D76空間直線3ppt課件

1、第六節(jié)一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 空間直線及其方程 第七章 一、空間直線方程一、空間直線方程xyzo01111DzCyBxA02222DzCyBxA1 2 L因此其一般式方程1. 1. 一般式方程一般式方程 直線可視為兩平面交線，(不唯一)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(0000zyxM2. 對稱式方程對稱式方程故有說明說明: 某些分母為零時(shí)某些分母為零時(shí), 其分子也理解為零其分子也理解為零.mxx000yyxx設(shè)直線上的動(dòng)點(diǎn)為 那么),(zyxMnyy0pzz0此式稱為直線的對稱式方程(也稱為點(diǎn)向式

2、方程)直線方程為s已知直線上一點(diǎn)),(0000zyxM),(zyxM例如, 當(dāng),0, 0時(shí)pnm和它的方向向量 , ),(pnms sMM/0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 參數(shù)式方程參數(shù)式方程設(shè)得參數(shù)式方程 :tpzznyymxx000tmxx0tnyy0tpzz0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1.1.用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先在直線上找一點(diǎn)先在直線上找一點(diǎn). .043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1,

3、1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題思路: :先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2L1L二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系1. 兩直線的夾角兩直線的夾角 則兩直線夾角 滿足21, LL設(shè)直線 兩直線的夾角指其方向向量間的夾角(通常取銳角)的方向向量分別為212121ppnnmm212121pnm222222pnm),(, ),(22221111pnmspnms2

4、121cosssss 1s2s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 特別有特別有:21) 1(LL 21/)2(LL0212121ppnnmm212121ppnnmm21ss 21/ss機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 2. 求以下兩直線的夾角求以下兩直線的夾角解解: : 直線直線直線二直線夾角 的余弦為(參考P332 例2 )13411:1zyxL0202:2zxyxL cos22從而4的方向向量為1L的方向向量為2L) 1,2,2() 1(1)2()4(212221)4(1222) 1()2(2) 1,4, 1 (1s2010112kjis 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當(dāng)

5、直線與平面垂直時(shí),規(guī)定其夾角線所夾銳角 稱為直線與平面間的夾角;L2. 直線與平面的夾角直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí),設(shè)直線 L 的方向向量為 平面 的法向量為則直線與平面夾角 滿足.2222222CBApnmpCnBmA直線和它在平面上的投影直),(pnms ),(CBAn ),cos(sinnsnsns sn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 特別有特別有: :L) 1(/)2(L0pCnBmApCnBmAns/ns解解: : 取已知平面的法向量取已知平面的法向量421zyx則直線的對稱式方程為0432zyx直的直線方程. 為所求直線的方向向量. 132垂 ) 1,3,2(nn例例

6、3. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面且與平面機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 1. 空間直線方程空間直線方程一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000)0(222pnm 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm2. 線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss21LL 21/ LL021ss2121cosssss

7、 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , 0DzCyBxACpBnAm平面 :L L / 夾角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx3. 面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線 L :),(CBAn ),(pnms 0ns0nsnsns L機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 作業(yè)作業(yè)P335 3，4，5，9 ,13 習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 習(xí)題課一、一、 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 二、實(shí)例分析二、實(shí)例分析機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 空間解析幾何 第七章 一、內(nèi)容小結(jié)一、內(nèi)容小結(jié) 空間平面空間平面一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式013131

8、3121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx1. 1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點(diǎn)0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 為直線的方向向量.空間直線空間直線一般式對稱式參數(shù)式0022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點(diǎn); 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:2.線面之間的相互關(guān)系線面

9、之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1111111pzznyymxxL：直線0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線垂直:平行:夾角公式:),(1111pnms ),(2222pnms 021ss021ss2121cosssss 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 CpBnAm平面:垂直：平行：夾角公式：0CpBnAm面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線

10、:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 相關(guān)的幾個(gè)問題相關(guān)的幾個(gè)問題(1) 過直線00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA方程0,21不全為12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (2)點(diǎn)的距離為DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1MnnnMMd01機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 kji),(0000zyxM到直線的距離pzznyymxxL111:為

11、(3) 點(diǎn)2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxML機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、實(shí)例分析二、實(shí)例分析例例1. 求與兩平面求與兩平面 x 4 z =3 和和 2 x y 5 z = 1 的交線的交線提示提示: 所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為利用點(diǎn)向式可得方程43x) 1,3,4(40151232y15z平行, 且 過點(diǎn) (3 , 2 , 5) 的直線方程. 21nnskji機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 241312zyx例例2. 2. 求直線求直線與平面062zyx的交點(diǎn) .

12、提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點(diǎn)為1，2，2）.tztytx2432t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 3. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)( 2 , 1 , 3 ) ( 2 , 1 , 3 ) 且與直且與直線線12131zyx垂直相交的直線方程.提示提示: : 先求二直線交點(diǎn)先求二直線交點(diǎn) P. P. 0)3() 1(2)2(3zyx化已知直線方程為參數(shù)方程, 代入 式, 可得交點(diǎn)),(7371372P最后利用兩點(diǎn)式得所求直線方程431122zyx的平面的法向量為故其方程為),(312),(011),(123過已知點(diǎn)且垂直于已知直線, ) 1

13、,2,3(P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 求直線求直線0101zyxzyx在平面上的投影直線方程.提示：過已知直線的平面束方程提示：過已知直線的平面束方程從中選擇01)1(1)1 (1)1 (得001zyxzy這是投影平面0)1()1()1 ()1 (zyx0) 1(1zyxzyx即0zyx使其與已知平面垂直：從而得投影直線方程, 1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設(shè)一平面平行于已知直線設(shè)一平面平行于已知直線0502zyxzx且垂直于已知平面,0347zyx求該平面法線的的方向余弦.提示提示: : 已知平面的法向量求出已知直線的方向向量取所求平面的法向量,513c

14、os504cos,505cos1nsn)4, 1,7(1n)2,1,1 (s機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 417211kji)4,5,3(2所求為例例6. 求過直線求過直線L:0405zxzyxzyx84 且與平面4夾成角的平面方程.提示提示: 過直線 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量為已知平面的法向量為選擇使43. 012720zyx從而得所求平面方程n1n4012 114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思路: 先求交點(diǎn)例例7. 求過點(diǎn)求過點(diǎn)) 1 , 1 , 1 (0M,12:1xzxyL且與兩直線1243:2xzxyL都相交的直線 L.提示提示:21,LL將的方程化為參數(shù)方程1243:,12:21tztytxLtztytxLL1L2L0M1M2M設(shè) L 與它們的交點(diǎn)分別為. ) 12,43,(2222tttM 再寫直線方程.;,21MM),1,2,(1111tttM機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2,021tt)3,2,2(, ) 1,0,0(21MM211111:zyxL210,MMM1)