點(diǎn)到平面距離地若干典型求法

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用點(diǎn)到平面距離的若干典型求法目錄1 .引言 12 .預(yù)備知識(shí) 13 .求點(diǎn)到平面距離的若干求法 33.1 定義法求點(diǎn)到平面距離 33.2 轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離 53.3 等體積法求點(diǎn)到平面距離 73.4 利用二面角求點(diǎn)到平面距離 83.5 向量法求點(diǎn)到平面距離 93.6 最值法求點(diǎn)到平面距離 113.7 公式法求點(diǎn)到平面距離 131 .引言求點(diǎn)到平面的距離是高考立體幾何部分必考的熱點(diǎn)題型之一，也是學(xué)生較難準(zhǔn)確把握難 點(diǎn)問(wèn)題之一。點(diǎn)到平面的距離的求解方法是多種多樣的， 本講將著重介紹了幾何方法（如體 積法，二面角法）、代數(shù)方法（如向量法、公式法）及常用數(shù)學(xué)思維方法（如轉(zhuǎn)化法、最值 法）等角

2、度等七種較為典型的求解方法，以達(dá)到秒殺得分之功效。2 .預(yù)備知識(shí)（1） 正射影的定義：（如圖1所示）從平面外一點(diǎn)P向平面s引垂線，垂足為P',則點(diǎn)P'叫 做點(diǎn)P在平面a上的正射影，簡(jiǎn)稱為射影。同時(shí)把線段 PP'叫作點(diǎn)P與平面口的垂線段。文案大全圖1(2)點(diǎn)到平面距離定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面上的正射影的距離叫作這點(diǎn)到這個(gè)平面的距離， 也即點(diǎn)與平面間垂線段的長(zhǎng)度。(3)四面體的體積公式1 -V Sh3其中V表示四面體體積，S、h分別表示四面體的一個(gè)底面的面積及該底面所對(duì)應(yīng)的高。(4)直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此 平面垂直。(

3、5)三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直， 那么它和 這條斜線也垂直。(6)二面角及二面角大?。浩矫鎯?nèi)的一條直線l把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做 半平面，從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形，叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面。圖2所示為平面口與平面P所成的二面角，記作二面角a -l -P ,其中l(wèi)為二面角的棱。如圖在棱l上任取一點(diǎn)O ,過(guò)點(diǎn)O分別在平面a及 平面P上作l的垂線OA、OB ,則把平面角/AOB叫作二面角a _ l _ P的平面角，/ AOB的 大小稱為二面角a -1 - P的大小。在很多時(shí)候?yàn)榱撕?jiǎn)便敘述，也把/

4、AOB稱作ot與平面P所 成的二面角。(7)空間向量?jī)?nèi)積：，工、，、/人"41心一人一口 ，、八口，一 、一代數(shù)止義：設(shè)兩個(gè)向重a=(x，y1，z), b=(“，y2,z2),則將兩個(gè)向重對(duì)應(yīng)分重的乘積之和定義為向量：與b的內(nèi)積，記作alb ,依定義有力稹= x1x2+y1y2+z1z2幾何定義：在歐幾里得空間中，將向量a與b的內(nèi)積直觀地定義為a_b心cos<a,b>, 這里ai、ib分別表示向量a、b的長(zhǎng)度，<a,b>表示兩個(gè)向量之間的夾角。向量?jī)?nèi)積的 幾何意義為一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量正方向上投影向量模的乘積。當(dāng)|cos90°=0。&l

5、t;a,b>=900,即，,1 時(shí)，otbqa|b|cos<a,b>=|ag卜面說(shuō)明這兩種定義是等價(jià)的。C 二 PQ如圖3所示，設(shè)O、P、由余弦定理T2 Tl22|c|'二|af |b | -2| a |b | cos ： a,b再設(shè) a =（無(wú)，必，乙），b =（X2,y2,Z2）,則 c =（x2 x，y? y1，z2 4）從而有（X2 -x）2（V2-yi）2（Z2-4）2 = x2y2Z2x；y2Z2 -2| a|b|cos ： a,bx1x2 y1y2 z1z2 =|a|b |cos 二 a,b這就證得了兩個(gè)定義是等價(jià)的。3求點(diǎn)到平面距離的若干求法3.1 定

6、義法求點(diǎn)到平面距離（直接法）定義法求點(diǎn)到平面距離是根據(jù)點(diǎn)到平面的定義直接作出或者尋找出點(diǎn)與平面間的垂線段，進(jìn)而根據(jù)平面幾何的知識(shí)計(jì)算垂線段長(zhǎng)度而求得點(diǎn)與平面距離的一種常用方法。定義法求點(diǎn)到平面距離的關(guān)鍵在于找出或作出垂線段，而垂線段是由所給點(diǎn)及其在平面射影間線段，應(yīng)而這種方法往往在很多時(shí)候需要找出或作出點(diǎn)在平面的射影。以下幾條結(jié)論常常作為尋找射影點(diǎn)的依據(jù)：(1)兩平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們交線的 直線垂直于另一個(gè)平面。(2)如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在該平面內(nèi)的射影在 這個(gè)角的角平分線所在的直線上。(3)經(jīng)過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)引

7、這個(gè)角所在平面的斜線。設(shè)斜線和已知兩邊的夾角為銳角且相等，則這條斜線在這個(gè)平面的射影是這個(gè)角的角平分線。(4)若三棱錐的三條棱長(zhǎng)相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影是底面三角形的外心。例 如圖4所示，所示的正方體ABCD ABC D'棱長(zhǎng)為a ,求點(diǎn)A到平面ABD'的距離。(注: 本文所有解法均使用本例)圖4解法一(定義法)：如圖5所示，連結(jié)交BD'于點(diǎn)E ,再連結(jié)AE ,過(guò)點(diǎn)A'作A'H垂直于 AE ,垂足為H ,下面證明 AH _L平面AB'D'。丁 AA'_L平面 ABCD .BD _AA又在正方形ABCD'中，對(duì)角線B

8、9;D'_LA'C',且AAnAC'=A'AA'u平面AA'E , AC七平面AAE二由線面垂直的判定定理知道 BD ' _L平面AAEa AH仁平面AAEAH _ BD又由AH的作法知道AH 1 AE ,且有B，D，n AE = E ,B'D'u 平面 ABD', AE cAB D H二由線面垂直的判定定理知道 A'H _L平面AB D '根據(jù)點(diǎn)到平面距離定義，A'H的長(zhǎng)度即為點(diǎn)A，到平面ABD'的距離，下面求AH的長(zhǎng)度=0。2ABD'中，容易得到 AB'

9、= BD，= D'A = J2a ,從而 AAB'D'為正三角形，/AB'D'=600。進(jìn)而在 RtMBE 中，AE =AB'sin/ABD' = V2asin600.1.1由 SE =AA%AE =，AE MAH 得到 221 ah=二CAEAEa j 22,62從而A'到平面ABD'的距離為33.2 轉(zhuǎn)化法求點(diǎn)到平面距離有時(shí)候限于幾何體的形狀，不易直接尋找出點(diǎn)在平面的射影，或者由直接法作出的射影 線段在所給幾何體中不易計(jì)算其長(zhǎng)度，此時(shí)轉(zhuǎn)化法不失為一種有效的方法。轉(zhuǎn)化法即是將點(diǎn) 到平面的距離轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面間的距離的方

10、法。轉(zhuǎn)化法依據(jù)主要有以下兩點(diǎn)： 若直線l /平面口，則直線l上所有點(diǎn)到平面口的距離均相等。 若直線AB與平面u交于點(diǎn)M ,則點(diǎn)A、B到平面a的距離之比為AM : BM。特別地， 當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，A、B到平面a的距離相等。下面用轉(zhuǎn)化法重解上面例題解法二（轉(zhuǎn)化法）如圖6所示，連結(jié)AC、A'C、AC、A'B、AB', AC交BD'于點(diǎn)E ,連結(jié)AE交AC于點(diǎn)H ,延長(zhǎng)AC至點(diǎn)G使得CG='A'C',連結(jié)CG o2圖6丁 CB _L 平面 AABB,從而斜線AC在平面AA'BB的射影為AB,A'B、AB'為正方形AA&#

11、39;B'B對(duì)角線 , AB'_L AB ,二由三垂線定理知道 AB'_L AC同理可以得到AD _ A C又ABCAD'A, AB'u 平面 ABD，AD'u平面 ABD'二 AC _L平面 AB DAH _L平面ABD',即點(diǎn)H為A'在平面ABD'的射影，AH的長(zhǎng)度為所求1. . 1 .AC/AC 即 AC/EG ,且 EG =EC +C G =A C +A C = A C = AC 22二四邊形ACGE為平行四邊形.AE/CG在&ACG由等比性質(zhì)有AH AE 1AC EG 31 .A H AC3而在正

12、方體 ABCD -AB CD'中對(duì)角線 A'C= Jaa2 +AB2 +BC2 = T3aA L. 3A H = a3在本例中，未直接計(jì)算垂線段 A'H的長(zhǎng)度，而是找出了其與正方體 ABCD-A'B'CD'中 對(duì)角線A'C的數(shù)量關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求正方體 ABCD -ABCD'對(duì)角線AC長(zhǎng)度，而AC長(zhǎng)度是極易計(jì)算的，故用這種轉(zhuǎn)化方法降低了運(yùn)算量。本例運(yùn)用的轉(zhuǎn)化方法與依據(jù)（2）類似，都是尋求所要求的垂線段與某一已知或易求線段的數(shù)量關(guān)系，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。3.3等體積法求點(diǎn)到平面距離用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要

13、求的垂線段置于一 個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平面上，這里不 妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡(jiǎn)單的方法求出四面體的體積， 然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式V =1Sh求出點(diǎn)到平面的距離h。在3常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用到等體積法，則可以很大程度上提高解題效 率，達(dá)到事半功倍的效果。特別是遇到四面體的有一條棱垂直于其所相對(duì)的底面時(shí)，首選此方法。下面用等體積法求解上面例子.解法三（等體積法）：如圖7所示，作A'H垂直于平面ABD，于點(diǎn)H ,則ABD，長(zhǎng)度為所 求。對(duì)于四面體AABD；易見(jiàn)底面ABD&#

14、39;的高為AH ,底面ABD，的高為AA。對(duì)四面體 A'AB'D'的體積而言有：Ya-ABD V VA,:-AB D ,圖71 1即有：AA Sabd,二 AH S abd '33也即：AH =AA SABDS Abd '由AB' = BD' = DA = >/2a ,從而AAB'D'為正三角形，/ABD' = 600,進(jìn)而可求得S. abd = A AB AD sin，AB D = g（、2a）2sin 60。=a2又易計(jì)算得到Rt：ABD.的面積為SABD a21 2所以ah = AAS型a S AB

15、D 'a 2a 3aa3 23a2我們?cè)谑褂玫润w積法求點(diǎn)到平面距離時(shí)使用的點(diǎn)與平面間的垂線段只是概念上的,不一定要知道點(diǎn)在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線 段，垂線段的長(zhǎng)度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。3.4利用二面角求點(diǎn)到平面距離如圖8所示,l為二面角a -l -P的的棱，NAOB為二面角0 - -P的一個(gè)平面角。下面考慮點(diǎn)B到平面a的距離。作BH _LOA ,垂足為H ,下面證明BH _L平面u 。圖8/AOB為二面角a - -P的一個(gè)平面角二 OA _L 、OB .L又 OAQOB =0j. _L平面 AOB 又 BH仁平面AOB ,B

16、H _又 BH_LOA, OAp=O , OAU 平面 ct, u 平面 ot二BH _L平面a在RtiOBH中，有BH = OB sin/BOH 這個(gè)公式就建立點(diǎn)到平面距離與二面角的一個(gè)數(shù)量關(guān)系。從而如果能將點(diǎn)與平面置于一個(gè)二 面角中，則可利用通過(guò)所給點(diǎn)關(guān)于平面的一條斜線及二面角計(jì)算點(diǎn)與平面間的距離。卜面利用二面角法求解上面例子。解法四（二面角法）：如圖9所示，連結(jié)A舊、AB、AB與AB，相交于點(diǎn)O ,連結(jié)DO。: A'B與AB'為正方形ABBA'的對(duì)角線二 AB _LAB'(即 AO _L AB'), O 為 AB'中點(diǎn)圖9二/AOD'

17、;為二面角A - AB - D，的平面角設(shè)A'到平面ABD'的距離為d , OA'是過(guò)點(diǎn)A'的關(guān)于平面AB'D'的一條斜線，又上面得到的公式有d = OA sin . A OD易見(jiàn)，D A'_L 平面 ABBA',從而 D A'_LOA.在 RtAA'OD'中有tan AOD =AD = a_ =.、五OA .2a2從而點(diǎn)A到平面ABD'的距離為2223d =OA sin - A OD =asin(arctanv2)=a =a22333.5向量法求點(diǎn)到平面的距離向量法求點(diǎn)到平面的距離主要是依據(jù)如下結(jié)

18、論：點(diǎn)到平面的距離等于這個(gè)與平面上任 一點(diǎn)所連接的向量與該平面法向量方向上的單位向量數(shù)量積的絕對(duì)值。證明：如圖10所示，P為平面a外一點(diǎn)，Q為平面上任意一點(diǎn)，PO _L平面口于點(diǎn)O , n即IQ_n|為平面a的單位法向量。|Po|=|pQn|這個(gè)公式將點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為了過(guò)所給點(diǎn)的任意斜線上的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別在所給 點(diǎn)及所給平面上一點(diǎn)的向量與平面法單位法向量的內(nèi)積。卜面用向量法從新求解上面例子解法五（向量法）如圖11所示以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA,DC , DD* '所在的正方向分別x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系o圖11由所給條件知道坐標(biāo)點(diǎn) A(a,0,0)、A'(a,0,

19、 a),由(a,a,a) , D'(0,0, a),從而有 AB'= (0,a,a),AD =(-a,0,a) , AA =(0,0, a)。設(shè)平面ABD '的任意一個(gè)法向量為n0 = (x, y,z),則有n0 1 AB n0 _LAD',即代入已知得到ay az = 0-ax az = 0這是一個(gè)關(guān)于x,y,z的不定方程，為了方便起見(jiàn)，不妨設(shè) z = 1,這樣上式變?yōu)閍y a =0-ax a = 0解該式得到x =1,y - 一1這樣就得到平面ABD，的一個(gè)法向量為=（1-1,1）,將其單位化得到平面 AB'D'的一 個(gè)單位法向量為4=工=（

20、二,二,）。設(shè)點(diǎn)A'到平面AB'D'的距離為d ,結(jié)合式所給出的結(jié)論有d =| AA肅|=|0 0 0 a 11 =33.33即點(diǎn)A'到平面ABD'的距離為 3用向量法求解點(diǎn)到平面的距離比之前面提供的幾種幾何方法而言，這種方法不需要大量的幾何證明，而主要是較為機(jī)械地進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。因而在實(shí)際使用這種方法時(shí)，第一步建立 空間直角坐標(biāo)系常常成為最為關(guān)鍵的步驟，如果所建立的坐標(biāo)系不能確定所給幾何圖形中關(guān) 鍵點(diǎn)（所給平面外點(diǎn)及所給平面上不共線的任意三個(gè)點(diǎn)）在建立的坐標(biāo)系的坐標(biāo)，則無(wú)法進(jìn) 行后續(xù)步驟；如果所建立的坐標(biāo)系雖然能夠表示的關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，但在所建立的坐標(biāo)系中

21、得 到關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，或者得到的關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式復(fù)雜， 都將會(huì)導(dǎo)致繁瑣的的計(jì) 算。因此，選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系對(duì)于使用本方法及簡(jiǎn)化計(jì)算都是相當(dāng)重要的。3.6 利用最值求點(diǎn)到平面距離在介紹最值法之前，先介紹一個(gè)簡(jiǎn)單的知識(shí)，即點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)與平面上任意點(diǎn)連 線的最小值。以下對(duì)這點(diǎn)做簡(jiǎn)要說(shuō)明。如圖12所示，平面a外一點(diǎn)P在平面a的射影為點(diǎn)P', Q為平面口上任意一點(diǎn)。若Q不與P'重合，則PQ#0, PPQ構(gòu)成三角形。因PP'_L平面口，PQu平面a , PP'_L PQ ,三角形PPQ為直角三角形，從而由勾股定理有PQ 二 PP 2 P Q2 PP這樣就證

22、得了結(jié)論。有了上面這個(gè)結(jié)論，那么只要找到平面外一點(diǎn)到平面上任意一點(diǎn)的距離的函數(shù)表示，再般構(gòu)造函數(shù)沒(méi)求出該函數(shù)的最小值，則由上面結(jié)論即可知該最小值即為點(diǎn)到平面的距離。有確定的方法，不同的角度構(gòu)造出的函數(shù)表示很可能是不一樣的， 不過(guò)這并不影響最終結(jié)果。下面用常用的向量構(gòu)造方法構(gòu)造函數(shù)求解上面例子中點(diǎn)到平面的距離解法六(最值法)如圖13所示，E為平面AB D'上任意一點(diǎn)，以D點(diǎn)為原點(diǎn)，DA , DC ,DD '所在的正方向分別x,y , z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系。圖13由所給條件知道A(a,0,0)、A'(a,0, a), B'(a,a,a), D'(0

23、,0, a)從而有 AB； = (0,a,a) AD=(-a,0,a), AA = (0,0, -a)。設(shè)點(diǎn)E在所建立的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為E(x, y,z),因E在平面ABD'上，從而向量aE=.aB+n7D （九*wr）AE = (x -a, y,z)可由相交向量 AB AD線性表示，不妨設(shè)則+ tAE =AA AE = AA ' AB AD =（-a，a' © a-a）因此| AE | 二.jQaJ）2 ）2 （a-a- a）2二 a, 2廠22-2X.L -2、-2:>11 21 21 1 1= a,2-）2 2（J 2（T（ & ：3333

24、34a（當(dāng)且僅當(dāng)九=N =3時(shí)取等號(hào)）從而A型平面ABD點(diǎn)的距離最小值為 叵a ,也即點(diǎn)A'到平面ABD的距離為 a033最值方法提供了求解點(diǎn)到平面距離的一種較為新穎的方法， 同時(shí)這種方法是建立在對(duì)點(diǎn) 到平面距離的深入理解的基礎(chǔ)上的，也有助于加深理解點(diǎn)到平面距離的概念。不過(guò)這種方 法對(duì)使用者的代數(shù)知識(shí)素養(yǎng)要求較高，要將幾何圖形中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造 出平面外點(diǎn)到平面上點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，而且對(duì)函數(shù)最值的求法也需要較高的變形技巧，否則 即使構(gòu)造出平面外點(diǎn)到平面上點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系也難求出函數(shù)最值，故一般這種方法對(duì)水平較 高的讀者比較適用。3.7 利用點(diǎn)到平面的距離公式求點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平

25、面的距離公式主要是利用解析幾何的知識(shí)，將所給點(diǎn)及平面均給予代數(shù)表式，從 而用代數(shù)方法得到的點(diǎn)與平面距離的統(tǒng)一的代數(shù)表示。 點(diǎn)到平面的距離公式的推導(dǎo)方法有相 當(dāng)多，如直接用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)、利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何性質(zhì)推導(dǎo)、利用球的切平面性質(zhì)推導(dǎo)、利用極值法推導(dǎo)等等。公式法的實(shí)質(zhì)是幾何量代數(shù)化的結(jié)果，因此絕大多 數(shù)求解點(diǎn)到平面距離的幾何方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言都可以得到一般意義上的點(diǎn)到平面的距離 公式。限于本文篇幅，就不對(duì)這些方法一一介紹了，下面僅從利用兩點(diǎn)間距離公式的角度給 出點(diǎn)到平面的距離公式一種推導(dǎo)。如圖14所示，平面二外一點(diǎn)P在平面色的射影為點(diǎn)P"在某空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)平面a

26、的代數(shù)方程為：Ax + By + Cz + D = 0 ,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(X0, % , 4 )。將平面a的方程改寫為A(xX0) +B(y y0) +C(z Zo) = (Ax。+ By。+C4 + D)又由PP'_L平面a及直線PP'過(guò)點(diǎn)P(x0,y0,z0)知道直線PP'的方程為下面不妨設(shè)將代入中得到X -X0y = Z -Z0ABCX-X0y y°z- Z0=tABCAX0 By° Cz° D22_ 2ABC顯然P'的坐標(biāo)P'(X,y,z)在直線PP'上，從而滿足，即有X - X0 = At=A(Ax° By° Cz° D)一A2 B2 C2y - y0 = Bt =B(Ax° By° C4 D)一A2 B2 C2C(AX0 By0 Czg D)一A2 B2 C2進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式d PP > (x -X0)2 (y - y0)2 (y -yo)22 .2.2,.