兩點的一個圓形區(qū)域內(nèi)，區(qū)域內(nèi)，C表示一個危險臨界點，表示一個危險臨界點，ACB就就是是“危險角危險角”，當船與兩個燈塔的夾角大，當船與兩個燈塔的夾角大于于“危險角危險角”時，就有

7、可能觸礁。時，就有可能觸礁。ABECPO弓形所含的圓周角弓形所含的圓周角C=50,問船在航問船在航行時怎樣才能保證不行時怎樣才能保證不進入暗礁區(qū)進入暗礁區(qū)?（1）當船與兩個燈塔的夾角）當船與兩個燈塔的夾角大于大于“危險角危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？時，船位于哪個區(qū)域？為什么？（2）當船與兩個燈塔的夾角）當船與兩個燈塔的夾角小于小于“危險角危險角”時，船位于哪個區(qū)域？為什么？時，船位于哪個區(qū)域？為什么？ABECPO一個圓形人工湖一個圓形人工湖,弦弦AB是湖上的一座橋是湖上的一座橋,已知橋已知橋AB長長100m.測得圓周角測得圓周角C=45求這個人工求這個人工湖的直徑湖的直徑.ABC一個圓

8、形人工湖一個圓形人工湖,弦弦AB是湖上的一座橋是湖上的一座橋,已知橋已知橋AB長長100m.測得圓周角測得圓周角C=45求這個人工求這個人工湖的直徑湖的直徑.ABCD1.如圖，在如圖，在 O中中ABC=50，則則AOC等于（等于（ ）A.50； B.80；C.90； D.100ACBOD2.如圖，如圖，ABC是等邊三角形，是等邊三角形，動點動點P在圓周的劣弧在圓周的劣弧AB上，且不上，且不與與A、B重合，則重合，則BPC等于（等于（ ）A.30； B.60；C.90； D.45CABPB鞏固練習鞏固練習3.如圖如圖,ABC的頂點的頂點A、B、C都在都在 O上上,C30 ,AB2,則則 O的半徑

9、是的半徑是 。CABO2鞏固練習鞏固練習ABCDOO1垂直垂直平行平行4隨堂練習隨堂練習 3.如圖如圖,A=50,ABC=60 ，BD是是 O的直徑，則的直徑，則AEB等于（等于（ ）A.70 B.110 C.90 D.120 CABODEBACBODE1200隨堂練習隨堂練習分析分析：同一條弧所對：同一條弧所對的圓周角有很多，圓的圓周角有很多，圓周角的位置靈活多變，周角的位置靈活多變，可以把注意力放在圓可以把注意力放在圓周角所對的弧上周角所對的弧上.4. 如圖，如圖，AB是是 O的直徑的直徑, C 和和D是圓上的兩是圓上的兩點點,若若ABD=40,求求BCD的度數(shù)的度數(shù).ABOCD40隨堂練

10、習隨堂練習例例5. 5. 如圖，如圖，ABAB為為O O的一條固定直徑，自上半圓的一條固定直徑，自上半圓上一點上一點C C，作弦，作弦CDCDABAB，OCDOCD的平分線交的平分線交O O于于點點P P，當點，當點C C在半圓（不含在半圓（不含A,BA,B兩點）上移動時，兩點）上移動時，問：點問：點P P的位置是否變化？的位置是否變化？PABDCOE分析分析 延長延長CO與與 O交于點交于點E，易證易證CA=DA，又，又CA=BE，則，則DA=BE，由，由OCD的平分線的平分線得得DP=PE，則，則AP=BP，所以，所以點點P為半圓的中點為半圓的中點. 例題講解例題講解分析分析 連結(jié)連結(jié)AO

11、，CO，由勾股，由勾股定理不難得到定理不難得到ABD為等腰為等腰直角三角形，則直角三角形，則AOC=90，又，又OA=OC，AC長度已知，則可以求出半長度已知，則可以求出半徑和直徑徑和直徑. 更一般的情況要用更一般的情況要用正弦定理來求正弦定理來求.OCBAD5. 如圖，如圖，A，B，C三點在三點在 O上，上，ADBC于于D，且，且AC=5，DC=3，AB= ，求，求 O的直徑的直徑.24隨堂練習隨堂練習 6. 6. 如圖如圖,O,O中中, ,弦弦DCDC、ABAB的延長線相交于點的延長線相交于點P,P,如果如果AOD=120AOD=1200 0,BDC=25,BDC=250 0, ,那么那么

12、P=P= ADCPBO350走進中考走進中考 7. 7.如圖如圖, ,在在O O中中,AOB,AOB的度數(shù)為的度數(shù)為m.Cm.C是是ACBACB上一點上一點,D,D、E E是是ABAB弧上不同的兩點弧上不同的兩點( (不與不與A,BA,B兩點兩點重合重合),),則則D+ED+E的度數(shù)為（的度數(shù)為（ ）A.mA.m B B C C D D1802m902m2mCBODEA走進中考走進中考 B8如圖如圖, O中中,AB是直徑是直徑,半徑半徑COAB,D是是CO的中點的中點,DE / AB,求證求證:EC=2EA.ABEODC9.如圖，如圖，OABC，AOB50，試確定，試確定ADC的大??？的大小？

13、AOCBD10.如圖，在如圖，在ABC中，中，ABAC6,以以AB為為直徑的半圓交直徑的半圓交BC于于D，交，交AC于于E，若，若DAC30，則，則BAC，BD。OCDABE60度度311.已知已知BC為半圓為半圓O的直徑，的直徑，AB=AF,AC交交BF于點于點M，過，過A點作點作ADBC于于D，交，交BF于于E，則，則AE與與BE的大小有什么關(guān)系？的大小有什么關(guān)系？為什么？為什么？BCOAFMDE12.12.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑

14、的圓邊為直徑的圓. .）ABCO求證：求證： ABC 為直角三角形為直角三角形.證明：證明：以以AB為直徑作為直徑作 O，AO=BO，AO=BO=CO. 點點C在在 O上上.又又AB為直徑為直徑,ACB= 90.12已知：已知： CO 是是ABC 的的AB邊上的中線，邊上的中線，且且CO= AB ABC 為直角三角形為直角三角形.CO= AB,12隨堂練習隨堂練習 1313. .如圖如圖, ,在足球比賽中在足球比賽中, ,甲、乙兩名隊員互相配合甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T向?qū)Ψ角蜷TMNMN進攻進攻, ,當甲帶球沖到當甲帶球沖到A A點時點時, ,乙已跟隨乙已跟隨沖到?jīng)_到B B點點, ,從數(shù)

15、學角度看從數(shù)學角度看, ,此時甲是自己直接射門好此時甲是自己直接射門好, ,還是迅速將球回傳給乙還是迅速將球回傳給乙, ,讓乙射門好？讓乙射門好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :從數(shù)學角度看從數(shù)學角度看, ,甲、甲、乙誰射門好乙誰射門好, ,關(guān)鍵是比較關(guān)鍵是比較MANMAN與與MBNMBN的大小的大小, ,角度角度越大越大, ,射門的機會越好。射門的機會越好。 14.14.如圖如圖, ,在足球比賽中在足球比賽中, ,甲、乙兩名隊員互相配合甲、乙兩名隊員互相配合向?qū)Ψ角蜷T向?qū)Ψ角蜷TMNMN進攻進攻, ,當甲帶球沖到當甲帶球沖到A A點時點時, ,乙已跟隨乙已跟隨沖到?jīng)_到B B點點, ,從數(shù)學角度看從數(shù)學角度看, ,此時甲是自己直接射門好此時甲是自己直接射門好, ,還是迅速將球回傳給乙還是迅速將球回傳給乙, ,讓乙射門好？讓乙射門好？ 拓展提高拓展提高 提示提示: :從數(shù)學角度看從數(shù)學角度看,