MATLAB在級(jí)數(shù)的應(yīng)用

1、MATLAB語言課程論文 MATLAB在級(jí)數(shù)的應(yīng)用 姓名：楊小花 學(xué)號(hào)：12010245315 專業(yè)：通信工程 班級(jí)：通信工程（1)班 指導(dǎo)老師：湯全武 學(xué)院：物理電氣信息學(xué)院 完成日期：2011.12.10 MATLAB在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 （楊小花 12010245315 2010級(jí)通信班）【摘要】MATLAB除了對(duì)數(shù)值計(jì)算外，還有對(duì)符號(hào)對(duì)象進(jìn)行的運(yùn)算，即直接對(duì)抽象的符號(hào)進(jìn)行計(jì)算，并將所得結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式來表示。符號(hào)計(jì)算可以獲得比數(shù)值計(jì)算更一般的結(jié)果。MATLAB符號(hào)計(jì)算是通過集成在MATLAB中的符號(hào)運(yùn)算工具箱來實(shí)現(xiàn)的。實(shí)際上，MATLAB中的符號(hào)運(yùn)算工具箱是建立在功能強(qiáng)大的Maple軟件

2、基礎(chǔ)上。 本文是通過所用的MATLAB符號(hào)計(jì)算的知識(shí)來求解相關(guān)級(jí)數(shù)的問題，主要有常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和與收斂；函數(shù)的泰勒展開；函數(shù)的傅里葉展開級(jí)傅里葉的變換；拉普拉斯的變換。并且用MATLAB繪圖方便及可以繪制各種圖形的功能繪制級(jí)數(shù)中相關(guān)的圖像?！娟P(guān)鍵字】 MATLAB語言 級(jí)數(shù)求和 泰勒級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 圖形繪制 一.問題的提出 MATLAB現(xiàn)已成為一種廣泛應(yīng)用與工程計(jì)算及數(shù)值分析領(lǐng)域的新型高級(jí)語言。在各高等院校，MATLAB已成為線性代數(shù)，自動(dòng)控制理論，數(shù)字信號(hào)處理，時(shí)間序列分析，動(dòng)態(tài)分析仿真，圖像處理等許多課程的基本教學(xué)工具，成為大學(xué)生和研究生的必須掌握的基本編程語言。在科研與工程領(lǐng)域，MAT

3、LAB以被廣泛的應(yīng)用與科學(xué)研究和解決各種具體的實(shí)踐問題?？芍琈ATLAB將在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中發(fā)揮越來越大的作用。二.MATLAB在級(jí)數(shù)中的應(yīng)用 1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和與審斂分析：在高等數(shù)學(xué)中，級(jí)數(shù)的求和及審斂是最基礎(chǔ)，但也是很重要的一部分，有些級(jí)數(shù)的求和較為簡單，而有些則不然，用傳統(tǒng)的手解方法是很困難的，但這些問題用MATLAB求解會(huì)簡單化。因此，咋計(jì)算機(jī)的快速發(fā)展的背景下，我們要充分利用合理的資源來求解問題，以提高速率。問題一. 求解級(jí)數(shù)1=,的和程序如下： n=sym('n') ; x=sym('x') ; %定義符號(hào)變量n,x s1=symsum(xn

4、/n*32,n,1,inf); %求s1，求和變量n不能省略 s1=-9*log(1-x) s2=x+2*x2+3*x3+.+n*xn+. ; %求s2, 變量n為1到n s2=x/(x-1)2問題二. 求級(jí)數(shù),的和程序如下： clear %清屏 syms n； %定義符號(hào)變量n f1=(2*n-1)/2n; %級(jí)數(shù)f1的表達(dá)式 f2=1/(n*(2*n+1); %級(jí)數(shù)f2的表達(dá)式 s3=symsum(f1,n,1,inf) %求s3，變量n從1到無窮 s4=symsum(f2,n,1,inf) %求s4，變量n從1到無窮運(yùn)行結(jié)果為： s3=3 s4=2-2*log(2) 說明：本例是收斂的情

5、況，如果發(fā)散，則得到的和為inf，因此，本方法就可以同時(shí)用來解決求和問題和收斂性問題。問題三.求解級(jí)數(shù)=,的和程序如下：clearsyms n x ； %定義符號(hào)變量n,xf3=sin(x)/n2; %級(jí)數(shù)f3的表達(dá)式f4=(-1)(n-1)*xn/n; %級(jí)數(shù)f4的表達(dá)式s5=symsum(f3,n,1,inf) %變量n從1到無窮s6=symsum(f4,n,1,inf) %變量n從1到無窮運(yùn)行結(jié)果為：s5=1/6*sin(x)*pi2s6=log(1+x)說明：從這個(gè)例子可以看出，symsum（）這個(gè)函數(shù)不但可以處理常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，也可以處理函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。2. 函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開 級(jí)數(shù)是高等數(shù)

6、學(xué)中函數(shù)的一種重要表現(xiàn)形式，有許多復(fù)雜的函數(shù)都可以用級(jí)數(shù)簡單的；表示，而將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)并去前面的若干項(xiàng)來近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)是一種很好的近似方法，在學(xué)習(xí)級(jí)數(shù)的時(shí)候，我們知道展開成級(jí)數(shù)有時(shí)候是比較麻煩的，但用MATLAB求解卻很簡便。 泰勒（Taylor)級(jí)數(shù)將一個(gè)任意函數(shù)表示為冪級(jí)數(shù)，并且，在許多情況下，只需要取冪級(jí)數(shù)的前幾項(xiàng)來表示該函數(shù)，這對(duì)于大多數(shù)工程應(yīng)用問題來說，精度已經(jīng)足夠。MATLAB提供了taylor函數(shù)將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)， 其調(diào)用格式為: taylor(f,v,n,a) 該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級(jí)數(shù)，展開到第n項(xiàng)(即變量v的n-1次冪）為止，n的默認(rèn)值為6，v的

7、默認(rèn)值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a出展開，a的默認(rèn)值為0.問題一.將函數(shù)在x=1處按5次多項(xiàng)式展開程序如下： x=sym('x'); %定義符號(hào)變量xf1=(1+x+x2)/(1-x+x2); %函數(shù)f1的表達(dá)式taylor(f1,6,1) %求f1,展開到x=1的5次冪是應(yīng)選擇n=6 ans= 3-2*(x-1)2+2*(x-1)3-2*(x-1)5問題二.將函數(shù)展開為（x+4)的冪級(jí)數(shù)程序如下： x=sym('x'); %定義符號(hào)變量x f2=1/(x2+3*x+2); %函數(shù)f2的表達(dá)式 taylor(f2,x,4); %將f2在x

8、=4處展開，默認(rèn)值為6 ans= 1/2-3/4*x+7/8*x2-15/16*x3問題三.將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)程序如下：x=sym('x'); %定義符號(hào)變量xf3=exp(x); %函數(shù)f3的表達(dá)式 taylor(f3,x) %將f3在x=0處展開，n的默認(rèn)值為6ans= 1+x+1/2*x2+1/6*x3+1/24*x4+1/120*x5問題四.將函數(shù)展開為x=0的冪級(jí)數(shù)，x為任意常數(shù)，展開至4次冪程序如下： clear %清屏 syms x m ； %定義符號(hào)變量 x,m f4=(1+x)m; %函數(shù)f4的表達(dá)式 taylor(f4,5) %將f4在x=0處展開至4次

9、冪 ans= 1+m*x+1/2*m*(m-1)*x2+1/6*m*(m-1)*(m-2)*x3+1/24*m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*x43.函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開級(jí)變換 傅里葉級(jí)數(shù)(fourierbn)的應(yīng)用非常廣泛，尤其是周期函數(shù)在電路分析，數(shù)學(xué)物理方程，大學(xué)物理及模擬電路中都起著非常重要的作用。因?yàn)樗诟鱾€(gè)領(lǐng)域中都起著至關(guān)重要的作用，所以傅里葉級(jí)數(shù)的展開，求解變換是我們務(wù)必要掌握的。MATLAB為我們提供了求解這些問題的簡便方法。在MATLAB中，進(jìn)行傅里葉變換的函數(shù)是： fourier(f,x,t):求函數(shù)f(x)的傅里葉像函數(shù)F(t),Ifourier(F,t,x):求傅

10、里葉級(jí)數(shù)F(t)的原函數(shù)f(x).問題一.求函數(shù)y=|x|的傅里葉變換及其逆變換程序如下： syms x t; % 定義符號(hào)變量x,t y=abs(x); % y等于絕對(duì)值x Ft=fourier(y,x,t) % 求y的傅里葉變換 Ft= -2/t2 fx=ifourier(Ft,t,x) % 求Ft的傅里葉逆變換 fx= x*(2*heaviside(x)-1) 結(jié)果中的Heaviside是一個(gè)MATLAB函數(shù)，數(shù)學(xué)上稱為單位跳躍函數(shù)，其定義是 (1) 離散傅里葉變換（DFT）廣泛應(yīng)用于信號(hào)分析，光譜和聲譜分析，全息技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域中。但直接計(jì)算DFT的運(yùn)算與變換的長度N的平方成正比，當(dāng)N較

11、大時(shí)，計(jì)算量太大。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行離散傅里葉變換計(jì)算成為可能，特別是快速傅里葉變換（FFT）算法的出現(xiàn)，為傅里葉變換的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。問題一.給定數(shù)學(xué)函數(shù)： (2) 取n=128時(shí)，試對(duì)t從0s1s采樣，用FFT做快速傅里葉變換，繪制相應(yīng)的振幅-頻率圖。在0s1s時(shí)間范圍內(nèi)采樣128點(diǎn)，從而可以確定采樣周期和采樣頻率。由于離散傅里葉變換時(shí)的下標(biāo)應(yīng)是0N-1，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)下標(biāo)應(yīng)前移1。有考慮到對(duì)離散傅里葉變換來說，其振幅|F(k)|是關(guān)于N/2對(duì)稱的，故只需k從0N/2即可。程序如下： N=128; % N為采樣點(diǎn)數(shù)T=1; % 采樣時(shí)間終點(diǎn)t=linspace(0,T

12、,N); % 給出N個(gè)采樣時(shí)間ti(i=1:N) x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); %求個(gè)采樣點(diǎn)樣本值xdt=t(2)-t(1); %采樣周期f=1/dt; %采樣頻率X=fft(x); %計(jì)算x的快速傅里葉變換xF=X(1:N/2+1); %F(k)=X(k）（k=1:N/2+1)f=f*(0:N/2)/N； %使頻率軸f從零開始plot(f,abs(F),'-*') %繪制振幅頻率圖xlabel('Frequency');ylabel('|F(k)|' 運(yùn)行程序所繪制的振幅頻率圖如圖1所示。

13、從圖可以看出，在幅值曲線上有兩個(gè)峰值點(diǎn)， 對(duì)應(yīng)的頻率為10Hz和40Hz，這正是給定函數(shù)中的兩個(gè)頻率值。 圖1. 振幅-頻率圖求X的快速傅里葉逆變換，并與原函數(shù)進(jìn)行比較： ix=real(ifft(X)； % 求逆變換，結(jié)果只取實(shí)部 plot(t,x,t,ix,':') % 逆變換結(jié)果和原函數(shù)的曲線 norm(x-ix) % 逆變換結(jié)果和原函數(shù)之間的距離 ans= 3.3457e-014 逆變換結(jié)果和原函數(shù)曲線如圖2所示，可以看出兩者一致。另外，逆變換結(jié)果和原函數(shù)之間的距離也近。 圖2. FFT逆變換結(jié)果和原函數(shù)曲線比較 （3）連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉變換程序如下： t=0:0

14、.1:40; % 定義變量t,且t的范圍是0-40，其步長為0.1k=1000; % 定義變量kfor i=-k:k a(i+k+1)=sin(i*pi/2)/(i*pi); a(k+1)=0.5; x(i+k+1,:)=a(i+k+1)*exp(j*i*(t+1)*pi/2);endx=sum(x) % 對(duì)x進(jìn)行求和plot(t,x) % 繪制t-x曲線其圖形如圖3所示 圖3.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅里葉變換4.拉普拉斯的逆變換 在MATLAB中，進(jìn)行拉普拉斯逆變換的函數(shù)是： laplace（f,x,t):求函數(shù)f(x)的拉普拉斯像函數(shù)F(t). ilaplace(F,t,x):求拉普拉斯像函數(shù)F

15、(t)的原函數(shù)f(x).問題一. 計(jì)算的拉普拉斯變換及其逆變換。 程序如下： x=sym('x'); % 定義符號(hào)變量x y=x2; Ft=laplace(y,x,t); % 對(duì)函數(shù)y進(jìn)行拉普拉斯變換 Ft= 2/t3 fx=ilaplace(F,t,x); % 對(duì)函數(shù)Ft進(jìn)行拉普拉斯逆變換fx= x2三：總結(jié)符號(hào)運(yùn)算功能是MATLAB的一個(gè)特色，對(duì)于許多工程計(jì)算問題，MATLAB中及提供了數(shù)值運(yùn)算方法，也提供了符號(hào)計(jì)算方法。兩者各有用途，數(shù)值計(jì)算方法能得到近似數(shù)值解，但不能給出解析解；符號(hào)方法能給出解析解，但結(jié)果一般較復(fù)雜，冗長，且對(duì)問題的選擇性強(qiáng)，很多問題（特別是求解微分方

16、程的問題）無法用符號(hào)方法求解。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)問題性質(zhì)，靈活選擇解決方案。 通過以上幾個(gè)與級(jí)數(shù)相關(guān)的例子，可以總結(jié)以下幾點(diǎn)； 1.運(yùn)算結(jié)果在命令窗口中顯示出來，如果在語句的最后加分號(hào)，那么MATLAB僅僅執(zhí)行賦值操作，不再顯示運(yùn)算的結(jié)果。在MATLAB語句后面可以加注釋，用于解釋或說明語句的含義，對(duì)語句處理結(jié)果不產(chǎn)生任何影響。注釋以%號(hào)開頭，后面是注釋的內(nèi)容。2.sym函數(shù)可以用來定義符號(hào)變量，并且一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量。它可以定義符號(hào)常量，使用符號(hào)常量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)和數(shù)值常量進(jìn)行的運(yùn)算不同。3.MATLAB語言中的運(yùn)算符號(hào)與數(shù)學(xué)中的運(yùn)算符號(hào)不同，所以在編寫程序的過程中一定要注意其符號(hào)。

17、4.在級(jí)數(shù)展開中，一定要明白其調(diào)用格式中每一項(xiàng)所代表的含義，只有這樣才能夠正確的編寫，操作。5.基于MATLAB強(qiáng)大的運(yùn)算，繪圖功能，它可以將復(fù)雜的級(jí)數(shù)求解問題迅速的求解出來，在需要相應(yīng)的圖解時(shí)，可以編寫程序很快的將圖形繪制出來，給人以直觀的感覺。四課程體會(huì) 經(jīng)過一學(xué)期的緊張而又有序的課程學(xué)習(xí)，在忙碌之余也得到了頗多的收獲。通過老師認(rèn)真的講解和MATLAB實(shí)驗(yàn)課程的學(xué)習(xí)，我深深地體會(huì)到了MATLAB語言相對(duì)于同類語言程序更方便，更簡潔易懂。MATLAB語言不像C 語言只是一個(gè)相關(guān)求解的程序語言，它具有矩陣運(yùn)算，繪圖，數(shù)值及符號(hào)運(yùn)算等功能。 通過這一次的課程設(shè)計(jì)有很多的體會(huì)。剛著手做課程設(shè)計(jì)時(shí)覺得沒有思路，不知從何著手。于是，在網(wǎng)上搜索相關(guān)資料有了一定的了解，但是了解終歸還是了解，實(shí)際寫起來還是有一定的困難。在高等數(shù)學(xué)及MATLAB程序設(shè)計(jì)中找到相關(guān)應(yīng)用資料花費(fèi)了很長的時(shí)間，但是在此過程中也很認(rèn)真的閱讀了MATLAB程序設(shè)計(jì)書，對(duì)書上的內(nèi)容了解的較多，較清楚。在課程設(shè)計(jì)過程中，進(jìn)一步的領(lǐng)會(huì)到了MATLAB語言的快捷性，簡便性及專一性。無論是多么復(fù)雜的級(jí)數(shù)求解問題，用MATLAB求解都會(huì)變得很簡單，只要編程無誤，它定會(huì)將結(jié)果在幾秒內(nèi)的時(shí)間了