因子模型和套利定價(jià)理論（APT）(1)

1、第六章第六章 因子模型和套利因子模型和套利定價(jià)理論（定價(jià)理論（APT）4為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，要求知道： 回報(bào)率均值向量 回報(bào)率方差-協(xié)方差矩陣 無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率4估計(jì)量和計(jì)算量隨著證券種類的增加以指數(shù)級(jí)增加4引入可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算量 由于因子模型的引入，使得估計(jì)Markowitz有效集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡(jiǎn)化。4因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報(bào)率生成過程的一種新視點(diǎn) 更準(zhǔn)確4CAPM與APT 建立在均值方差分析基礎(chǔ)上的CAPM是一種理論上相當(dāng)完美的模型，它解釋了為什么不同的證券會(huì)有不同的回報(bào)率。除CAPM理論外，另一種重要的定價(jià)理論是由Stephen Ross在70年代中期建立的套利

2、定價(jià)理論(APT)。在某種意義上來說，它是一種比CAPM簡(jiǎn)單的理論。 最優(yōu)投資組合理論+市場(chǎng)均衡=CAPM 因子模型+無(wú)套利=APT CAPM是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想化的模型，這些假設(shè)包括Harry Markowitz建立均值-方差模型時(shí)所作的假設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是，所有投資者的無(wú)差異曲線建立在證券組合回報(bào)率的期望和標(biāo)準(zhǔn)差之上。 相反，APT所作的假設(shè)少得多。APT的基本假設(shè)之一是，當(dāng)投資者具有在不增加風(fēng)險(xiǎn)的前提下提高回報(bào)率的機(jī)會(huì)時(shí)，每個(gè)人都會(huì)利用這個(gè)機(jī)會(huì)，即，個(gè)體是非滿足的。另外一個(gè)重要的假設(shè)是，證券市場(chǎng)證券種類特別多，并且彼此之間獨(dú)立。1. 因子模型因子模型 (Factor M

3、odel)4實(shí)際中，所有的投資者都會(huì)明顯或者不明顯地應(yīng)用因子模型。4例子：市場(chǎng)模型 這里 =在給定的時(shí)間區(qū)間，證券 i 的回報(bào)率 =在同一時(shí)間區(qū)間，市場(chǎng)指標(biāo) I 的回報(bào)率 =截矩項(xiàng) =斜率項(xiàng) =隨機(jī)誤差項(xiàng)，iIIiIiIirrirIriIiIiI0iIE4例子：Flyer公司股票的下一個(gè)月回報(bào)率 這里表示實(shí)際月回報(bào)率 表示期望回報(bào)率 表示回報(bào)率的非期望部分 期望回報(bào)率是市場(chǎng)中投資者預(yù)期到的回報(bào)率，依賴于投資者現(xiàn)在獲得地關(guān)于該種股票的所有信息，以及投資者對(duì)何種因素影響回報(bào)率地全部了解。URRRRU 回報(bào)率的非期望部分由下一個(gè)月內(nèi)顯示地信息導(dǎo)致，例如 News about Flyersresear

4、ch Government figures released on the gross national product (GNP) Results of the latest arms-control talks Discovery that a rivals product has been tampered with News that Fleyerssales figures are higher than expected A sudden drop in interest rates The unexpected retirement of Flyersfounder and pr

5、esident4Announcement = Expected part + Surprise The expected part of any announcement is part of the information the market uses to form the expectation of the return on the stock. The surprise is the news that influences the unanticipated return on the stock. 4When we speak of news, then, we refer

6、to the surprise part of any announcement and not the portion that the market has expected and therefore has already discounted. 4The unanticipated part of return-that portion resulting from surprise-is the true risk of any investment. 這里 由于系統(tǒng)原因?qū)е碌幕貓?bào)率的非期望部分 由于非系統(tǒng)原因?qū)е碌幕貓?bào)率的非期望部分mRURRm4經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的某些共同因素影響幾乎所

7、有的公司 商業(yè)周期、利率、GDP增長(zhǎng)率、技術(shù)進(jìn)步、勞動(dòng)和原材料的成本、通貨膨脹率 這些變量不可預(yù)期的變化將導(dǎo)致整個(gè)證券市場(chǎng)回報(bào)率的不可預(yù)期變化4定義定義1：因子模型：因子模型（或者指標(biāo)模型）是一種假設(shè)證券的回報(bào)率只與不同的因子或者指標(biāo)的運(yùn)動(dòng)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。4市場(chǎng)模型是一種單因子模型以市場(chǎng)指標(biāo)的回報(bào)率作為因子。4由于在實(shí)際中，證券的回報(bào)率往往不只受市場(chǎng)指標(biāo)變動(dòng)的影響，所以，在估計(jì)證券的期望回報(bào)率、方差以及協(xié)方差的準(zhǔn)確度方面，多因子模型比市場(chǎng)模型更有效。4 作為一種回報(bào)率產(chǎn)生過程，因子模型具有以下幾個(gè)特點(diǎn)。 第一，因子模型中的因子應(yīng)該是系統(tǒng)影響所有證券價(jià)格的經(jīng)濟(jì)因素。 第二，在構(gòu)造因子模型中，我們

8、假設(shè)兩個(gè)證券的回報(bào)率相關(guān)一起運(yùn)動(dòng)僅僅是因?yàn)樗鼈儗?duì)因子運(yùn)動(dòng)的共同反應(yīng)導(dǎo)致的。 第三，證券回報(bào)率中不能由因子模型解釋的部分是該證券所獨(dú)有的，從而與別的證券回報(bào)率的特有部分無(wú)關(guān)，也與因子的運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。4因子模型在證券組合管理中的應(yīng)用 在證券組合選擇過程中，減少估計(jì)量和計(jì)算量 刻畫證券組合對(duì)因子的敏感度4如果假設(shè)證券回報(bào)率滿足因子模型，那么證券分析的基本目標(biāo)就是，辨別這些因子以及證券回報(bào)率對(duì)這些因子的敏感度。2.單因子模型單因子模型4把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個(gè)總的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，假設(shè)它對(duì)整個(gè)證券市場(chǎng)產(chǎn)生影響，并進(jìn)一步假設(shè)其余的不確定性是公司所特有的。 例如，國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率是影響證券

9、回報(bào)率的主要因素。 表表6-1 因子模型數(shù)據(jù)因子模型數(shù)據(jù)4年份 GDP增長(zhǎng)率 A股票回報(bào)率41 5.7% 14.3%42 6.4 19.243 7.9 23.444 7.0 15.645 5.1 9.246 2.9 13.044%trtGDP%0 .136r%2 . 36e%9 . 26GDP 圖6-1中，橫軸表示GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率，縱軸表示證券A的回報(bào)率。圖上的每一點(diǎn)表示表6-1中，在給定的年份，A的回報(bào)率與GDP增長(zhǎng)率的關(guān)系。通過線性回歸分析，我們得到一條符合這些點(diǎn)的直線。這條直線的斜率為2，說明A的回報(bào)率與GDP增長(zhǎng)率有正的關(guān)系。GDP增長(zhǎng)率越大，A的回報(bào)率越高。 寫成方程的形式，A的回

10、報(bào)率與GDP預(yù)期增長(zhǎng)率之間的關(guān)系可以表示如下 (6.1) 這里 =A在 t 時(shí)的回報(bào)率, =GDP在 t 時(shí)的預(yù)期增長(zhǎng)率, =A在 t 時(shí)的回報(bào)率的特有部分, =A對(duì)GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率的敏感度, =有關(guān)GDP的零因子。tttebGDPartrtGDPteba 在圖6-1中，零因子是4%，這是GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率為零時(shí)，A的回報(bào)率。A的回報(bào)率對(duì)GDP增長(zhǎng)率的敏感度為2，這是圖中直線的斜率。這個(gè)值表明，高的GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率一定伴隨著高的A的回報(bào)率。如果GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率是5%，則A的回報(bào)率為14%。如果GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率增加1%為6%時(shí)，則A的回報(bào)率增加2%，或者為16%。 在這個(gè)例子里，第六年的

11、GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率為2.9%，A的實(shí)際回報(bào)率是13%。因此，A的回報(bào)率的特有部分（由 給出）為3.2%。給定GNP的預(yù)期增長(zhǎng)率為2.9%，從A的實(shí)際回報(bào)率13%中減去A的期望回報(bào)率9.8%，就得到A的回報(bào)率的特有部分3.2%。te 從這個(gè)例子可以看出，A在任何一期的回報(bào)率包含了三種成份： 1在任何一期都相同的部分（ ） 2依賴于GDP的預(yù)期增長(zhǎng)率，每一期都不相同的部分 （ ） 3屬于特定一期的特殊部分（ ）。atbGDPte4通過分析上面這個(gè)例子，可歸納出單因子模型的最一般形式：對(duì)時(shí)間 t 的任何證券 i 有 (6.2)ittiiiteFbar 這里， 是因子在時(shí)間 t 的因子的值，對(duì)在時(shí)間

12、t 的所有的證券而言，它是相同的。 是證券 i 對(duì)因子 的敏感度，對(duì)證券 i 而言， 不隨時(shí)間的變化而變化。 是證券 i 在時(shí)間 t 的回報(bào)率的特有部分。這是一個(gè)均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為 ，且與因子 無(wú)關(guān)的隨機(jī)變量，我們以后簡(jiǎn)稱為隨機(jī)項(xiàng)隨機(jī)項(xiàng)。tFibtFibiteeitF 為簡(jiǎn)單計(jì)，只考慮在某個(gè)特定的時(shí)間的因子模型，從而省掉角標(biāo)，從而(6.2)式變?yōu)?(6.3) 并且假設(shè)：并且假設(shè)： 1任意證券 i 的隨機(jī)項(xiàng) 與因子不相關(guān); 2任意證券 i 與證券 j 的隨機(jī)項(xiàng) 與 不相關(guān)。iiiieFbarieieje 假設(shè)1說明，因子具體取什么值對(duì)隨機(jī)項(xiàng)沒有影響。而假設(shè)2說明，一種證券的隨機(jī)項(xiàng)對(duì)其余任何證券的

13、隨機(jī)項(xiàng)沒有影響，換言之，兩種證券之所以相關(guān)，是由于因子對(duì)它們的共同影響導(dǎo)致的。如果任何假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮不同的因子模型。4 對(duì)于證券 i 而言，其回報(bào)率的均值 (6.4) 例子iiiiFbar 與Flyer公司股票回報(bào)率例子比較mRURRiiiiiieFFbrr4 對(duì)于證券 i 而言，其回報(bào)率的方差為 (6.5) 例子2222eiFiib 定義定義2： 我們稱(6.5)式中的 為因子風(fēng)因子風(fēng)險(xiǎn)險(xiǎn)； 為非因子風(fēng)險(xiǎn)非因子風(fēng)險(xiǎn)。 對(duì)于證券 i 和 j 而言，它們之間的協(xié)方差為 (6.6)22Fib2ei2Fjiijbb4單因子模型具有兩個(gè)重要的性質(zhì)。 第一個(gè)性質(zhì)，單因子模型能夠

14、大大簡(jiǎn)化我們?cè)诰?方差分析中的估計(jì)量和計(jì)算量。 第二個(gè)性質(zhì)與風(fēng)險(xiǎn)的分散化有關(guān)。 分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化。 分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。2222ePFPPbNiiiPbb1NieiieP12223 多因子模型多因子模型4經(jīng)濟(jì)是否健康發(fā)展影響絕大多數(shù)公司的前景，因此，對(duì)將來經(jīng)濟(jì)預(yù)期的變化會(huì)對(duì)大多數(shù)證券的回報(bào)率產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。但是，經(jīng)濟(jì)并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的單一體，用單一的因子來刻畫整個(gè)經(jīng)濟(jì)顯然是不準(zhǔn)確的。4一般來說，下面的幾種因素會(huì)對(duì)整個(gè)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)生普遍的影響。 1GDP的增長(zhǎng)率 2短期國(guó)庫(kù)券的利率水平 3 長(zhǎng)短期國(guó)債的收益率之差 4. 公司債與國(guó)債的收益率之差 5. 通貨膨脹率 6. 石油價(jià)格 7. 技術(shù)

15、進(jìn)步43.1兩因子模型兩因子模型，即，回報(bào)率生成過程包括兩個(gè)因子。 在 t 時(shí)的兩因子模型方程為： (6.10) 這里 和 是影響證券回報(bào)率的主要因素， 和 是證券 i 對(duì)兩因子的敏感度。 是隨機(jī)項(xiàng)，而 是零因子回報(bào)率。ittitiiieFbFbar2211tF1tF21ib2ibiteia4例子例子 表表6-2 因子模型數(shù)據(jù)因子模型數(shù)據(jù)4年份 GDP增長(zhǎng)率 通貨膨脹率 A股票回報(bào)率41 5.7% 1.1% 14.3%42 6.4 4.4 19.243 7.9 4.4 23.444 7.0 4.6 15.645 5.1 6.1 9.246 2.9 3.1 13.0trtGDPtINF%9 .

16、2tGDP%1 . 3tINF%8 . 5a%136r%0 . 36e 證券B的回報(bào)率受GDP的增長(zhǎng)率和通貨膨脹率預(yù)期值的影響。圖中的每一點(diǎn)描述了在特定的一年，證券B的回報(bào)率、GDP的增長(zhǎng)率和通貨膨脹率之間的關(guān)系。通過線性回歸，可以確定一個(gè)平面，使得圖中的點(diǎn)符合這個(gè)平面。這個(gè)平面的方程為tttteINFbGDPbar21 平面在GDP增長(zhǎng)率方向的斜率（=2.2）表示證券B的回報(bào)率對(duì)GDP增長(zhǎng)率變化的敏感度。 平面在通貨膨脹率方向的斜率（=0.7）表示證券B的回報(bào)率對(duì)通貨膨脹率變化的敏感度。 敏感度符號(hào)說明，當(dāng)預(yù)期GDP增長(zhǎng)率或者通貨膨脹率增加時(shí)，證券B的回報(bào)率相應(yīng)地增加或者減少。 平面的截距表

17、示B的零因子回報(bào)率為5.8%。 B的實(shí)際回報(bào)率與平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的差為回報(bào)率的隨機(jī)項(xiàng)部分。例如，B在第六年的隨機(jī)項(xiàng)為3%。4 和單因子模型一樣，我們只考慮一期的模型，所以省掉時(shí)間的角標(biāo)。兩因子模型方程如下： (6.12) 并且假設(shè)： 1證券的隨機(jī)項(xiàng)與因子不相關(guān)， 2證券 i 與證券 j 的隨機(jī)項(xiàng) 與 不相關(guān)。iiiiieFbFbar2211ieje4期望回報(bào)率4方差4協(xié)方差4 兩因子模型具有單因子模型的重要性質(zhì)。 1有關(guān)證券組合前沿的估計(jì)量和計(jì)算量大大減少。 2分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險(xiǎn)的平均化。 3分散化縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。43.2 多因子模型 一般形式 不同形式 其中 例子itktiktitiiieFbF

18、bFbar2211itktiktitiiieFDbFDbFDbrr2211itititFFFD44 套利機(jī)會(huì)套利機(jī)會(huì)4何謂套利機(jī)會(huì)？最簡(jiǎn)單的說法是，不花錢就能掙到錢。具體地說，有兩種類型的套利機(jī)會(huì)。 如果一種投資能夠立即產(chǎn)生正的收益而在將來不需要有任何支付（不管是正的還是負(fù)的），我們稱這種投資為第一類的套利機(jī)會(huì)第一類的套利機(jī)會(huì)。 如果一種投資有非正的成本，但在將來，獲得正的收益的概率為正，而獲得負(fù)的收益（或者說正的支出）的概率為零，我們稱這種投資為第二類的套利機(jī)會(huì)第二類的套利機(jī)會(huì)。4任何一個(gè)均衡的市場(chǎng)，都不會(huì)存在這兩種套利機(jī)會(huì)。如果存在這樣的套利機(jī)會(huì)，人人都會(huì)利用，從而與市場(chǎng)均衡矛盾。所以我們

19、假設(shè)市場(chǎng)上不存在任何套利機(jī)假設(shè)市場(chǎng)上不存在任何套利機(jī)會(huì)會(huì)。4套利活動(dòng)是現(xiàn)代有效證券市場(chǎng)的一個(gè)關(guān)鍵原因。 每個(gè)投資者都會(huì)充分利用套利機(jī)會(huì) 只需要少數(shù)投資者的套利活動(dòng)就能消除套利機(jī)會(huì)4近似的套利機(jī)會(huì)（almost arbitrage)4性質(zhì)性質(zhì) 首先，證券的定價(jià)滿足線性性質(zhì)。 其次，有零的終端支付的證券組合，其價(jià)格一定為零。 最后，證券的定價(jià)滿足占優(yōu)性質(zhì)。 4例子：例子： 假設(shè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境由四個(gè)狀態(tài)和兩種證券構(gòu)成，證券組合甲由11份證券1構(gòu)成。相關(guān)的信息特征如下表所示。 狀態(tài) 證券組合甲 1 5 3 55 2 5 6 55 3 10 3 110 4 10 3 110 假設(shè)事件的概率為P(1)=0.2，

20、P(2)=0.3，P(34)=0.5。兩種證券的價(jià)格為 P1=4，P2=2，證券組合甲的價(jià)格為 P甲=40。 1x 2x4在這個(gè)經(jīng)濟(jì)中是否存在套利機(jī)會(huì)。 第一，P甲=4011 P1=44，這屬于第一類套利機(jī)會(huì)。 第二，我們把證券組合甲當(dāng)作第三種證券。構(gòu)造新的證券組合乙：賣空11份證券1，買入1份證券3。則證券組合乙的價(jià)格為 11（4）+1（40）0 證券組合乙在期末的支付為 狀態(tài) 證券組合乙 概率 1 0 0.2 2 0 0.3 3、4 0 0.5 因此，P(證券組合乙的支付=0)=1，這是第一類的套利機(jī)會(huì)。 第三，定義證券組合丙：賣空10份證券1，買入一份證券3。則證券組合丙的價(jià)格為10（4

21、）+1（40）=0。證券組合丙在期末的支付為 狀態(tài) 證券組合 概率 1 5 0.2 2 5 0.3 3、4 10 0.5 因此，P(證券組合丙的支付0)=1且P(證券組合丙的支付0)=10。這是第二類套利機(jī)會(huì)。45 套利定價(jià)理論套利定價(jià)理論(APT) 假設(shè)假設(shè)1：市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的。 假設(shè)假設(shè)2：投資者是非滿足的：當(dāng)投資者具有套利機(jī)會(huì)時(shí)，他們會(huì)構(gòu)造套利證券組合來增加自己的財(cái)富。 假設(shè)假設(shè)3：所有投資者有相同的預(yù)期：任何證券 i 的回報(bào)率滿足因子模型： (6.18) 這里， =證券 i 的隨機(jī)回報(bào)率， =證券 i 對(duì)第 j 個(gè)因子的敏感度， =均值為零的第 j 個(gè)因子， =證券 i 的隨

22、機(jī)項(xiàng)。 ikikiiiieFbFbFbrEr2211irijbjFie 假設(shè)假設(shè)4： ， 與所有因子不相關(guān)且 假設(shè)假設(shè)5：市場(chǎng)上的證券的種類遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于因子的數(shù)目 k 。0ieEie0,jieeCov 因子模型說明，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合，除非因子風(fēng)險(xiǎn)外，其行為是一致的。因此，所有具有等因子敏感度的證券或者證券組合的期望回報(bào)率（或者說價(jià)格）是一樣的。否則，就存在第二類套利機(jī)會(huì)，投資者就會(huì)利用它們，直到消除這些套利機(jī)會(huì)。這就是APT的實(shí)質(zhì)。4定義：定義：如果一個(gè)證券組合滿足下列三個(gè)條件： 1初始成本為零； 2對(duì)因子的敏感度為零： 3期望回報(bào)率為正。 我們稱這種證券組合為套利證券組合套

23、利證券組合。4 注：注：嚴(yán)格的說，套利證券組合應(yīng)該具有零的非因子風(fēng)險(xiǎn)。但是，APT假設(shè)通過分散化，這種風(fēng)險(xiǎn)非常小，以至可以忽略。45.1例子：（單因子模型）假如市場(chǎng)上存在三種股票，每個(gè)投資者都認(rèn)為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報(bào)率和敏感度： i 股票115%0.9 股票221%3.0 股票312%1.8irib4假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財(cái)富為4000元，投資者現(xiàn)在總的投資財(cái)富為12000元。 首先，我們看看這個(gè)證券市場(chǎng)是否存在套利證券組合。 顯然，一個(gè)套利證券組合 是下面三個(gè)方程的解： 初始成本為零： (6.19) 對(duì)因子的敏感度為零： (6.20) 期望回報(bào)率為正：321,032

24、321012.021.015.0321 滿 足 這 三 個(gè) 條 件 的 解 有 無(wú) 窮 多 個(gè) 。 例 如 ，=(0.1,0.075,0.175)就是一個(gè)套利證券組合。 這時(shí)候，投資者如何調(diào)整自己的初始財(cái)富12000元 總之，對(duì)于任何只關(guān)心更高回報(bào)率而忽略非因子風(fēng)險(xiǎn)的投資者而言，這種套利證券組合是相當(dāng)具有吸引力的。它不需要成本，沒有因子風(fēng)險(xiǎn)，卻具有正的期望回報(bào)率。4套利證券組合如何影響投資者的頭寸Old portfolio ArbitrageportfolioNewportfolioweight10.3330.1000.43320.3330.0750.40830.333-

25、0.1750.158propertyExpectedreturn16%0.975%16.975%sensitivity1.901.9variance11%smallApprox. 11% 在上面的例子，因?yàn)?0.1,0.075,0.175)是一個(gè)套利證券組合，所以，每個(gè)投資者都會(huì)利用它。從而，每個(gè)投資者都會(huì)購(gòu)買證券1和2，而賣空證券3。由于每個(gè)投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價(jià)格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報(bào)率。特別地，由于購(gòu)買壓力的增加，證券1和2的價(jià)格將上升，而這又導(dǎo)致證券1和2的回報(bào)率下降。相反，由于銷售壓力的增加，證券3的價(jià)格將下降，這又使得證券3的回報(bào)率上升。 這種價(jià)格和回報(bào)率的

26、調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機(jī)會(huì)消失為止。此時(shí)，證券市場(chǎng)處于一個(gè)均衡狀態(tài)。在這時(shí)的證券市場(chǎng)里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期望回報(bào)率必為零。 無(wú)套利時(shí)，三種證券的期望回報(bào)率 和因子敏感度 滿足，對(duì)任意組合 ，如果03210332211bbbirib321, 則必有 (6.21) 根據(jù)Farkas引理，必存在常數(shù) 和 ，使得下面的式子成立0332211rrr01iibr10 刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為 =8%， =4%。這將導(dǎo)致證券1、2、3的均衡回報(bào)率為11.6%, 20.0%, 15.2%.01 圖6-3說明了套利定價(jià)關(guān)系(6.21)。在均衡時(shí)，所有的證券都落在套利定價(jià)線上。常

27、數(shù) 的一個(gè)自然解釋是，它表示均衡時(shí)因子的風(fēng)險(xiǎn)酬金。而 表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。1001iribBrSrBS4如何求145.2 例子：（ 二因子模型）假如市場(chǎng)上存在四種股票，每個(gè)投資者都認(rèn)為它們滿足因子模型，且具有以下的期望回報(bào)率和敏感度： i 股票115%0.92.0 股票221%3.01.5 股票312%1.80.7 股票48%2.03.2ir1ib2ib4假設(shè)某投資者投資在每種股票上的財(cái)富為5000元，投資者現(xiàn)在總的投資財(cái)富為20000元。 首先，我們看看這個(gè)證券市場(chǎng)是否存在套利證券組合。 顯然，一個(gè)套利證券組合 是下面四個(gè)方程的解： 初始成本為零： (6.19) 對(duì)因子的敏感度為零： (6.20

28、) 期望回報(bào)率為正：4321,043210432108.012.021.015.0432102.37.05.124321 滿足這四個(gè)條件的解有無(wú)窮多個(gè)。例如，=(0.1, 0.088, 0.108, -0.08)就是一個(gè)套利證券組合。 這時(shí)候，投資者如何調(diào)整自己的初始財(cái)富20000元 因?yàn)椋?0.1, 0.088, 0.108, -0.08)是一個(gè)套利證券組合，所以，每個(gè)投資者都會(huì)利用它。從而，每個(gè)投資者都會(huì)購(gòu)買證券1和2，而賣空證券3和4。由于每個(gè)投資者都采用這樣的策略，必將影響證券的價(jià)格，相應(yīng)地，也將影響證券的回報(bào)率。特別地，由于購(gòu)買壓力的增加，證券1和2的價(jià)格將上升，

29、而這又導(dǎo)致證券1和2的回報(bào)率下降。相反，由于銷售壓力的增加，證券3和4的價(jià)格將下降，這又使得證券3和4的回報(bào)率上升。 這種價(jià)格和回報(bào)率的調(diào)整過程一直持續(xù)到所有的套利機(jī)會(huì)消失為止。此時(shí)，證券市場(chǎng)處于一個(gè)均衡狀態(tài)。在這時(shí)的證券市場(chǎng)里，不需要成本、沒有因子風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，其期望回報(bào)率必為零。 無(wú)套利時(shí)，四種證券的期望回報(bào)率 和因子敏感度 ，對(duì)任意組合 ， 如果043210441331221111bbbbir21,iibb4321,0442332222112bbbb 則必有 (6.21) 根據(jù)Farkas引理，必存在常數(shù) ， ， 使得下面的式子成立044332211rrrr0122110iiibbr2

30、 刻畫均衡狀態(tài)的常數(shù)一組可能值為 =8%， =4%， =-2% 。這將導(dǎo)致證券1、2、3、4的均衡回報(bào)率為7.6%, 17%, 13.8%, 9.6%.0124如何求 ，1245.3 一般情形 選擇證券組合 ，使其成本為0 回報(bào)率為ikikiiiiiiipFbFbrr1101niiniiie1Tn,1 為了得到無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的證券組合，我們必須消除因子風(fēng)險(xiǎn)和非因子風(fēng)險(xiǎn)。滿足下面三個(gè)條件的證券組合符合這一要求： 1）所選的每個(gè)權(quán)充分??； 2）所包括的證券種類盡量多； 3）對(duì)每個(gè)因子而言，證券組合的因子敏感度為零。 用數(shù)學(xué)式子表示，這些條件是 是一個(gè)很大的數(shù) 對(duì)每個(gè)因子而言， ni1n0iikib 因?yàn)殡S

31、機(jī)項(xiàng)是獨(dú)立的，由大數(shù)定律，當(dāng) 越來越大時(shí)，隨機(jī)項(xiàng)的加權(quán)和趨向于零。換言之，通過分散化，不需要花任何成本就能消去非因子風(fēng)險(xiǎn)。因此，我們得到 nikikiiiiiiipFbFbrr11 在形式上看起來，這是一個(gè)隨機(jī)量。但是，由(6.26)式，證券組合的每個(gè)因子敏感度為零，所以，所有的因子風(fēng)險(xiǎn)為零。由于我們選擇的權(quán)消除了所有的風(fēng)險(xiǎn)，最后，證券組合的回報(bào)率變成了一個(gè)常數(shù)。(6.27)式變成了 (6.28)iiiprr 在我們構(gòu)造的證券組合的過程中，投資者既不需要成本，也不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，如果構(gòu)造的證券組合的回報(bào)率不為零，它就是一個(gè)套利證券組合，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，這是不可能的。因此，滿足條件(6.24)-(6

32、.26)的證券組合，其回報(bào)率一定為零，即， (6.29)0iiiprr4證券市場(chǎng)無(wú)套利時(shí)，證券的期望回報(bào)率和因子敏感度滿足下列性質(zhì)： 對(duì)任何向量 ， 如果它既垂直于單位常向量， 又垂直于每個(gè)因子敏感度向量， 則它一定垂直于期望回報(bào)率向量，4由Farkas引理，期望回報(bào)率向量一定可以表示成單位常向量和因子敏感度向量的線性組合，即，存在個(gè) k+1 常數(shù)，使得 (6.30)Tn,1ikkiibbr1106 APT在投資組合策略中的應(yīng)用4投資組合構(gòu)建的決策 套利定價(jià)理論對(duì)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了細(xì)分，使得投資者容易接受，而且又能夠測(cè)量每項(xiàng)資產(chǎn)對(duì)各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確，對(duì)實(shí)際的組

33、合策略更具有指導(dǎo)意義。 投資組合的構(gòu)建策略，首要的是選擇一個(gè)自己最愿意接受的風(fēng)險(xiǎn)水平，其次是通過恰當(dāng)?shù)慕灰?，使得組合達(dá)到預(yù)定的位置。 例子4假設(shè)影響證券收益的系統(tǒng)因素是通貨膨脹的意外發(fā)生和工業(yè)生產(chǎn)率的意外發(fā)生。IPAUB114投資組合的策略分析 投資基金是一種典型的投資組合。對(duì)投資基金管理者而言，選擇最佳的風(fēng)險(xiǎn)模式，就是選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。為此，我們必須了解基金發(fā)起者和收益者的經(jīng)濟(jì)狀況和特征，而這又取決于他們所處的市場(chǎng)環(huán)境。7 APT與與CAPM的區(qū)別和聯(lián)系的區(qū)別和聯(lián)系4區(qū)別 假設(shè) 利用的經(jīng)濟(jì)學(xué)原理 結(jié)論4因子模型與CAPM的區(qū)別 因子模型不是均衡模型 在CAPM中，Beta值相同的證券回報(bào)率相同 在因子模型中， 相同的證券回報(bào)率不一定相同 例子：FbariiifMifirrrrib4如果CAPM和APT假設(shè)均成立 因子是市場(chǎng)證券組合fMifirrrr11iffifibrrbrriibMr1 因子不是市場(chǎng)證券組合iMFiMMiMibbrerF121),cov(),cov(MFfMrr118因子的識(shí)別因子的識(shí)別4要利用APT來定價(jià)，首先必須辨別市場(chǎng)中重要的因子的類別。經(jīng)驗(yàn)證明，這些因子具有以下特征： （1）它們應(yīng)該包含表明總的經(jīng)濟(jì)