復(fù)習(xí)下6(無窮級數(shù))

1、返回 上頁 下頁 結(jié)束 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí) 6 無窮級數(shù)無窮級數(shù)主要考點(diǎn)主要考點(diǎn):數(shù)項(xiàng)級數(shù)的判斂冪級數(shù)求收斂域、和函數(shù)及函數(shù)的冪級數(shù)展開 傅氏級數(shù)展開及收斂問題返回 上頁 下頁 結(jié)束 1.數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法(1) 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性(2) 正項(xiàng)級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別部分和極限1返回 上頁 下頁 結(jié)束 (3) 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法Leibniz判別法判別法: ,01nnuu且,0limnnu則交錯(cuò)級數(shù)0( 1)nnnu收斂 ,絕對收斂與條件收斂且余項(xiàng).1nn

2、ur絕對收斂的判別 利用正項(xiàng)級數(shù)判別法2. 求冪級數(shù)收斂域的方法求冪級數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R , 再討論Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù)通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.,lim1nnaanRnnnRa lim1或若返回 上頁 下頁 結(jié)束 3. 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 直接展開法 間接展開法 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì) 利用泰勒公式,!1!2112nxxnxxe),(x常用公式常用公式: ),(xx11,) 1(132nnxxxx) 1, 1(x1213! ) 12(1) 1(!31sinnnxnxxx求導(dǎo)nnxnxx212! )2(1) 1

3、(!211cos)1ln(x展式返回 上頁 下頁 結(jié)束 求部分和式極限4. 冪級數(shù)和函數(shù)的求法冪級數(shù)和函數(shù)的求法 求和 映射變換法 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分nnnxa0)(*xS對和式積分或求導(dǎo))(xS難直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值求部分和等 初等變換法: 分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)） 數(shù)項(xiàng)級數(shù) 求和nnnxa0返回 上頁 下頁 結(jié)束 5. 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)(1) 周期為 2 的函數(shù)的傅里里葉展開)sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(間斷點(diǎn)x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0(n),2, 1(n注意注意

4、: 若0 x為間斷點(diǎn),則級數(shù)收斂于2)()(00 xfxf(2) 在 0 , 上函數(shù)的傅里里葉展開法 作奇周期延拓 , 展開為正弦級數(shù) 作偶周期延拓 , 展開為余弦級數(shù)返回 上頁 下頁 結(jié)束 (3) 周期為2l 的函數(shù)的傅里里葉級數(shù)展開公式注意注意:2)()(00 xfxf)(xf20alxnblxnannnsincos1( x 間斷點(diǎn))其中naxlxnxfllldcos)(1nbxlxnxfllldsin)(1), 1 ,0(n),2, 1(n為正弦級數(shù). 2) 當(dāng)f (x)為奇函數(shù)時(shí),0 x為間斷點(diǎn),級數(shù)收斂于1) 若為余弦級數(shù). 當(dāng)f (x)為偶函數(shù)時(shí),返回 上頁 下頁 結(jié)束 實(shí)例分析實(shí)

5、例分析 級數(shù)收斂 , 當(dāng) 時(shí)級數(shù)發(fā)散 . ),0(10annann當(dāng) 時(shí)提示提示:nnnulim1limnnan故 a 1 時(shí)原級數(shù)發(fā)散 ; a = 1 時(shí),nnulimnnn)111 (lim1limnnen1 e0故原級數(shù)也發(fā)散 10 a1a1. 給定級數(shù) 填空題填空題 ( 題題 1-5 )返回 上頁 下頁 結(jié)束 2. 冪級數(shù)124)2(nnnnx的收斂域?yàn)樘崾咎崾? 令,)2(2 xynnnnn44) 1(lim14當(dāng)4y時(shí) , 級數(shù)為11nn, 發(fā)散,4)2(2x)4,0(1limnnnaaR則化為標(biāo)準(zhǔn)冪級數(shù)14nnnny其收斂半徑為故原級數(shù)級數(shù)的收斂域?yàn)榧?22x故原級數(shù)收斂域?yàn)?

6、)4,0(返回 上頁 下頁 結(jié)束 )(xf20,2 xx xx2,4. 設(shè), 又設(shè) S(x) 是 f (x) 的 以 2 為周期的余弦級數(shù)展開式的和函數(shù), 則 .)4( S42 提示提示: )24()4( SS)42( f42 2 O2xy3. 級數(shù)nnnxnn 12ln的收斂半徑 R = .提示提示:1lim nnnaaR) 1ln(122lnlim1 nnnnnnn2 2( 03屆考題)返回 上頁 下頁 結(jié)束 5. 設(shè))()(2xxxxf的傅立葉級數(shù)為)sincos(210 xnbxnaannn則系數(shù) 3bxxxxbd3sin)(123xxxd3sin2032, 級數(shù)在25處收斂于)(xS

7、25S225 S2f432提示提示:2S返回 上頁 下頁 結(jié)束 選擇題選擇題 ( 題題6-10 )( 常數(shù) a 0 ) ( )6. 級數(shù))cos1() 1(1nann(A) 發(fā)散; (B) 條件收斂 ;(C) 絕對收斂; (D) 收斂性與 a 的有關(guān) . ( L. P504 題題29 )提示提示: nanancos1)cos1() 1(,112收斂因nn故原級數(shù)絕對收斂 .C2221na返回 上頁 下頁 結(jié)束 肯定收斂肯定收斂的是（ )7. 設(shè) , ),2, 1(10nnan則下列級數(shù)中提示提示:22) 1(nnnaaD1)(nnaAnnnaB1) 1()(1)(nnaC12) 1()(nnn

8、aD121nn,10nan21n收斂12) 1(nnna絕對收斂返回 上頁 下頁 結(jié)束 的收斂半徑為R1 , 則必有( )8. 設(shè)級數(shù)提示提示: 參看P196 性質(zhì)1 及P198 注.Cnnnnxba)(1的收斂半徑為 R, 級數(shù)nnnnnnxbxa11和RRDRRCRRBRRA1111)(;)(;)(;)(例如, 1, 1nnba時(shí), 收斂半徑 R = 1,.1R但( 02屆考題)返回 上頁 下頁 結(jié)束 9.9.已知nnnxa) 1(1在1x收斂 , 則此級數(shù)在2x處 ( )(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發(fā)散 (D) 收斂性不能確定提示提示: 令, 1 xy由阿貝爾定理知B因此

9、,21處收斂在則yyannn21yyannn在時(shí)絕對收斂 ,21 x)3, 1(x即處絕對收斂 .原級數(shù)在返回 上頁 下頁 結(jié)束 10. 設(shè)函數(shù),10,)(2xxxf而其傅立葉級數(shù)為,sin)(1xxnbxSnn其中),2, 1(dsin)(210nxxnxfbn則) ()21(S;21)(A;41)(B;41)(C21)(D提示提示: S (x) 是對 f (x) 在 (1 , 0 ) 上作奇延拓奇延拓后展開)21(S41B 的傅立葉級數(shù)2)21( yxo11返回 上頁 下頁 結(jié)束 11. 證明: 若, 0lim, 0 aanannn12. 判別級數(shù) 11)1ln(1) 1(nnn的斂散性.

10、則級數(shù) 1nna發(fā)散 .證證: 由于0limlim1 aanannnnn,11發(fā)散又 nn.1發(fā)散 nna解解: 該級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù), 且,)2ln(1) 1ln(1) 1 (1 nnunnu0) 1ln(1limlim)2( nunnn, 故級數(shù)收斂 .( 03屆考題)( 03屆考題)返回 上頁 下頁 結(jié)束 13. 討論 a 為何值時(shí)級數(shù))0(!1eannannn收斂 ,取何值時(shí)發(fā)散 . 解解: nnnuu1lim!) 1(! ) 1(lim11nannnannnnnnnna)11(limea當(dāng) a e 時(shí), 原級數(shù)發(fā)散 ;當(dāng) 0 a e 時(shí), 原級數(shù)收斂 .返回 上頁 下頁 結(jié)束 14. 設(shè)

11、1nna是收斂的正項(xiàng)級數(shù) , 證明1nnna收斂證證: nan由于強(qiáng)級數(shù)12)1(21nnna收斂 , 故原級數(shù)收斂.nan1)1(212nan)() 1(21nannn思考思考. 設(shè) 常數(shù)(A) 發(fā)散; (B) 條件收斂 ;(C) 絕對收斂; (D) 收斂性與 有關(guān) .12nna收斂 , 則級數(shù)且級數(shù)0C(LP504 題30) 返回 上頁 下頁 結(jié)束 15. 若級數(shù)1nna及都收斂 , 且1nnbnnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)1nnc收斂 . 證明證明: 因?yàn)?,2, 1(0nabacnnnn而)(1nnnab 收斂 ,)(1nnnac 收斂 .又),2, 1()(nacacnnn

12、n由1nna及)(1nnnac 收斂 , 知1nnc收斂 .所以返回 上頁 下頁 結(jié)束 16. 試求冪級數(shù) 11)2(nnxn的收斂域及和函數(shù) . 提示提示: 級數(shù)的收斂半徑 R = 1, 收斂域?yàn)? 1 , 3 ) .有時(shí)當(dāng),)3, 1 ( x 11)2()(nnxnxS xx322)3(1x )2(1nnx( 03屆考題)2(12xx練習(xí)題練習(xí)題: 試求冪級數(shù) 11nnnx的收斂域及和函數(shù) . ( 04屆考題)21( 1,1);(1) x答案：返回 上頁 下頁 結(jié)束 17. 將函數(shù)2211)(xxxf展成 x 的冪級數(shù) .解解: )(xf)1)(21 (1xxx21132031nnx0)2

13、() 1(32nnnxx1131,312) 1(01nnnnx)21,21(x返回 上頁 下頁 結(jié)束 18. 將函數(shù))126ln()(2xxxf 展為 x 的冪級數(shù), 并指出其收斂域. 解解:)32)(43ln()(xxxf )231ln()341ln(6lnxx 1010231) 1(341) 1(6ln nnnnnnxnxn10113) 1(46ln nnnnxn10112) 1(3) 1( nnnnnxn收斂區(qū)間為 32,32 ( 03屆考題)返回 上頁 下頁 結(jié)束 19. 將xxxf2cossin)(展成 x 的冪級數(shù) . 解解: xxxfsin213sin21)(120)3()!12

14、() 1(21nnnxn120)!12() 1(21nnnxn12012)!12()13() 1(21nnnnxn),(x返回 上頁 下頁 結(jié)束 20. 將函數(shù)xxxxf222,0,)(展成余弦級數(shù) .xyo2解解: 將 f (x) 進(jìn)行偶延拓和周期延拓 ,則),2, 1(0nbn00d)(2xxfa220dxx430dcos)(2xxnxfan220dcosxxnxxxn dcos22),2, 1()12cos(22nnn2d2x返回 上頁 下頁 結(jié)束 xyo2),2, 1(0nbn430a),2, 1()12cos(22nnnan,cos1cos283)(122xnnxfnn,0 x練習(xí)練

15、習(xí). 將 )0(1)(xxxf展開成正弦級數(shù). ( 02屆考題) 答案答案. xxxxx4sin43sin)2(312sin2sin)2(21),0(x返回 上頁 下頁 結(jié)束 備用備用題題: 1. 判別級數(shù)11) 1() 12() 1(nnnnn絕對收斂還是條件收斂 , 并求其和 . 解解: 因?yàn)? 1() 12() 1(1nnnnnnn111) 1(1所以級數(shù)不絕對收斂, 又顯然級數(shù)滿足萊布尼茲條件,kkSknkn111) 1(lim11) 1() 12(nnnn1) 1() 12(limnnn12 nlim故原級數(shù)條件收斂 , 其和為返回 上頁 下頁 結(jié)束 kkSknkn111) 1(li

16、m1111) 1(413121lim1nnnnn1) 1(31211111) 1(1lim1nnn1返回 上頁 下頁 結(jié)束 2. 求級數(shù)1212nnnxn的收斂域與和函數(shù). 解解: 令nlim22x,1則)21,21(x當(dāng)21x時(shí), nn12發(fā)散 ;121212nnnn故級數(shù)收斂域?yàn)? )21,21(在其上和函數(shù)為1212)(nnnxnxSnnx )2(21212221221xx22)21 (2xx)()(1xuxunn返回 上頁 下頁 結(jié)束 3. 求冪級數(shù)1121nnnxn的收斂域與和函數(shù),并由此導(dǎo)出2ln解解: 1limnnnaaRnnnnn22) 1(lim12當(dāng) x = 2 時(shí), 11

17、221nnnn1121nn發(fā)散 ;當(dāng) x = 2 時(shí),11)2(21nnnn11) 1(21nnn收斂 ;故所給的收斂域?yàn)?2 , 2 ) , 在其上和函數(shù)為的計(jì)算式 . 返回 上頁 下頁 結(jié)束 1121)(nnnxnxSnnxnx)2(1112d21110 xxxnnx 2d11102xxxx)21(ln1xxxx)2(ln2ln)(xS,)2(ln2lnxx0, )2,2xx,210 x0 x2ln121nnn) 1 (S返回 上頁 下頁 結(jié)束 4. 將xxxfarctan)(展成 x 的冪級數(shù), 求 的無窮解解: 211)arctan(xxnnnx20) 1()11(xxarctan12012) 1(