2017-2019高考文數(shù)真題分類解析---不等式選講

1、2017-2019高考文數(shù)真題分類解析1.【2019年局考全國I卷又數(shù)】已知不等式選講a, b, c為正數(shù),且滿足abc=1.證明：3(1) 1 a(2) (ab)3(b c)3 (c3a)(1)(1)見解析;因為a2ab bc(2)b2ca見解析.2ab,b2 c2ab bc caabc2bc, c22a 2ac ,又 abc 1,故有1c所以1 1 1 a2 b2 c2.abc(2)因為a, b, c為正數(shù)且abc 1,故有(a b)3 (b c)3 (c a)3 33 (a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3 (2、石)(2 bc) (20c)=24.所以

2、(a b)3 (b c)3 (c a)3 24.【名師點睛】本題考查利用基本不等式進行不等式的證明問題，考查學生對于基本不等式的變形和應用 能力，需要注意的是在利用基本不等式時需注意取等條件能否成立.2 .【2019年高考全國n卷文數(shù)】已知 f(x) |x a| x |x 2 |(x a).(1)當a 1時，求不等式f (x) 0的解集；(2)若x (,1)時，f(x) 0,求a的取值范圍.【答案】(1) (,1)； (2) 1,)【解析】(1)當 a=1 時，f(x)=|x 1| x+|x 2|(x 1).當 x 1 時，f(x) 2(x 1)2 0；當 x 1 時，f (x) 0.所以，不

3、等式f(x) 0的解集為(，1).(2)因為 f(a)=0，所以 a 1 .當 a 1, x (,1)時，f(x)=(a x) x+(2 x)(x a)=2(a x)(x 1)<0 .所以，a的取值范圍是1,).【名師點睛】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于常考題型.3 .【2019年高考全國出卷文數(shù)】設 x, y, z R,且x y z 1.222(1)求(x 1)(y 1) (z 1)的最小值；1(2)若(x 2)2 (y 1)2 (z a)2 & 成立，證明：a 3或 a 1 .【答案】(1) 4 ； (2)見詳解.3【解析】(1)由于(x 1)

4、 (y 1) (z 1)2(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 2(x 1)(y 1) (y 1)(z 1) (z 1)(x 1)_2223 (x 1) (y 1) (z 1),故由已知得(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 -,3511當且僅當x= -,y= ,z一時等號成立.333所以(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2的最小值為4 .(2)由于(x 2) (y 1) (z a)2_ 222_(x 2) (y 1) (z a) 2(x 2)(y 1) (y 1)(z a) (z a)(x 2)3 (x 2)2 (y 1)2 (z a)2 ,故由已知(x 2)2 (y 1)2 (

5、z a)2 (2 a) ,當且僅當x 4a , y a, z "工時等號成立.3332因此(x 2)2 (y 1)2 (z a)2的最小值為(2 a) .由題設知(2 a) 1,解得a 3或a 1 . 33【名師點睛】兩個問都是考查柯西不等式，屬于柯西不等式的常見題型.4.【2019年高考江蘇卷數(shù)學】設 x R ,解不等式|x|+|2 x 1|>2.一一1 一【答案】x|x §或x 1.-， ,_1【解析】當x<0時，原不等式可化為x 1 2x 2,解得x< - -3，-1,一八，c c r，一當0w時 原不等式可化為x+1心>2,即x<-1,

6、無解；2,1 , ,一當x>時，原不等式可化為x+2x-1>2,解得x>1.2綜上，原不等式的解集為 x|x13A或x1.3【名師點睛】本題主要考查解不等式等基礎知識，考查運算求解和推理論證能力.5.【2018年高考全國I卷文數(shù)】已知 f (x) |x 1| |ax 1| .(1)當a 1時，求不等式f(x) 1的解集；(2)若x (0,1)時不等式f(x) x成立，求a的取值范圍.1 一 一【答案】(1) x|x ； (2) (0,2.22,x1,【解析】(1)當 a 1 時，f(x) |x 1| |x 1|,即 f(x) 2x, 1 x 1, 2,x 1.1故不等式f (

7、x) 1的解集為x|x .2(2)當x (0,1)時|x 1| | ax 1| x成立等價于當x (0,1)時|ax 1| 1成立.若 a 0,則當 x (0,1)時 |ax 1| 1 ；22若a 0, |ax 1| 1的解集為0 x 一,所以一1,故0 a 2 .aa綜上，a的取值范圍為(0,2.6 .【2018年高考全國n卷文數(shù)】設函數(shù) f(x) 5 |x a| |x 2| .(1)當a 1時，求不等式f(x)。的解集；(2)若f(x) 1 ,求a的取值范圍.【答案】(1) x| 2 x 3； (2) (, 6U2,).2x 4,x1,【解析】(1)當a 1時，f (x)2, 1 x 2,

8、2x 6,x 2.可得f(x) 0的解集為x| 2 x 3.(2) f (x) 1 等價于 |x a| |x 2| 4 .而|x a| |x 2| |a 2|,且當x 2時等號成立.故f(x) 1等價于| a 2| 4 .由|a 2| 4可得a 6或a 2,所以a的取值范圍是(，6U2,).7 .【2018年高考全國出卷文數(shù)】設函數(shù) f x 2x 1 x 1 .(1)畫出y f x的圖像；(2)當xC0, fxwax b,求a b的最小值.【答案】(1)圖像見解析；(2)a b的最小值為5.3x, x -,21【解析】(1) f (x) x 2, 2 x 1,y f(x)的圖像如圖所示.3x,

9、 x 1.73,故(2)由(1)知，y f(x)的圖像與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為當且僅當a 3且b 2時，f (x) ax b在0,)成立，因此a b的最小值為5.222 .8.【2018年高考江蘇卷數(shù)學】若 x, v, z為實數(shù)，且x+2y+2z=6,求x y z的最小值.【答案】x2 y2 z2的最小值為4.【解析】由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x 2y2z)2.因為 x 2y 2z=6 ,所以 x2 y2 z2 4,xyz244當且僅當一 y 時，不等式取等號，此時 x y z 一,122333所以x2 y2 z2的最小值為4.29 .【2

10、017年高考全國I卷文數(shù)】已知函數(shù) f(x) x ax 4, g(x) |x 11 |x 1.(1)當a 1時，求不等式f(x) g(x)的解集；(2)若不等式f (x) g(x)的解集包含T, 1,求a的取值范圍.【答案】(1) x| 1 x 1 /7 ； (2) 1,1. 2【解析】(1)當a 1時，不等式f(x) g(x)等價于x2 x |x 1| |x 1| 4 0 .當x1時，式化為x2 3x 4 0,無解；當1 x 1時，式化為x2 x 2 0,從而1 x 1;當x 1時，式化為x2 x 4 0 ,從而1 x 1后.21 . 17所以f(x) g(x)的解集為x| 1 x 1.2(

11、2)當 x 1,1時，g(x) 2.所以f(x) g(x)的解集包含1,1,等價于當x 1,1時f(x) 2 .又f(x)在1,1的最小值必為f( 1)與f(1)之一，所以f( 1) 2且f(1) 2,得1 a 1.所以a的取值范圍為1,1.【名師點睛】形如|x a| | x b| c (或 c)型的不等式主要有兩種解法：(1)分段討論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(，a, (a, b , (b,)(此處設a b) 三個部分，將每部分去掉絕對值號并分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集.(2)圖像法：作出函數(shù) y1 |x a| |x b|和y2 c的圖像，結合圖像

12、求解.10 .【2017年高考全國n卷文數(shù)】已知 a 0,b 0,a3 b3 2 .證明：55(1) (a b)(a b ) 4 ； a b 2.【答案】(1)證明略；(2)證明略.【解析】(1) a b a5 b5 a6 ab5 a5b b623 .3 23. 3. 4 .4a b 2ab ab a b22 24 ab a b4.(2)因為 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b32 3ab a b23 a b a433 a b4,3所以a b 8 ,因此a b 2.【名師點睛】利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)， 借助不等式的

13、性質和有關定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉化為需證問題.若不等式恒等變形之后與二次函數(shù)有關，可用配方法.11.【2017年高考全國出卷文數(shù)】已知函數(shù)f (x) = x+1 - X- 2.|(1)求不等式f (x) >1的解集;(2)若不等式f x x2 x m的解集非空，求m的取值范圍.5 【答案】(1) xx 1 ; (2)-43,x1【解析】(1) f x 2x 1, 1 x 2, 3,x 2當x 1時，f x 1無解；當1 x 2時，由f x 1得，2x 1 1,解得1 x 2;當x 2時，由f x 1解得x 2.所以f x 1的解集為x x 12/口，-2,由f xx xm 得 m x 1 x 2 x x,而,c2,c2x1x2xxx1x2x x且當 x 3時，x 1 x 2 x2 x - .24 5故m的取值范圍為 -,5 .【名師點睛】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；法二：利用 “零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想12.【2017年高考江蘇卷數(shù)學】已知 a,b,c,d為實數(shù)，且a2 b2 4,c2 d2 16,證明：ac bd < 8.【答案】見解析【解析】由柯西不等式可得(ac bd)2(a2 b2)(c2 d2) ，22222因為a