第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、第一章-復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)教案20122013學(xué)年度 第二學(xué)期任課教師郭城課程名稱復(fù)變函數(shù)采用教材 高教三版（鐘玉泉編）周課時(shí)數(shù)4數(shù)統(tǒng) 學(xué)院 數(shù)學(xué)教育 專業(yè)2010年級(jí) 1班引言數(shù)學(xué)從產(chǎn)生、有發(fā)展到現(xiàn)在，已成為分支眾多的學(xué)科了，復(fù)變函數(shù)是其中 一個(gè)非常重要的分支。以復(fù)數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān) 的理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類具有解析性質(zhì)的函數(shù)，復(fù) 變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函 數(shù)論，簡(jiǎn)稱函數(shù)論。我們知道，在解實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+x=O(aw o1時(shí)，如果判別式b2-4 ac<O,就會(huì)遇到負(fù)數(shù)開(kāi)平方的

2、問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的一個(gè)例子是在解方程 x2+1=0時(shí)，就 會(huì)遇到開(kāi)平方的問(wèn)題。1545年，意大利數(shù)學(xué)物理學(xué)家H Cardan (卡丹)在所著 重要的藝術(shù)一書中列出將 10分成兩部分，使其積為 40的問(wèn)題，即求方程 x(10 x) + 115 =0的根，它求出形式的根為55和55 ,積為 425 ( 15) 40 .然而這只不過(guò)是一種純形式的表示而已，當(dāng)時(shí)，誰(shuí)也說(shuō)不上這 樣表示究竟有什么好處。為了使負(fù)數(shù)開(kāi)平方有意義，也就是要使上述這類方程有解，我們需要再 一次擴(kuò)大數(shù)系，于是就引進(jìn)了虛數(shù)，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。但最初，由于對(duì) 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)了解不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，因而， 長(zhǎng)期以

3、來(lái)，人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十七世紀(jì)和十八世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，情況才逐漸有了 改變。另外的原因，是這個(gè)時(shí)期復(fù)數(shù)有了幾何的解釋，并把它與平面向量對(duì)應(yīng) 起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的緣故。復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀(jì)。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)的積分導(dǎo)出的兩個(gè)方程。而比他更早時(shí)，法國(guó)數(shù) 學(xué)家達(dá)朗貝爾在他的關(guān)于流體力學(xué)的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來(lái) 人們提到這兩個(gè)方程，把它們叫做“達(dá)朗貝爾歐拉方程”。到了十九世紀(jì)， 上述兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，作了更詳細(xì)的研究，所以這兩個(gè) 方程也被叫做“柯西一黎曼條件”。關(guān)于復(fù)數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù) 學(xué)家歐拉

4、(Euler)作出的。他在1777年系統(tǒng)地建立了復(fù)數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函 數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并開(kāi)始把它們 用到水力學(xué)和地圖制圖學(xué)上，用符號(hào)“ i”作為虛數(shù)的單位，也是他首創(chuàng)的。此后，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)和使用在復(fù)數(shù)域內(nèi)考慮問(wèn)題往往比較方便，例如，一元n次方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)包有解。這就是著名的代數(shù)學(xué)基本定理，它用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決是非常簡(jiǎn)潔的。又如， 在實(shí)數(shù)域內(nèi)負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)無(wú)意義，而在復(fù)數(shù)域內(nèi)我們就可以定義負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)。復(fù)變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀(jì)，就像微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八 世紀(jì)的數(shù)學(xué)那樣，復(fù)變函數(shù)這個(gè)新的分支統(tǒng)治了十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué) 家公認(rèn)復(fù)變函數(shù)論

5、是最豐饒的數(shù)學(xué)分支，并且稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也有 人稱贊它是抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。在十九世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)的理論經(jīng)過(guò) 法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西(Cauchy)、彳惠國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(Riemann)和維爾斯特拉斯 (Weierstrass)的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并深刻地滲人到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、 概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)、和 電學(xué)等方面也有很多的應(yīng)用。二十世紀(jì)以來(lái)，復(fù)變函數(shù)已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到理論 物理、彈性理論和天體力學(xué)等方面，與數(shù)學(xué)中其它分支的聯(lián)系也Et益密切。致使經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問(wèn)題等有 了新的發(fā)展和應(yīng)用

6、。并且，還開(kāi)辟了一些新的分支，如復(fù)變函數(shù)逼近論、黎曼 曲面、單葉解析函數(shù)論、多復(fù)變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論以及擬保形變換等。 另外，在種種抽象空間的理論中，復(fù)變函數(shù)還常常為我們提供新思想的模型。為復(fù)變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達(dá)朗貝爾，法國(guó)的拉普拉斯也 隨后研究過(guò)復(fù)變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學(xué)科的先驅(qū)。后來(lái)為這門學(xué)科 的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯。二 十世紀(jì)初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大的進(jìn)展，維爾斯特拉斯的學(xué)生，瑞典數(shù)學(xué)家 列夫勒、法國(guó)數(shù)學(xué)家彭加勒、阿達(dá)瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開(kāi)拓了復(fù)變函 數(shù)論更廣闊的研究領(lǐng)域，為這門學(xué)科的發(fā)展做出了貢獻(xiàn)。從柯西算

7、起，復(fù)變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精 湛的技巧成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分。它曾經(jīng)推動(dòng)過(guò)一些學(xué)科的發(fā)展，并且 常常作為一個(gè)有力的工具被應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中?，F(xiàn)在。復(fù)變函數(shù)論中仍然有不 少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應(yīng)用。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1 .教學(xué)目的復(fù)變函數(shù)的自變量和因變量都是復(fù)數(shù)，因此，復(fù)數(shù)和平面點(diǎn)集是研究復(fù)變 函數(shù)的基礎(chǔ)。復(fù)變函數(shù)及其極限理論與微積分學(xué)的相應(yīng)內(nèi)容類似，但因復(fù)變函 數(shù)是研究平面上的問(wèn)題，因此有其新的含義與特點(diǎn)。本章主要介紹復(fù)數(shù)和復(fù)變 函數(shù)的基本概念，通過(guò)本章教學(xué)，使學(xué)生明確復(fù)變函數(shù)要研究的對(duì)象是解析函 數(shù)，其理論基礎(chǔ)是建立在復(fù)數(shù)域和復(fù)

8、平面上。2 .教學(xué)基本要求理解復(fù)數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域、多連通區(qū)域、約當(dāng)曲線、光滑（逐段光滑） 曲線、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)、擴(kuò)充復(fù)平面等概念；理解復(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算，理 解復(fù)數(shù)的模和輻角的性質(zhì)；理解并掌握復(fù)變函數(shù)極限與連續(xù)性的概念與性質(zhì)； 進(jìn)一步認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)域的結(jié)構(gòu)，并聯(lián)系中學(xué)的復(fù)數(shù)教學(xué)。3 .教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)是復(fù)變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性；難點(diǎn)是無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)及無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域。 4.學(xué)法指導(dǎo)以自習(xí)為主，通過(guò)講授1節(jié)習(xí)題課來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)該章主要概念的理解。5 .教學(xué)內(nèi)容與課時(shí)分配早下課時(shí)§1復(fù)數(shù)2課時(shí)2復(fù)半向上的點(diǎn)集2課時(shí)§3復(fù)變國(guó)數(shù)2課時(shí)§4復(fù)球面與尢窮遠(yuǎn)點(diǎn)1課時(shí)習(xí)題課1課時(shí)教學(xué)

9、內(nèi)容§ 1復(fù)數(shù)教學(xué)目的與要求：了解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的模與輻角；掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘積與商、幕與根運(yùn)算.重點(diǎn):德摩弗(DeMoiVre )公式.難點(diǎn)：德摩弗(DeMoiVre )公式.課時(shí)：2學(xué)時(shí).1 .復(fù)數(shù)域形如z x iy或z z yi的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中x和y均是實(shí)數(shù)，稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部，記為x Rez , y Im z i ,稱為虛單位.兩個(gè)復(fù)數(shù)zi xi iy-與z2 X2 iy2相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相等，即xi x2且 y2虛部為零的復(fù)數(shù)可看作實(shí)數(shù)，即 x i0 x,特別地，0 i-0 0,因此，全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分.實(shí)數(shù)為零但虛部不為零的

10、復(fù)數(shù)稱為純虛數(shù)， 復(fù)數(shù)x iy和x iy稱為互為共腕復(fù)數(shù)，記為(x iy) x iy 或 x iy x iy設(shè)復(fù)數(shù)乙xi iyi , z2 x2 iy2,則復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)定：馬馬(* x2)i(y1 y2)乙22 (x1x2 y1y2) i(x1y2 x2yi)zi 取2 y1y2 ； xy_x1yl /22 i 22 (z20)z2x2 Y2x2 Y2容易驗(yàn)證復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律.全體復(fù)數(shù)并引進(jìn)上述運(yùn)算后稱為復(fù)數(shù)域，必須特別提出的是，在復(fù)數(shù)域中， 復(fù)數(shù)是不能比較大小的.2 .復(fù)平面從上述復(fù)數(shù)的定義中可以看出，一個(gè)復(fù)數(shù)z x iy實(shí)際上是由一對(duì)有序?qū)崝?shù) (x,y)唯

11、一確定.因此，如果我們把平面上的點(diǎn)(x,y)與復(fù)數(shù)z x iy對(duì)應(yīng)，就建 立了平面上全部的點(diǎn)和全體復(fù)數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由于x軸上的點(diǎn)和y軸上非原點(diǎn)的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)和純虛數(shù)， 因而通常稱x軸為實(shí)軸，稱y軸為虛軸，這樣表示復(fù)數(shù)z的平面稱為復(fù)平面或z平面.引進(jìn)復(fù)平面后，我們?cè)凇皵?shù)”與“點(diǎn)”之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了方 便起見(jiàn)，今后我們就不再區(qū)分“數(shù)”和“點(diǎn)”及“數(shù)集”和“點(diǎn)集” .3 .復(fù)數(shù)的模與幅角由圖1.1中可以知道，復(fù)數(shù)z x iy與從原點(diǎn)到點(diǎn)z所引的向量oz也構(gòu)成 一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（復(fù)數(shù)O對(duì)應(yīng)零向量）.從而，我們能夠借助于點(diǎn)z的極坐標(biāo)r和 來(lái)確定點(diǎn)z x iy ,向量oz的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)z的模，

12、記為圖1.1圖1.1r |z . x2 y2 0.顯然，對(duì)于任意復(fù)數(shù)z x iy 均有 |x z"y |z, |z |x |y （1.1）另外，根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識(shí)，我們可以得到兩個(gè)重要的不等式4 zj |z1 z2"2）（三角形兩邊之和第三邊，圖1.2）圖1.2II 4 z2)zz2(1.3)(三角形兩邊之差 第三邊，圖1.3)圖1.3(1.2)與(1.3)兩式中等號(hào)成立的幾何意義是：復(fù)數(shù)乙，Z2分別與zi Z2及z, Z2所表示的三個(gè)向量共線且同向.向量oz與實(shí)軸正向間的夾角 滿足tan 上稱為復(fù)數(shù)z的幅角 x(Argument),記為 Argz由于任一非零復(fù)數(shù)z均

13、有無(wú)窮多個(gè)幅角，若以 Argz表示其中的一個(gè)特定值，并稱滿足條件Argz(1.4)的一個(gè)值為Argz的主角或z的主幅角，則有Argz argz 2k(1.5)(k 0, 1, 2,)注意：當(dāng)z 0時(shí)，其模為零，幅角無(wú)意義.從直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系，我們還可以用復(fù)數(shù)的模與幅角來(lái)表示非零復(fù) 數(shù)z ,即有z r(cos i sin )(1.6)同時(shí)我們引進(jìn)著名的歐拉(Euler)公式：ei cos i sin(1.7)則(1.6)可化為 z rei(1.8)(1.6)與(1.8)式分別稱為非零復(fù)數(shù)z的三角形式和指數(shù)形式，由(1.8)式幾指數(shù)性質(zhì)即可推得復(fù)數(shù)的乘除有i i i 2z1z2rer2i 1

14、Zire一.i 2i( 12)r1r2eZ2rii( i 2)一 er2(1.9)因此Z1Z2司憶2 ,芻(Z20)(1.10)ArgzZ2 Arg, Argz?4(1.11)Arg() Argz1 Argz2 Z2公式(1.10)與(1.11)說(shuō)明：兩個(gè)復(fù)數(shù)乙，z2的乘積(或商)，其模等于這兩個(gè) 復(fù)數(shù)模的乘積(或商)，其幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)幅角的和(或差).特別當(dāng)Z2 1時(shí)可得z1z2 rei(1 -32,3-cos3 cos 3cos sin 4cos 3cos ,3sin3 3cos sin sin 3sin 4sin4.曲線的復(fù)數(shù)方程此即說(shuō)明單位復(fù)數(shù) 區(qū)| 1乘任何數(shù)，幾何上相當(dāng)于將此數(shù)

15、所對(duì)應(yīng)的向量旋 轉(zhuǎn)一個(gè)角度.另外，也可把公式(1.11)中的Argz換成argz (某個(gè)特定值)，若argz為主值 時(shí)，則公式兩端允許相差2的整數(shù)倍，即有Arg(4zz) argz1 argz2 2kz1(1.12)Arg () argz argz2 2 k z2公式(1.9)可推廣到有限個(gè)復(fù)數(shù)的情況，特別地，當(dāng)z1 z2 4時(shí)，有n , i 、nn inn ,.、z (re )rer (cosisin )當(dāng)r 1時(shí)，就得到熟知的德摩弗(DeMoiVre )公式：(cos i sin )ncosn i sin n (1.13)例1.1求cos3及sin 3用cos與sin 表示的式子解：&qu

16、ot;J(cos3 isin3 ) =(cos isin )332. 2. 3cos 3i cos sin 3cos sin i sin例1.2連接乙及Z2兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為z Z1 t(Z2 Zi) (0 t 1)過(guò)Zi及Z2兩點(diǎn)的直線(圖)的參數(shù)方程為Z Zi t(Z2 Zi)(例1.3 z平面上以原點(diǎn)為心，k為半徑的圓周的方程為|z Rz平面上以Zo為心，R為半徑的圓周的方程為z Zo| R例1.4z平面上實(shí)軸的方程為Imz 0,虛軸的方程為 Rez 0.作業(yè)：第42頁(yè)2,3,4§ 2復(fù)平面上的點(diǎn)集教學(xué)目的與要求：平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念；掌握區(qū)域的概念；了解約當(dāng)定理.重點(diǎn)：

17、區(qū)域的概念，約當(dāng)定理.難點(diǎn)：區(qū)域的概念.課時(shí)：2學(xué)時(shí).1 .幾個(gè)基本概念定義1.1滿足不等式|z Zo|的所有點(diǎn)z組成的平面點(diǎn)集（以下簡(jiǎn)稱點(diǎn)集）稱為點(diǎn)z0的鄰域，記為N（4）.顯然，N （zj即表示以Zo為心，以為半徑的圓的內(nèi)部定義1.2 設(shè)E為平面上的一個(gè)點(diǎn)集，若平面上一點(diǎn) z0的任意鄰域內(nèi)巨有E的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱zo為E的內(nèi)點(diǎn).定義1.3 若E的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于E,則稱E為閉集.若E的所有點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)， 則稱E為開(kāi)集定義1.4 若M 0, z E,均有z M則稱E為有界集，否則稱E為無(wú)界集.2 .區(qū)域與約當(dāng)（Jordan）曲線定義1.5若非空點(diǎn)集D滿足下列兩個(gè)條件：（1） D為開(kāi)集.（2） D

18、中任意兩點(diǎn)均可用全在D中的折線連接起來(lái)，則稱 D為區(qū)域.定義1.6若zo為區(qū)域D的聚點(diǎn)且zo不是D的內(nèi)點(diǎn)，則稱4為D的界點(diǎn)，D的所有界點(diǎn)組成的點(diǎn)集稱為D的邊界，記為D,若r 0,使得N,（4） D ，則稱4為D的外點(diǎn)定義1.7區(qū)域D加上它的邊界C稱為閉區(qū)域，記為D D C有關(guān)區(qū)域的幾個(gè)例 子例1.5 z平面上以點(diǎn)4為心，R為半徑的圓周內(nèi)部（即圓形區(qū)域）：|z 4 R例1.6 z平面上以點(diǎn) 4為心，R為半徑的圓周及其內(nèi)部（即圓形閉區(qū)域）z 4 R例1.5與例1.6所表示的區(qū)域都以圓周z ZoR為邊界，且均為有界區(qū)域例1.7上半平面下半平面 它們都以實(shí)軸Im z 左半平面Re zIm z 0Im

19、z 00為邊界，且均為無(wú)界區(qū)域.0右半平面Rez 0它們都以虛軸Rez 0為邊界，且均為無(wú)界區(qū)域.例1.8圖1.4所示的帶形區(qū)域表為yi Im z y2.y)V2y1o圖1.4其邊界為y y1與y y2,亦為無(wú)界區(qū)域.例1.9圖 所示的圓環(huán)區(qū)域表為r z R其邊界為z r與|z R,為有界區(qū)域.定義1.8設(shè)x(t)及y(t)是兩個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)t在閉區(qū)間,上的連續(xù)實(shí)數(shù)，則由方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )(1.13)所確定白t點(diǎn)集C稱為z平面上的一條連續(xù)曲線，(1.13)稱為C的參數(shù)方程，z() 及工)分別稱為C的起點(diǎn)和終點(diǎn)，對(duì)任意滿足t1 及 t2的與t2,若t t2時(shí)有z(t

20、)z(t2),則點(diǎn)z(t)稱為C的重點(diǎn)；無(wú)重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡(jiǎn) 單曲線(約當(dāng)曲線)；z( ) z()的簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線.若在 t 上 時(shí)，x (t)及y (t)存在節(jié)不全為零，則稱C為光滑(閉)曲線.定義1.9由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線.定義1.1 (約當(dāng)定理)任一簡(jiǎn)單閉曲線C將z平面唯一地分為C、I(C)、E(C)個(gè)點(diǎn)集(圖 1.5), 它們具有如下性質(zhì)圖1.5彼此不交.(2) I(C)與E(C) 一個(gè)為有界區(qū)域(稱為C的內(nèi)部)，另一個(gè)為無(wú)界區(qū)域(稱為C 的外部) 若簡(jiǎn)單折線P的一個(gè)端點(diǎn)屬于I (C ),另一個(gè)端點(diǎn)屬于E(C),則P與C必有交點(diǎn).對(duì)于簡(jiǎn)單閉曲線

21、的方向，通常我們是這樣來(lái)規(guī)定的：當(dāng)觀察這沿 C繞行一周時(shí)， C的內(nèi)部(或挖)始終在C的左方，即“逆時(shí)針”(或“順時(shí)針”)方向，稱為C 的正方向(或負(fù)方向).定義1.10設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若D內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部全含于 D 則稱D為單連通區(qū)域，不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域.例如，例1.5 1.8所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域，例1.9所示的區(qū)域?yàn)槎噙B通區(qū)域.(請(qǐng)同學(xué)們針對(duì)定義1.10自己作圖思考)作業(yè)：第 42 頁(yè) 6.(1) (3) (5), 7, 8,9§ 3復(fù)變函數(shù)教學(xué)目的與要求：理解復(fù)變函數(shù)的概念；了解復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念. 重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的概念.難點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的幾

22、何表示.課時(shí)：2學(xué)時(shí).1 .復(fù)變函數(shù)概念定義1.11設(shè)E為一復(fù)數(shù)集，若存在一個(gè)對(duì)應(yīng)法則f ,使得E內(nèi)每一復(fù)數(shù)z均有唯一(或兩個(gè)以上)確定的復(fù)數(shù)u與之對(duì)應(yīng)，則稱在E上確定了一個(gè)單值(或多 值)函數(shù)w f(z)(z E),E稱為函數(shù)w f(z)的定義域，w值的全體組成的集合稱為函數(shù)w f(z)的值域.例如w z , w z及w z-(z 1)均為單值函數(shù)，w際及z 1w Argz (z 0)均為多值函數(shù).今后如無(wú)特別說(shuō)明，所提到的函數(shù)均為單值函數(shù).設(shè)w f(z)是定義在點(diǎn)集E上的函數(shù)，若令z x iy , w u iv則u、v土勻隨著x、y而確定，即u、v均為x、y的二元實(shí)函數(shù)，因此我們常把w f

23、(z)寫成f(z) u(x, y) iv(x, y) (1.14)若z為指數(shù)形式，z rei ,則w f(z)又可表為w p(r, ) i (r, ) (1.15)其中p(r, ) , Q(r,)均為r、的二元實(shí)函數(shù).由(1.14)和(1.15)兩式說(shuō)明，我們可以把復(fù)變函數(shù)理解為復(fù)平面z上的點(diǎn)集和復(fù)平面w上的點(diǎn)集之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射或變換)，這是由于在復(fù)平面上我們 不再區(qū)分“點(diǎn)”(點(diǎn)集)和“數(shù)”(數(shù)集).故今后我們也不再區(qū)分函數(shù)、映射和 變換.3.復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性定義1.12設(shè)w f(z)于點(diǎn)集E上有定義，及為E的聚點(diǎn)，若存在一復(fù)數(shù) w。，使得 0,0,當(dāng)0 z z。時(shí)有,f(z)

24、w0(z Z)則稱f(z)沿E于z。有極限w。，記為z limz f (z) z0(z E)定義1.12的幾何意義是：對(duì)于0 ,存在相應(yīng)的0 ,使得當(dāng)z落入Zo的去心 鄰域時(shí)，相應(yīng)的f(z)就落入w。的 鄰域.這就說(shuō)明z 11mz f(z)與Z0(z E)zz。的路徑無(wú)關(guān).即不管z在E上從哪個(gè)方向趨于z。，只要z落入z。的去心鄰域內(nèi)，則相應(yīng)的"2)就落入0。的鄰域內(nèi)，而在數(shù)學(xué)分析中，lim f (x)' x x。、'中x只能在x軸上沿著X。的左，右兩個(gè)方向趨于X0 ,這正是復(fù)分析與數(shù)學(xué)分析不 同的根源.今后為了簡(jiǎn)便起見(jiàn)，在不致引起混淆的地方，77 f(z)均寫成lim

25、 f(z)zZ0z zn(z E)?？梢灶愃朴跀?shù)學(xué)分析中的極限性質(zhì)，容易驗(yàn)證復(fù)變函數(shù)的極限具有以下性質(zhì)：則有若極限存在，則極限是唯一的.(2) limf(z)與 limg(z)都存在,zzozzolim f (z) g(z) lim f(z) zZ0zZ0lim g(z) zzolim f ( z) g ( z) lim f ( z)z zz z。lim g (z) z zolim f ( z) f(z) z z。(g(z)。) lim - limz z g (z) lim g (z) z zn0zZ0。另外，對(duì)于復(fù)變函數(shù)的極限與其實(shí)部和虛部的極限的關(guān)系問(wèn)題，我們有下述定理：定理1.2設(shè)函數(shù)f

26、(z) u(x, y) iv(x,y)于點(diǎn)集E上有定義,Z。X。iy。為E的聚點(diǎn)，則lim f(z)zzoa ib 的充要條件 lim u(x, y) a 及 limv(x, y) bx xoy yo證明：因?yàn)?f (z)u(x,y) a iv(x, y) b從而由不等式1.1可得u(x,y) af(z)v(x, y) b f (z)(1.16)f(z)u(x, y) av(x,y) b (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的證明.由(1.17)可得充分性部分的證明.定義1.13設(shè)w f(z)于點(diǎn)集E上有定義，4為E的聚點(diǎn)，且4 z,若lim f (z) f(zo)則稱 f(z)沿 E

27、 于 zo連續(xù).根據(jù)定義1.13 , f(z)沿E于z0連續(xù)就意味著：0 ,0 ,當(dāng)z zo時(shí)，有 f(z) f (zo)與數(shù)分中的連續(xù)函數(shù)性質(zhì)相似，復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性有如下性質(zhì)：(1)若f(z), g(z)沿集E于點(diǎn)z0連續(xù)，則其和，差，積，商(在商的情形，要求分母zo不為零)沿點(diǎn)集E于zo連續(xù).(2)若函數(shù)f(zo)沿集E于zo連續(xù)，且f(E) G ,函數(shù)w g()沿集G于0f(zo)連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)w gf(zo)沿集E于zo連續(xù).其次，我們還有定理1.3 設(shè)函數(shù)f (z) u(x,y) iv(x,y)于點(diǎn)集E上有定義，z。E,則f(z)在點(diǎn)zo % iyo連續(xù)的充要條件為：u(x,y) , v(x, y)沿E于點(diǎn)(xO,yo)均連續(xù).事實(shí)上，類似于定理1.2的證明，只要把其中的a換成u(xo, yo) , b換成v(xo,yo)即可得到定理的證