定積分計算方法

1、定積分的計算方法摘要定積分是積分學中的一個基本問題，計算方法有很多，常用的計算方法有四種：（ 1 ）定義法、（2 ）牛頓萊布尼茨公式、（3 ）定積分的分部積分法、（4）定積分的換元積分法。以及其他特殊方法和技巧。本論文通過經典例題分析探討定積分計算方法，并在系統(tǒng)總結中簡化計算方法！并注重在解題中用的方法和技巧。關鍵字：定積分，定義法，萊布尼茨公式，換元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calcula

2、tion method is a lot of, (1)definition method, (2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attenti

3、on to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method目錄1 緒論 21.1 定積分的定義 21.2定積分的性質32 常用計算方法42.1 定義法 42.2 牛頓-萊布尼茨公式52.3 定積分的分部積分法62.4 定積分的換元積分法73簡化計算方法錯誤！未定義書簽。3.1 含參變量的積分 錯誤！未定義書簽。3.2 有理積分和可化為有理積分的積分錯誤！未定義書簽。4總結8致謝8參考文獻91緒論1

4、.1 定積分的定義定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間a,b中圖線下包圍的面積，如圖 1.1所示。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所圍成圖形的面積1。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。設函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),將區(qū)間a,b分成n個子區(qū)間xo,x1,(X1,X2,(X2,X3, (Xn-1 ,Xn,其中 xo=a, xn = b?？芍鲄^(qū)間的長度依次是：4*K*。，x2=x2-x1, xn=xn-xn-1。在每個子區(qū)間 便-1兇中任取一點& (1,2,.,n),作和式ni=i設X=maxQX1, 地,Xn(即入是最大的區(qū)間長度)，則當入一時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這

5、個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b的定積分2,記為其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間a, b叫做積分區(qū)間，函數(shù) f(x)叫做被積 函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積表達式，QU做積分號。之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù)。根據(jù)上述定義，若函數(shù) f(x)在區(qū)間a,b上可積分，則有n等分的特殊分法：? i b-a lim Y加+ -伯-叫 t+«j J,1 n J ni=l特別注意，根據(jù)上述表達式有，當 a,b區(qū)間恰好為0,1區(qū)間時，則0,1區(qū)間積分表達 式為：E 1M*1.2 定積分的性質b ，b，b,性質 1 f (x)二 g

6、(x)dx = f(x)dx 二 g(x)dxaaabb性質 2 kf (x)dx = k J f (x)dx, (k為常數(shù))aabcb .性質 3 假設 a<b<c f f(x)dx=j f(x)dx+f f (x)dx aacbb性質4 如果在區(qū)間a,b上，恒有f (x) Eg(x),則f(x)dx«J g(x)dx aab性質 5 如果在區(qū)間a,b上，f (x)2 0，則f(x)dx 20.(a<b) a性質6設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值及最小值，則m(b-a) < (bf(x)dx < M (b -a), (a <b)此

7、性質可用于估計積分值的大致范圍 a30性質7 若f(x)在a,b上可積，則I f(x) I在a,b上也可積,廠 bb且f (x)dxw ( f (x)dx aa性質8 (積分第一中值定理)設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，g(x)在a,b上可積，且在a,b上不變號，則在a,b上至少存在一點己，使得：b. bf (x)g(x)dx = f( ) g(x)dx aa2常用計算方法2.1 定義法定積分的定義法計算是運用極限的思想，簡單的來說就是分割求和取極限。以bI =f(x)dx為例：任意分割，任意選取、作積分和再取極限。任意分割任意取、所計算a出的I值如果全部相同的話，則定積分存在。如果在某種分法或

8、者某種、的取法下極限值不存在或者與其他的分法或者二的取法下計算出來的值不相同，那么則說定積分不存在。如果在不知道定積分是否存在的情況下用定義法計算定積分是相當困難的，涉及到怎樣才是任意分割任意取 4。但是如果根據(jù)上述三類可積函數(shù)判斷出被積函數(shù)可積，那么就可以根據(jù)積分和的極限唯一性可作Ia,b】的特殊分法，選取特殊的、，計算出定積分4。第一步：分割.將區(qū)間Ia,b分成n個小區(qū)間，一般情況下采取等分的形式。h = b二旦，那么分割點n的坐標為(a,0), (a+h,0 ), (a+2h,0)(a+(n 1)h,0 ), (b,0 ),除在【xxj任意選取，但是我們在做題過程中會選取特殊的即左端點，

9、右端點或者中點。經過分割將曲邊梯形分成 n個小曲邊梯形。我們近似的看作是n個小長方形。第二步：求和.n計算n個小長方形的面積之和，也就是 工 f( * k h。k 1第三步：取極限nnI =limz fkh=hlimz f(院)，x0即28,也就是說分的越細, h0h >0k 1k4那么小曲邊梯形就越接近小長方形，當n趨于無窮之時，小曲邊梯形也就是小長方形，那么小長方形的面積和即為曲邊梯形的面積，也就是定積分的積分值。例1、用定義法求定積分 x xdx°解：因為f (x) =x在0,1 連續(xù)所以f (x) =x在0,1 可積1 -0將0,1等分成n個小區(qū)間，分點的坐標依次為0

10、:二 h :二 2h :二；nh =1取二是小區(qū)間(k1)h,kh的右端點，即 = kh于是= lim* 二n := 2nlimn - 21n(n +1) 11xdx = lim khh = lim - 一七 c ru_>c 21n / 11所以， xdx =2.2牛頓-萊布尼茨公式牛頓-萊布尼茨公式很好的把定積分與不定積分聯(lián)系在一起。利用此公式，可以根據(jù)不定積分的計算計算出定積分。這個公式要求函數(shù)f (x)在區(qū)間b,b】內必須連續(xù)。求連續(xù)函數(shù)f (x)的定積分只需求出 f (x)的一個原函數(shù)，再按照公式計算即可。定理：若函數(shù)f (x)在區(qū)間la,b連續(xù)，且F(x)是f(x)的原函數(shù)，則

11、bf f (x)dx =F(b) F(a)。a證明：因為F(x)是f (x)的原函數(shù)，即Vxw Ia,b】有F'(x) = f(x)x積分上限函數(shù)f f(t)dt也是f(x)的原函數(shù) ax所以 af(t)dt =f(x) x所以 f(t)dt-F(x) =C a a令 x=a有f(t)dt F(a) =C即C = F(a) ab再令 x = b 有 f f (x)dx = F (b) - F (a) a我們知道，不定積分與定積分是互不相關的，獨立的。但是在連續(xù)的條件下，微積分基本定理把這兩個互不相關的概念聯(lián)系起來，這不僅給定積分的計算帶來極大的方便，在 理論上把微分學與積分學溝通起來，

12、這是數(shù)學分析的卓越成果，有著重大的意義。例1、用牛頓萊布尼茨公式計算定積分j xdx。-oi1 c 1解：原式= 1x2 =-202同樣的一道題目，用牛頓 -萊布尼茨公式明顯比定義法簡單，容易計算。2.3 定積分的分部積分法公式：函數(shù)u(x) , v(x)在Ia,b有連續(xù)導數(shù)則bb bu(x)dv(x) = u(x)v(x) a - v(x)du(x) aa證明：因為u(x) , v(x)在Ia,b有連續(xù)導函數(shù) '所以 1(x)v(x) 1 =u(x)v(x) v(x)u (x)所以 a U(x)v(x) I - u(x)v(x) b = u(x)v (x) v(x)u (x) dx=

13、u(x)v(x)：r b,bb,即 u(x)v (x)dx = u(x)v(x) - v(x)u (x)dx aa ' abbb或 u(x)dv(x) = u(x)v(x) - v(x)du(x) aa 'a例1、求定積分f lnxdx。 -i 2222解.ln xdx = xln x1 一 ( xd In x = 2ln 2-0 -x1 =2ln 2 -12.4 定積分的換元積分法應用牛頓-萊布尼茨公式求定積分，首先求被積函數(shù)的原函數(shù)，其次再按公式計算。一般情況下，把這兩步截然分開是比較麻煩的，通常在應用換元積分法求原函數(shù)的過程中也相應交換積分的上下限，這樣可以簡化計算。公式

14、：若函數(shù)f(x)在區(qū)間Ia,b連續(xù)，且函數(shù)x=(t)在k,P有連續(xù)導數(shù)，當豆 Wt wP 時，有 a <<P(t) Wb則：ba f (x)dx= Qf fp(t)* (t)dt = L f 眇d5bb證明：f(x)dx = F(x),a = F(b)F(a)P »2a / k門， - rL f 及(t)a (t)dt = F 仲(t)a= F a(P)】F學(a)= F(b) F(a)b' ,即,f(x)dx= . f L：(t)：(t)dt a這個公式有兩種用法:b(1)、若計算 f f (x)dx aG、選取合適的變換Q)、把x =(t)代入x = Wt),

15、由a,b通過b=中(t), a =中(t)分別解出積分限P與b-1,f f(x)dx 得到 f f 仲(t)中(t)dt;aY例1、計算定積分Va2 -x2dx。- 0解：設 x =asint 有 dx =acostdt x=0時，t=0； x=a時，t =±2a 222a - x dx = ao2 cos2 tdt =工&02二 2=-a4、計算 Qg(t)dt,其中 g(t) = f a(t)】中'(t)D、把g(t)湊成f體(t)6(t)的形式；2)、檢查x =5(t)是否連續(xù)；3)、根據(jù)ot與P通過x =(t)求出左邊的積分限 a,b ;4)、計算.1 i例2

16、、計算定積分 _dt 。、.5-4t5 -x21斛：令 J5 -4t = x ,則 t =, dt = xdx42當 t = 1 時，x = 3；當 t =1 時，x = 1i1 111所以原式 =1(x)dx = =13x 2234總結定積分計算中最常用的四種方法，本文通過舉例分析定積分的幾種計算方法，來體現(xiàn) 定積分的計算。定積分的計算類型很多，要熟練地進行定積分的各種運算，就要對定積分 的運算技巧不斷熟悉和掌握。其實，在實際計算中，遇到的題目不一樣，用的計算方法也 不一樣。定義法一般不常用，計算起來比較困難，所以一般不會用定義法計算。常用的就 是其他三種，即牛頓-萊布尼茨公式，分部積分法和換元積分法。致謝在老師的悉心指導下我完成了這篇關于定積分的計算方法的論文，感謝老師以以其嚴謹 求實的教案態(tài)度、高度