女巫的阿涅西

1、女巫的阿涅西阿涅西的“女巫”是一條曲線研究了瑪麗亞·阿涅西在1748年她的書Instituzioni analitiche廣告uso德拉gioventu italiana(第一個幸存的數(shù)學(xué)工作由一個女人寫的)。曲線也稱為cubique d 'Agnesi或agnesienne,和早先研究費馬,1703年圭多大人物?！芭住边@個名字來源于這個術(shù)語的誤譯averisera(“曲線正矢,”拉丁vertere,“將”)原工作avversiera(“女巫”或“魔鬼的妻子”)在1801年的翻譯工作由劍橋大學(xué)盧卡斯數(shù)學(xué)教授約翰·(灰色)。曲線是通過畫一條線從原點到圓的半徑和中心,

2、然后選擇的點圓的交點坐標(biāo)和協(xié)調(diào)的交叉線的延伸與行 .以參數(shù)形式,(1)(2)為,或(3)(4)為 .笛卡兒方程可以得到消除參數(shù)方程,給出(5)等效的函數(shù)形式是什么洛倫茲函數(shù).曲線和之間的區(qū)域設(shè)在是(6)曲線有拐點在。這條線是一個漸近線的曲線。的曲率和切向角在第二個參數(shù)化給出(7)(8)參見:巴比爾定理所有曲線的寬度的寬度有相同的周長 .寬度恒定的曲線曲線,當(dāng)旋轉(zhuǎn)在廣場,接觸所有四個邊。這樣的曲線有時也稱為輥。一個封閉的凸曲線的“寬度”被定義為平行線邊界之間的距離(“支持線”)。每個寬度恒定的曲線是凸的。寬度恒定的曲線有相同的“寬度”,不管他們的平行線之間的取向。事

3、實上,他們也共享相同的周長 (巴比爾定理)。例子包括圓(最大區(qū)域),魯洛三角形(最小的區(qū)域),但有無限。寬度恒定的曲線可以用在一個特殊的鉆夾頭將廣場”孔."一個泛化給寬度恒定的固體。這些沒有相同的表面區(qū)域?qū)τ谝粋€給定的寬度,但他們的影子寬度恒定的曲線有相同的寬度!參見:蝙蝠俠曲線蝙蝠俠曲線分段曲線形狀的蝙蝠俠超人最初的標(biāo)志張貼在在7月28日,2011年。它可以寫成兩個函數(shù),一個用于上部和下部,(1)(2)在哪里是亥維賽階躍函數(shù)和定義為分段常數(shù)函數(shù)時,函數(shù)是由亥維賽一步(3)(4)(5)(6)(j . m .)。它的面積可以計算完全一樣(7)懸鏈線曲線懸掛軟線或鏈假設(shè)支持在其

4、結(jié)束時統(tǒng)一引力,見機行事。懸鏈線這個詞來源于拉丁語“鏈。“1669年,Jungius反駁了伽利略的聲稱的曲線鏈掛在重力將會是一個拋物線(MacTutor存檔)。曲線也稱為alysoid和懸鏈線。方程獲得了萊布尼茲、惠更斯和約翰·伯努利在1691年回應(yīng)雅各布·伯努利的挑戰(zhàn)?；莞故堑谝粋€使用術(shù)語懸鏈線在一封給萊布尼茲在1690年,和大衛(wèi)·格雷戈里寫了一篇論文,1690年懸鏈線(MacTutor存檔)。如果你滾拋物線沿著一條直線,它焦點出懸鏈線痕跡。證明1744年歐拉,懸鏈線的曲線,當(dāng)旋轉(zhuǎn),使最小的表面表面積(懸鏈曲面對給定的邊界)圓.的參數(shù)方程給出了懸鏈線的(1)(

5、2)(3)在哪里對應(yīng)的頂點是一個參數(shù)決定的速度鏈”打開。“懸鏈線的值從0.05到1.00的步驟0.05以上。的弧長,曲率,切向角為是由(4)(5)(6)斜率是成正比弧長衡量的中心對稱。的采查羅方程是(7)圣路易斯拱門密切接近倒置的懸鏈線,但它有一個非零厚度和不同橫截面面積(底部厚,薄的頂點)。重心的半身像腳底部,身高625.0925英尺,最大橫截面積125.1406萬平方英尺,和底部橫截面積1262.6651平方英尺。懸鏈線也給道路的形狀(輪盤賭)在普通多邊形“輪”可以旅行順利。對于一個普通百分度,笛卡爾相應(yīng)的懸鏈線方程(8)在哪里(9)參見切向角對于一個平面曲線,切向角被定義為(1)在哪里是

6、弧長和是曲率半徑。因此,切向角是由(2)在哪里是曲率。對一個平面曲線,切向角也可以定義為(3)灰色(1997)調(diào)用轉(zhuǎn)動的角度而不是切向角。參見:采查羅方程一個采查羅方程是一個自然的方程這表達(dá)了一個曲線的弧長函數(shù)和曲率半徑(或等價曲率)。注意,雖然采查羅方程是固有的,因為它是不變的變換下保持長度和角度,并不是內(nèi)在曲線,因為它取決于弧長測量的起點,因此參數(shù)化(見下表為例)。下表總結(jié)了采查羅的某些參數(shù)化方程的曲線(cf。勞倫斯1972,p。5,耶茨1952,p . 126)。曲線參數(shù)化采查羅方程星狀的心形心形懸鏈線圓圓漸開線擺線擺線三角肌腎形的曳物線Tschirnhausen立方參見:自然的方程自然

7、曲線方程是一個方程它指定獨立于任何坐標(biāo)或參數(shù)化的選擇。自然方程的研究始于以下問題:給定的兩個函數(shù)的一個參數(shù),找到了空間曲線的函數(shù)曲率和扭轉(zhuǎn).歐拉給出了平面曲線積分解決方案(這總是扭轉(zhuǎn))。調(diào)用角之間的切曲線和直線軸的切向角,然后(1)在哪里是曲率。然后方程(2)(3)在哪里是扭轉(zhuǎn),解決了曲線參數(shù)方程(4)(5)方程和被稱為自然(固有)空間曲線的方程。一個方程表達(dá)的平面曲線和曲率半徑(或)被稱為采查羅方程,一個平面曲線的方程表達(dá)和被稱為學(xué)富五車方程。的自然參數(shù)方程曲線的參數(shù)化的弧長而不是任意參數(shù)等 .在特殊的平面情況下可以解決的基本功能是圓,對數(shù)螺線,圓漸開線,圓外旋輪線。Enneper

8、顯示這些的投影螺旋在一個二次曲線沿著對稱軸旋轉(zhuǎn)曲面。上述情況下對應(yīng)油缸,錐,拋物面,球.外擺線,1-Cusped一個1-cusped圓外旋輪線已經(jīng),所以。半徑測量從大圓的中心1-cusped圓外旋輪線是由圓外旋輪線方程()所以(1)(2)(3)(4)和(5)的1-cusped圓外旋輪線只是一個偏移量心形.心形的曲線極坐標(biāo)方程(1)有時也寫(2)在哪里 .心形的笛卡兒方程(3)和參數(shù)方程(4)(5)心形是簡并的蝸牛線。這也是一個1-cusped圓外旋輪線(與),是回光線的由射線原始點的周長圓和反映圓.心形的尖端在原點。de Castillon所使用的名稱心形首次于1741年在英國皇家學(xué)

9、會哲學(xué)學(xué)報。它的弧長在1708年發(fā)現(xiàn)了la雇傭。具體有三個平行切線心形的任何給定的梯度。此外,切線在任何的結(jié)束和弦通過尖端是指向直角。任何的長度和弦通過尖端點是 .心臟也可能產(chǎn)生如下。畫一個圓并修復(fù)一個點在上面?，F(xiàn)在畫一個組圈以周長的并通過。的信封這些圈然后一個心形(Pedoe 1995)。讓圓是集中在原點和半徑1,讓不動點。然后半徑的圓集中在一個角(1,0)(6)(7)(8)如果不動點不圓,那么結(jié)果呢信封是一個蝸牛線而不是一個心形。的弧長,曲率,切向角是(9)(10)(11)的周長和區(qū)域曲線的(12)(13)參見蝸牛線蝸牛線是極曲線的形式(1)也稱為帕斯卡的蝸牛線。首次研究了杜勒,

10、誰給了畫圖的方法Underweysung der Messung(1525)。重新發(fā)現(xiàn)了艾蒂安帕斯卡,布萊斯帕斯卡爾的父親,被Gilles-Personne Roberval 1650年(MacTutor存檔)?！拔伵＞€”這個詞來自于拉丁語limax,意思“蝸?！?。如果蝸牛線是凸的。如果,蝸牛線波紋。如果,蝸牛線退化心形。如果蝸牛線有一個內(nèi)部循環(huán)。如果,這是一個三等分角線(但不麥克勞林三等分角線).為,內(nèi)循環(huán)區(qū)域(2)(3)(4)在哪里。類似的外信封包圍的面積(5)(6)(7)因此,區(qū)域循環(huán)之間的(8)的特殊情況,這些簡化(9)(10)(11)以參數(shù)化(12)(13)給出了弧長的函數(shù)作為(14

11、)在哪里是一個第二類橢圓積分。讓讓整條曲線的弧長(15)在哪里是一個第二類完全橢圓積分.生成的蝸牛線可以通過指定一個固定的點序列,然后畫一個圓圈的中心在一個給定的圓,所有通過。的信封這些曲線是一個蝸牛線。如果不動點在周長圓的,那么信封是一個心形.蝸牛線是一個anallagmatic曲線。蝸牛線是螺旋線的圓對一個點上周長(威爾斯1991)。蝸牛線漸屈線蝸牛線漸屈線的回光線的的圓對于一個輻射點是蝸牛線漸屈線。它有參數(shù)方程(1)(2)參見:回光線的回光線的是曲線的信封射線來自一個指定點(或一個點在無限的距離產(chǎn)生平行射線)對于一個給定的鏡子的形狀。點的射線稱為散發(fā)出來輻射點?；毓饩€的是一個漸屈線的or

12、thotomic(勞倫斯1972,60頁)。下表列出了回光線的一些常見的曲線,省略的錯誤回光線的上市quadrifolium勞倫斯(1972,p . 207)。漸屈線一個漸屈線的曲率中心軌跡(信封)的平面曲線的法線。原來的曲線是說漸開線漸屈線。給定一個平面曲線的參數(shù)化表示,漸屈線的方程(1)(2)在哪里運行點的坐標(biāo),是曲率半徑(3)和單位之間的角嗎切向量(4)和軸,(5)(6)結(jié)合了(7)(8)曲線的漸屈線的定義是獨立于任何可微函數(shù)參數(shù)化(灰色1997)。如果曲線的漸屈線嗎,然后據(jù)說是嗎漸開線的。的中心密切圓曲線形式的漸屈線曲線(灰色1997,p . 1997)。漸開線將一個字符串附加到一個點

13、在曲線上。擴展的字符串,以便它是曲線的切線的附件。然后風(fēng)字符串,它總是緊。的軌跡點跟蹤結(jié)束的字符串被稱為漸開線的原始曲線,和原來的曲線稱為漸屈線漸開線。以上說明了此過程圓.盡管有獨特的曲線漸屈線,它有無限多的漸開線對應(yīng)不同的初始點的選擇。一個漸開線曲線也可以被認(rèn)為是任何正交所有的切線對于一個給定的曲線。漸開線的方程(1)在哪里是切向量(2)和是弧長(3)這個可以寫參數(shù)化函數(shù)表示作為(4)(5)下表列出了一些常見的漸開線曲線,其中一些上面的說明。曲線漸開線星狀的漸開線星狀的1/2倍心形漸開線心形3倍大懸鏈線漸開線曳物線回光線的圈蝸牛線圓漸開線一個螺旋擺線漸開線平等的擺線三角肌漸開線三角肌1/3倍

14、橢圓漸開線不愿透露姓名的曲線外擺線漸開線小圓外旋輪線圓內(nèi)旋輪線漸開線類似的圓內(nèi)旋輪線對數(shù)螺旋漸開線另一個對數(shù)螺線腎形的漸開線凱萊的六次或腎形的2倍大semicubical拋物線漸開線半拋物線參見:星狀的漸開線的漸開線的星狀的是一個圓內(nèi)旋輪線漸開線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉(zhuǎn)把。對于一個星狀的用參數(shù)方程(1)(2)的漸開線是星狀的(3)(4)參見星形線屈線的漸屈線的星狀的是一個圓內(nèi)旋輪線漸屈線為。令人驚訝的是,它是另一回事星狀的按比例縮小的倍和旋轉(zhuǎn)把。對于一個星狀的用參數(shù)方程(1)(2)的漸屈線是星狀的(3)(4)參見:懸鏈線漸開線的參數(shù)方程對于一個懸鏈線是(1)(2

15、)給漸開線作為(3)(4)因此,漸開線的一半曳物線.參曳物線曳物線出現(xiàn)了對萊布尼茨在下列問題:什么是對象的路徑與垂直偏移量開始時拖在一系列常數(shù)沿直線長度被水平線(Steinhaus指出1999年,頁250 - 251)?通過將對象與一條狗,字符串,用皮帶,和沿著一條水平線拉狗的主人,曲線具有描述性名稱“hundkurve”(狗曲線)在德國。萊布尼茲發(fā)現(xiàn)曲線使用這一事實的軸是一條漸近線曳物線(MacTutor存檔)。從它的定義,曳物線正是懸鏈線漸開線描述一個點最初在頂點(所以懸鏈線是曳物線漸屈線)。曳物線有時被稱為tractory或equitangential曲線。曳物線是第一個研究了惠更斯在1

16、692年,他給它起名叫“曳物線?！敝?萊布尼茨、約翰·伯努利和其他人研究了曲線。在笛卡兒坐標(biāo),曳物線方程(1)一個參數(shù)形式(2)(3)的弧長,曲率,切向角這個參數(shù)化與是(4)(5)(6)在哪里是Gudermannian.而令人驚訝的是,區(qū)域下的曲線(7)第二個參數(shù)的形式角直線相切的曳物線可以通過計算找到(8)(9)(10)然后解決并在獲得回堵(11)(12)(13)1997年(灰色)。這種參數(shù)化曲率(14)的角度,參數(shù)方程可以寫(15)(16)(17)(18)(洛克伍德1967,p . 123)是逆Gudermannian.一個遍歷與恒速曳物線參數(shù)化是由(19)(20)當(dāng)曳物線繞著

17、它旋轉(zhuǎn)漸近線,偽球面結(jié)果。這是一個表面的常數(shù)負(fù)曲率。曳物線,一個的長度切從接觸點的漸近線是恒定的。的區(qū)域曳物線及其漸近線之間是有限的。參見Gudermannian窗體頂端最小值馬克斯窗體底端Gudermannian函數(shù)奇函數(shù)表示要么或出現(xiàn)在逆方程墨卡托投影.表達(dá)了緯度的垂直位置在這種投影,所以Gudermannian函數(shù)被定義為(1)(2)真實的,這也等于定義(3)(4)Gudermannian中實現(xiàn)Wolfram語言作為Gudermannianz。Gudermannian的導(dǎo)數(shù)(5)和它的不定積分是(6)在哪里是dilogarithm.它有麥克勞林級數(shù)(7)(OEISA091912和A136

18、606).Gudermannian連接的三角和雙曲函數(shù)通過(8)(9)(10)(11)(12)(13)Gudermannian是相關(guān)的指數(shù)函數(shù)通過(14)(15)(16)(拜爾1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 485)。其他基本身份(17)(18)(Zwillinger 1995,p . 1995)。如果,然后(19)(20)(21)(22)(拜爾1987,p . 1987;Zwillinger 164,p . 530),在過去的身份已經(jīng)被修正。一個額外的身份是由(23)(m .”的探討。通訊,2006年4月15日)。窗體頂端最小值馬克斯再保險即時通訊窗體底端G

19、udermannian函數(shù)也可以擴展到復(fù)雜的平面,正如上文所述。參見:漏斗漏表面是a常規(guī)的表面和表面的革命笛卡兒方程定義的(1)和參數(shù)方程(2)(3)(4)為和。的系數(shù)第一基本形式是(5)(6)(7)的系數(shù)第二基本形式是(8)(9)(10)的面積元素是(11)和高斯函數(shù)和平均曲率(12)(13)的高斯曲率可以隱式地(14)這兩個表面積和體積固體是無限的。參見:偽球面?zhèn)吻蛎媸浅?shù)- - - - - - -高斯曲率表面的革命由一個曳物線對其漸近線。tractricoid,它有時也被稱為tractroid antisphere或tractrisoid(Steinhaus指出1999年,p . 199

20、9)。笛卡爾參數(shù)方程是(1)(2)(3)為和 .它可以用隱式笛卡爾形式寫的(4)其他參數(shù)化包括(5)(6)(7)為和(灰色et al . 2006年,p . 480)(8)(9)(10)為和,在那里(11)(12)(灰色et al . 2006年,p . 477)。第一個參數(shù)化的系數(shù)第一基本形式是(13)(14)(15)的第二基本形式系數(shù)是(16)(17)(18)和表面面積元素是(19)的表面積是(20)這是常見的嗎球.雖然偽球面無限程度,有限的體積。體積可以通過變量的變化中找到,給,代入方程旋轉(zhuǎn)體,給(21)這就是通常的一半嗎球.的高斯和平均曲率是(22)(23)因此,偽球面具有相

21、同的體積球同時有不變負(fù)高斯曲率(而不是常數(shù)積極的球面的曲率),導(dǎo)致“偽球面。“偽球面的常數(shù)負(fù)曲率也使得當(dāng)?shù)夭糠值哪Ｐ碗p曲幾何,就像錐或缸的本地部分的歐幾里德幾何模型飛機。一個方程測地線給出了偽球面的(24)參見:高斯曲率高斯曲率,有時也稱為總曲率(Kreyszig 1991,p . 131),是一個空間的內(nèi)在屬性獨立使用的坐標(biāo)系統(tǒng)來描述它。的高斯曲率常規(guī)的表面在在一個點正式定義為(1)在哪里是形狀運營商和偵破表示行列式.如果是一個定期補丁,然后由高斯曲率(2)在哪里 ,系數(shù)是第一嗎基本形式和 ,系數(shù)是第二嗎基本形式(灰色1997,p . 1997)。高斯曲率可以得到完全的放在第一位基本形式(3)和指標(biāo)判別(4)通過(5)在哪里是第一類克里斯托費爾符號。同樣,(6)在哪里(7)(8)寫這篇文章,(9)的高斯曲率也(10)(灰色1997,p . 1997),以及(11)在哪里是置換符號,是單位法向量和是單位切向量。的高斯曲率也(12)(13)(14)在哪里是標(biāo)量曲率,和的主曲率,和的主曲率半徑。對于一個蒙日