難題攻克之奇偶性與單調(diào)性專題復(fù)習(xí)進(jìn)程

1、難題攻克之奇偶性與單調(diào)性專題難題攻克之奇偶性與單調(diào)性專題函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函 數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場(chǎng)(1)求a的值；(2)證明:x()設(shè)aO,f(x)=e 字是R上的偶函數(shù), a ef(x)在(0, + g)上是增函數(shù).案例探究1例1 已知函數(shù)f(x)在(一1, 1)上有定義，f(-)=- 1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時(shí)2X y f(x)0,且對(duì)任意 x、y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)=f()，試證明：1 xy (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減.命

2、題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬題目.知識(shí)依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能 不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.技巧與方法：對(duì)于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x= y是解題關(guān)鍵；對(duì)于(2)，判定竺的范圍是焦點(diǎn).1 x1 x2證明：由 f(x)+f(y)=f( 一)，令 x=y=O,得 f(0)=0,令 y= x,得 f(x)+f( 1 xyx xx)=f()=f(0)=0. f(x)= f(x).A f(x)為奇函數(shù).1 x(2)先證f(x)在(0, 1)上單調(diào)遞減.令 0VX1VX

3、2V1則 f(X2) f(X1)=f(X2) f( X1) = f( )1 X1X2T 0VX1VX20,1 X1X20,._0,1 x2x1又(X2 X1) (1 X2X1) = (X2 1)(X1 + 1)0X2 X11 X2X1,02 土1,由題意知 f(-X2 勺)0,1 x2x11 x1 x2即 f(X2)f(x1). f(x)在(0, 1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0. f(x)在(一1, 1)上為減函數(shù).例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(一 ,0)內(nèi)單調(diào)遞 增，f(2a2+a+1)vf(3a2 2a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù) y=(

4、!)a2 3a1的單調(diào)遞減區(qū)間.命題意圖：本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對(duì)復(fù)合函數(shù) 單調(diào)性的判定方法.本題屬于級(jí)題目.知識(shí)依托：逆向認(rèn)識(shí)奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問 題.錯(cuò)解分析：逆向思維受阻、條件認(rèn)識(shí)不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂.技巧與方法：本題屬于知識(shí)組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對(duì)條件的思考 與認(rèn)識(shí)，通過本題會(huì)解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法.解：設(shè)0X1X2,則一X2 X10，T f(x)在區(qū)間(一X ,0)內(nèi)單調(diào)遞增， f( X2)f( X1), T f(x)為偶函數(shù)， f( X2)=f(X2),f( X1) = f(X1), f(X2)f(X1).

5、 f(x)在(0，+x)內(nèi)單調(diào)遞減.又2a2 a 12(a1)280，3a2 2a 13(a1)2 I 0.由 f(2a2+a+1)3a2 2a+1.解之，得 0a3.又 a2-3a+仁(a_ -)2-5.241 23函數(shù)y=( -)a 3a 1的單調(diào)減區(qū)間是一，2 2結(jié)合0a3，得函數(shù)y=( -)a2 3a 1的單調(diào)遞減區(qū)間為-,3).2 2錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1) 判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、 合理性.同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對(duì)所列的“磁場(chǎng)

6、”及“訓(xùn) 練”認(rèn)真體會(huì)，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌 握基本函數(shù).(2) 加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展 開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題()下列函數(shù)中的奇函數(shù)是()A.f(x)=(x-1) X 1 1 xB.f(x)=lg(1|x2x2)2| 2_ 1 si n x cosx1 cosx sinxC.f(x)=X2 x(x 0)2x2 x(x 0)?.()函數(shù) f(x)= )若函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d 滿足 f(0)=f(x“=f(X2)=0 (0X11).x 1 證明：

7、函數(shù)f(x)在(一1, +x)上為增函數(shù). X x 1 的圖象()Ji x用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.36. ( )求證函數(shù)f(x)=2x2在區(qū)間(1, +x)上是減函數(shù).(x 1) X 1A.關(guān)于x軸對(duì)稱B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.關(guān)于直線x=1對(duì)稱二、填空題(i)f(x1 x2) =f(X1)f(X2)1f(X2) f(X1)3. ( )函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證：(1) f(x)是奇函數(shù).(2) f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a.8.( )已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?R ,且對(duì)

8、m、n R,恒有 f(m+n)=f(m)+f( n) 1,且1 1f( - )=0,當(dāng) x-時(shí)，f(x)0.(1) 求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2) 試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)(1)解：依題意，對(duì)一切ex x R,有 f(x)=f( x),即 a1x ae+aex.整理，得(aAA)=0.因此，有 a - =0,即卩 a =1,又 a0,：a=1ea證法- 設(shè)0 vx1vx2,貝 Uf(x1)f(x2)=eX1eX21x2(eX2eeX1)( 1 1)eX1e )( X1 X21)e 1eX1(eX2 X11)1X1 X2 ei丿X1 X2 e由 X1O,X2

9、O,X2X1,二 ex2 x1 1 0,1 ex1 x2 v 0,I f(X1) f(X2)V 0,即 f(X1)V f(X2) f(x)在(0,+g)上是增函數(shù)證法二：由 f(x)=eX+e x，得 f (x)=eX e x=e x (e2x 1).當(dāng) x (0,+g)時(shí),e x0,e2x 10.此時(shí)f (x)0所以f(x)在0，+g)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練1.解析:2f( x)= X XX2 X(X 0)(X 0)(x2 x)(x2 x)(X 0)(x 0)=f(x)，故f(x)為奇函數(shù).答案：C2.解析：f( x)= f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.答案：C二、3.解析：

10、令t=|x+1|,則t在( ， 1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞 增， y=f(|x+1|)在(，1上遞減.答案：(一， 14. 解析:T f(0)=f(xi)=f(x2)=0,二 f(O)=d=O.f(x)=ax(x xi)(x x2)=ax3 a(xi+X2) +axix2x, b= a(xi+x2),又 f(x)在X2,+s )單調(diào)遞增，故a0.又知 Ov xi v x,得X1+X2O, b= a(xi+x2)v 0.答案：(s ,0)三、5.證明：(1)設(shè)一1 vxiv x2V +s，則 x2xi0, ax2 xi 1 且 axi 0,- ax2 ax1 ax1(ax2 x1 1)

11、 0,又 X1+10,X2+10.X22X12(X22)(X11)(花2)(X21)3(X2X1)0x2 1 x1 1(x1 1)( x2 1)(x1 1)(x2 1)于是 f(X2) f(x1)= aX2 aX1 + X22 0x2 1x1 1 f(x)在(1，+ s)上為遞增函數(shù).(2)證法一：設(shè)存在 X0V0(X0 1)滿足f(x0)=0,則aX0匯二 且由0v aX0X01v 1得0v仏二v 1,即-vX0v2與x0v0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.X012證法二：設(shè)存在 X0V 0(X0M 1)使 f(x0)=0,若1v X0V 0,則v 2,aX0X01v 1,.f(x0)v 1

12、 與 f(x0)=0 矛盾，若 X0V 1,則 紅二 0, aX00，. f(x0)0 與 X0 1f(xo)=O矛盾，故方程f(x)=O沒有負(fù)數(shù)根.6證明1 XM 0,二 f(x)= ( 22(X 1)1XcX1 2 1p4X11 2x(1 )X1 V X1 X2f(X2),故函數(shù)f(x)在(1 , + g)上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決)7.證明(1 )不妨令 X=X1X2,貝 U f(X)=f(x2f(X2)f(X1)1f(Xj fg)f(X1)f(X2)1f(X2) f(Xj=f(X1 X2)= f(x). f(x)是奇函數(shù).(2)要證 f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算 f(x+a),f(x+2a).T f(x+a)=f x ( a)f( a)f(x) 1f( a) f( x)f(a)f(x) 1f(a) f(x)f(x)f(x)11(f(a)1).f (x 2a) f (x a) af (x a) 1f(x a) 1f(x) 1 1f(x) 1f(x) 1 1f(x) 11f (x). f(x+4a)=f (x+2a)+2a1f(x扃=倫)故f(x)是