第02講-一元一次不等式與一元一次不等式組-教案

1、第02講溫故知新一元一次不等式及不等式組27回憶：一元一次方程的一般解法:(1)去分母：將方程兩邊的每一項都乘以各分母的最小公倍數(shù)，約去分母；(2)去括號：運用去括號法則，把有括號的方程轉化為不含括號的方程；(3)移項：把含有未知數(shù)的項都移到方程的一邊，把不含有未知數(shù)的項移到另一邊;(4)合并：把方程轉化為ax b a 0的形式;(5)未知數(shù)系數(shù)化為1:方程兩邊同除以未知數(shù)系數(shù)。.、一一1 9x 2例如：解方程：1x 7上23一 19x 2解：去分母得：6 1x 7 6 623化簡彳導:3x 42 2 9x 2去括號得：3x 42 18x 4移項得：3x 18x4 42合并得： 16x 38.

2、,一一，119未知數(shù)系數(shù)化為1,得：x 8智合一元一次不等式不等式的屋刎1展 不等K的第 手等堂解集 解不等式一元一次不等式(組)定義1元一次不等式組q解法不等式概念及性質1、不等式的定義：一般的，用符號 “ ”（或“ ”）“ ”或“ "連接的式子叫做不等式。2、不等式的基本性質：不等式的基本性質1:不等式的兩邊都加（或減）同一個整式，不等號的方向不變。不等式的基本性質 2:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的基本性質 3:不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。3、不等式的其他性質（1）對稱性，也叫互逆性：若 a b ,則b a。傳遞性：

3、若a b, b c,則a c。（3）若ab 0 ,則a,b同號，反之，若a,b同號，則ab 0 ；若ab 0，則a,b異號，反之，若a,b異號，則ab 0。（4）若a b 0 ,則a b,反之，若a b,則a b 0；若a b 0 ,則a b ,反之，若a b,則a b 0。典例分析例1、下列不等式變形正確的是（A.由 a>b,得 a - 2< b - 2C.由 a>b,得-2a< - 2b【解答】選：C.)B .由 a>b,得|a| >|b|D .由 a>b,得 a2> b2例2、下列判斷中，正確的序號為 .若一a>b>0,則 ab

4、v0;若 ab>0,則 a>0, b>0;若 a>b, cw0,則 ac>bc;若 a>b, cw0,則 ac2>bc2;若 a>b, cw0,則a - c< - b - c.【解答】答案為：.例3、利用不等式的性質把下列不等式化成“ x>a”或“xva”的形式:(1) 2x- 1 >7;(2) 3x>7x- 8;(3) 6x-1>12x+6;(4) 2x+1>7x+6.【解答】(1)解得：x>4; (2)解得：x<2;(3)解得：xv-工；(4)解得：x< - 1學朝說不等式的性質是對不等式

5、進行變形的重要依據(jù)，是學好不等式的基礎和關鍵。（1）不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式），不等號方向不變。如果 a>b,那么 a cb c, a cb c。（2）不等式兩邊乘（或除）以同一個正數(shù)，不等號的方向不變。如果a>b, c>0,那么ac bc或a o c c（3）不等式兩邊乘（或除）以同一個負數(shù)，不等號的方向改變。如果a b, c 0 ,那么ac bc或a b。 c c性質（2）和（3）可簡記為“負變正不變”。31*舉一反三1 .下面給出了 6個式子： 3>0; 4x+3y>0; x=3; x-1; x+2W3; 2x0.其中不等式有()A. 2個 B

6、 .3個 C .4個 D .5個【解答】 解：3>0;4x+3y>0;x+2W3;2x0是不等式,故選：C.2 .下列不等式變形正確的是（A.由 a>b,彳# a- 2< b - 2B .由 a>b,得 |a| >|b|C.由 a>b,得-2a< - 2bD .由 a>b,得 a2>b2【解答】解：A等式的兩邊都減2,不等號的方向不變，故 A錯誤;v|b| ,故B錯誤;B> 如 a=2, b= - 3, a>b,得 |a|C不等式的兩邊都乘以-2,不等號的方向改變，故 C正確;D 如 a=2, b= - 3, a>b

7、,得 a2>b2,故 D錯誤.故選：C.3 .用適當?shù)牟坏仁奖硎鞠铝嘘P系：(1) a是非負數(shù) a>0 ;(2) x與 2 差不足 15 x-2<15 .【解答】 解：(1) a是非負數(shù)則：a>0;故答案為：a>0;(3) x與 2 差不足 15： x- 2<15.故答案為：x-2<15.4 .將下列不等式化成"x>a"或"xva”的形式：(1) x- 17V - 5;(2)工> -32 n【解答】解：(1)移項合并得：x<12;(2)兩邊乘以-2得：x<6.(2) 一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組

8、成這個不等式的解集。(3)不等式的解與不等式的解集的區(qū)別：不等式的解是指滿足這個不等式的未知數(shù)的某個值，而不管式的解集是指滿足這個不等式的未知數(shù)的所有值。2、不等式解集的兩種表示方法：(1)用不等式表示；(2)用數(shù)軸表示。3、一元一次不等式的概念：左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,像這相的不等式，叫做一元一次不等式。4、一元一次不等式的解法：(1)去分母,(2)去括號，(3)移項，(4)合并同類項，(5)系數(shù)化1。5、一元一次不等式與一次函數(shù)：(1)利用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式kx b 0 (或kx b 0 )。(2)利用一次函數(shù)的圖象解一元一次不等式k1x

9、b1 k2x b2 (或k1x b1 k2x b2)6、一元一次不等式組的概念：一般的，關于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組。7、一元一次不等式組的解集的概念：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等式組的解集。8、一元一次不等式組的解法步驟一：根據(jù)不等式的性質求出每一個不等式的解集步驟二：將每一個不等式的解集 利用數(shù)軸進行合并得到不等式組的解由兩個一元一次不等式組成的不等式組，可以歸結為下述四種基本類型：（表中a b）不等式圖示解集x ax bx a（大大取大）bax ax bx b（小小取?。゜ax ax bb x a（大小小人

10、中間找）rL.Lbax ax b無解（大大小小解小r）ba典例分析 例1、解不等式（組），并將解集在數(shù)軸上表示出來:(2)-+3>"11 - 3(x - 1)<8 - k【解答】（1）去分母得:x-5+2>2x-6,解得：xv 3,I ,在數(shù)軸上表示出來為：.v - 3.-+3)x+l x< 1,由得：x>- 2,(2)12,由得:1 - 3(s - 1)<8 - x故不等式組的解集為-2vxw 1,在數(shù)軸上表示出來為：.5k+1例2、不等式組、的解集是x>1,則m的取值范圍是（）A. m> 1B. m< 1 C , m>

11、0D. m< 0【解答】不等式整理得:£1,由不等式組的解集為 x>1,得到m+K 1,解得：m< 0,故選D例3、已知不等式4x-aw。的正整數(shù)解是1, 2,則a的取值范圍是（）A. 8<a<12B , 8< a< 12C. 8<a<12D , 8< a< 12【解答】不等式4x-aw。的解集是xw三，因為正整數(shù)解是1, 2,4而只有當不等式的解集為x<2, x<2.1 , x<2.2等時，但x<3時，其整數(shù)解才為1, 2,則2W<3,即a的取值范圍是8<a<12,故選B4例

12、4、已知不等式組有解，則n的取值范圍是 n<1 .【解答】不等式組 一.有解，則n的取值范圍是n<1,故答案為：n< 1.例5、關于x的兩個不等式 紅包<1與1- 3x>0 2a的取值范圍.xvg,由兩不等式的解集相同，得 二且得，解得：a=1；I IJ J.2-<4,解得：a>1.11）若兩個不等式的解集相同，求 a的值；（2）若不等式的解都是的解，求【解答】（1）由得：xv%2,由得：（2）由不等式的解都是的解，得到例6、直線y=kx+3經過點A （2, 1）,則不等式kx+3 > 0的解集是（）A. x<3B. x>3C. x&

13、gt;- 3D. x<0【解答】選A.例8、如圖，函數(shù) y= - 2x+3與y=-x+m的圖象交于P (n, - 2).(1)求出nr n的值;直接寫出不等式-，x+m> - 2x+3 的解集;(3)求出 ABP的面積.x+m例7、如圖，直線y=x+b與直線y=kx+6交于點P (3, 5),則關于x的不等式x+b>kx+6的解集是x> 3 .【解答】當x>3時，x+b>kx+4,即不等式x+b>kx+4的解集為x>3.故答案為：x>3.3),+m,解彳導：m=-, y=一x -2二中，x=0時,4y=一,，B (0,AB=;.ABP的面積

14、:X2 16【解答】(1) y=-2x+3 過 P (n, -2).- 2= - 2n+3,解得：n=1-y= - tx+m的圖象過P( 不等式- 有x+m> - 2x+3的解集為x(3) ,.當 y= -2x+3 中，x=0 時，y=3, . A (0【解答】解:移項，得x<4.則正整數(shù)解是1 , 2, 3.共有3個.故選C.1.不等式x-4<0的正整數(shù)有(A. 1個D.無數(shù)多個2.不等式組J 2的解表示在數(shù)軸上，正確的是 h>-l)【解答】 解：解不等式組得-1VXW2,所以在數(shù)軸上表示為故選D.3.已知不等式組 1-L的解集如圖所示(原點沒標出)A. - 1 B

15、.0 C .1 D【解答】解：:1-V 一的解集為：-2<x<a- 1,<1- 2<x<1,.a=2.故選 D.4 .如圖，一次函數(shù) y=ax+b的圖象經過 A (2, 0)、B (0, - 1)兩點，則關于 x的不等式ax+bv 0的解集是 xv 2 .【解答】 解：由一次函數(shù) y=ax+b的圖象經過A (2, 0)、B (0, -1)兩點,根據(jù)圖象可知：x的不等式ax+bv 0的解集是x<2,故答案為：x<2.5 .如圖，直線y=kx+b與y=x交于A (3, 1)與x軸交于B (6, 0),則不等式組0<11冗+<=宜的解集3J)(6

16、, 0),故答案為：3<x<66 .若不等式(m- 2) x>m- 2的解集是x< 1,則m的取值范圍是m< 2【解答】解：原不等式系數(shù)化 1得，x>m-2m-2又不等式的解集為 xvl,m 2<0,即 m< 2.7.不等式組<2時1- 2的解集是xv m- 2,則m的取值應為m> 3【解答】解：因為不等式組解得，m> -3.的解集是xv m- 2,根據(jù)“同小取小”的原則，可知m- 2W2m+1,8.已知關于x的不等式組宜-2-2工>0的整數(shù)解共有6個，則a的取值范圍是一6vaw 5【解答】 解：由不等式組可得：a<

17、x<1.因為有6個整數(shù)解，可以知道 x可取-5, -4, -3, -2, - 1, 0,因此-6 v aw - 5.故答案為：-6vaw-59.解下列不等式(1) 5x- 6< 2 (x+3) %-z 洛£ -1. 53【解答】 解：(1)去括號，得：5x-6W2x+6,移項，得：5x - 2x< 6+6,合并同類項，得：3x<12, 系數(shù)化為1得：xW4;(2)去分母，得：3 (3x-2) >5 (2x+1) - 15,去括號，得：9x- 6> 10x+5- 15,移項，得：9x - 10x>5- 15+6,合并同類項，得：-x>-

18、4,貝U x< 4.不等式應用題1、一元一次不等式組的應用列不等式組解決實際問題的一般步驟(1)找：找出問題中的不等關系；(2)設：設出未知數(shù)；(3)歹U:根據(jù)前面的不等關系列出不等式組；(4)解：解不等式組;(5)答：檢驗后答出結果。典例分析例1、某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計劃分兩次購進 A、B兩種花草，第一次分別購進 A、B兩種花草30棵和15 棵，共花費675元；第二次分別購進 A、B兩種花草12棵和5棵.兩次共花費940元(兩次購進的 A B兩種花草價格均分別相同).(1) A B兩種花草每棵的價格分別是多少元？(2)若購買A、B兩種花草共31棵，且B種花草的數(shù)量少于 A種花草的數(shù)量的

19、2倍，請你給出一種費用 最省的方案，并求出該方案所需費用.【解答】解：(1)設A種花草每棵的價格 x元，B種花草每棵的價格y元，根據(jù)題意得：f 3。/ 15y=675(12升拒駕-67才在力/日f k20解得：(,lv=5二.A種花草每棵的價格是 20元，B種花草每棵的價格是 5元.(2)設A種花草的數(shù)量為 m株，則B種花草的數(shù)量為(31-m)株，B種花草的數(shù)量少于 A種花草的數(shù)量的2倍，31 m< 2m!解得：m>告， m是正整數(shù)，m最小值=11,設購買樹苗總費用為 W=20m+5 31 - nr) =15m+155, k>0,，W隨x的減小而減小，當 m=11 時，W&#

20、187;小值=15X 11 + 155=320 (元).答：貝紀S A種花草的數(shù)量為11株、B種20株，費用最??；最省費用是320元.例2、為了更好地治理木蘭溪水質，保護環(huán)境，市治污公司決定購買10臺污水處理設備，現(xiàn)有 A B兩種設備，A B單價分別為a萬元/臺b萬元/臺 月處理污水分別為 240噸/月200噸/月，經調查 買一臺A 型設備比買一臺 B型設備多2萬元，購買2臺A型設備比購買3臺B型設備少6萬元.(1)求a、b的值.(2)經預算，市治污公司購買污水處理器的資金不超過105萬元，你認為該公司有哪幾種購買方案？(3)在(2)的條件下，若每月處理的污水不低于2040噸，為了節(jié)約資金，請

21、你為治污公司設計一種最省錢的方案.fa=12【解答】(1)由題意，得 口 缶 。,解得： 答：a=12, b=10；L2a- 3b= - 6b=10(2)設購買A種設備x臺，則購買B種設備(10-x)臺，由題意，得：0W12x+10 (10-x) < 105,解得：0WxW2.5 ,x為非負整數(shù)，. x=0, 1, 2有三種購買方案：方案1:購買A種設0臺，購買B種設備10臺，方案2:購買A種設1臺，購買B種設備9臺，方案1:購買A種設2臺，購買B種設備8臺，(3)由題意，得 240X+200 ( 10-x) > 2040,解得：x>1 ,設購買需要的總費用為 W萬元，由題意

22、，得W=12x+10 (10-x), =2x+100.1. k=2 >0,W隨x的增大而增大，當x=1時，W小=102, .購買A種設1臺，購買B種設備9臺最省錢.例3、某蔬菜培育中心決定向某災區(qū)配送無輻射蔬菜和水果共3200箱，其中水果比蔬菜多 800箱.(1)求水果和蔬菜各有多少箱？(2)現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共 8輛，一次性將這批水果和蔬菜全部運往該鄉(xiāng)中小學.已知每輛甲種貨車最多可裝水果 400箱和蔬菜100箱，每輛乙種貨車最多可裝水果和蔬菜各200箱，則運輸部門安排甲、乙兩種貨車時有幾種方案？請你幫助設計出來；(3)在(2)的條件下，如果甲種貨車每輛需付運費4000元，乙種貨車

23、每輛需付運費3600元.運輸部門應選擇哪種方案可使運費最少？最少運費是多少元？x 800)箱，貝 U x+ (x 800) =2300,解得 x=2000,【解答】(1)設水果有x箱，則蔬菜有則 x- 800=1200.答：水果和蔬菜分別為 2000箱和1200箱.(2)設租用甲種貨車a輛，則租用乙種貨車(8-a)輛.根據(jù)題意，得1 400a+200 (g- a)>2Q0C1_10i0a+200(8- ai>120C解得：2<a<4.因為a為整數(shù)，所以a=2或3或4,安排甲、乙兩種貨車時有3種方案.設計方案分別為：甲車2輛，乙車6輛；甲車3輛，乙車5輛；甲車4輛，乙車4

24、輛;(3) 3種方案的運費分別為：2X 4000+6 X 3600=29600 元；3X 4 000+5 X 3600=30000 元；4X 4000+4 X 3600=30400 元.故方案的運費最少，最少運費是29600元.所以，運輸部門應選擇甲車2輛，乙車6輛，可使運費最少，最少運費是29600元.一 舉一反三1.某產品生產車間有工人 10名.已知每名工人每天可生產甲種產品12個或乙種產品10個，且每生產一個甲種產品可獲利潤 100元，每生產一個乙種產品可獲利潤180元.在這10名工人中，如果要使此車間每天所獲利潤不低于 15600元，你認為至少要派多少名工人去生產乙種產品才合適.【解答

25、】 解：設車間每天安排 x名工人生產甲種產品，其余工人生產乙種產品.根據(jù)題意可得，12xX 100+10 (10-x) X 180>15600,解得；x<4,10-x>6,.至少要派6名工人去生產乙種產品才合適.2011年大運會的召開，深圳市全面實施市容市2.為了能以“更新、更綠、更潔、更寧”的城市形象迎接貌環(huán)境提升行動.某工程隊承擔了一段長為1500米的道路綠化工程，施工時有兩張綠化方案:甲方案是綠化1米的道路需要 A型花2枝和B型花3枝，成本是22元;乙方案是綠化1米的道路需要 A型花1枝和B型花5枝，成本是25元.2倍.現(xiàn)要求按照乙方案綠化道路的總長度不能少于按甲方案綠

26、化道路的總長度的(1)求A型花和B型花每枝的成本分別是多少元?(2)求當按甲方案綠化的道路總長度為多少米時，所需工程的總成本最少？總成本最少是多少元?【解答】 解：(1)設A型花和B型花每枝的成本分別是 x元和y元，根據(jù)題意得:2x+3y=22 工+5y=25解得:所以A型花和B型花每枝的成本分別是 5元和4元.(2)設按甲方案綠化的道路總長度為a米，根據(jù)題意得:1500 an2aa< 500則所需工程的總成本是5X2a+4X3a+5 (1500-a) +4X5 (1500-a)=10a+12a+7500- 5a+30000- 20a=37500- 3a.當按甲方案綠化的道路總長度為50

27、0米時，所需工程的總成本最少w=37500 3X 500=36000 （元），當按甲方案綠化的道路總長度為500米時，所需工程的總成本最少，總成本最少是36000元.課堂闖關年4 初出茅廬1、如果a> b,那么下列不等式不成立的是（D. - 0.5a v 0.5bA. a- 5>b- 5B. - 5a>- 5b【解答】選：B.fK>22、不等式 無解，則a的取值范圍是（）A. a<2B . a>2C . a<2【解答】選：C.3、若關于x的不等式2x-m<0的正整數(shù)解只有4個，則m的取值范圍是（）A. 8Vm< 10B, 8Wm< 1

28、0C. 8<mK 10D. 4< mK 5【解答】 關于x的不等式2x- mK 0的正整數(shù)解只有 4個，不等式2x- mK 0的4個正整數(shù)解只能為 1、2、3、4,4<mK 5, z. 8< mK 10.故選B.24、若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經過第一、二、四象限，則下列不等式中總是成立的是（）A. ab>0B . a- b>0C. a2+b>0D. a+b>0【解答】選C.5、若關于x不等式組2戈-k>0一 有且只有四個整數(shù)解,且一次函數(shù)y= (k+3) x+k+5的圖象不經過第三象限，則符合題意的整數(shù) 卜有()個.A. 4C. 2D.

29、 1【解答】解不等式組得,< x< 2,2.不等式組有且只有四個整數(shù)解，其整數(shù)解為:1, 0, 1, 2,- 2* v T,即-4W kv - 2.2一次函數(shù)y= (k+3) x+k+5的圖象不經過第三象限,，k的整數(shù)解只有-4.故選D.k *、。，解得5< k< 3,， 4< k v 3, kf5>06、下列各式中，正確的有(把所有正確的答案都寫上)由a< b可得acvbc;由2xv - 6可得x> - 3;由xz2< yz2可得x< y;由xvy可得xz2<yz2;由2 x=2可得x=0;由2 x>2可得x>0.

30、【解答】答案為.7、如圖，已知函數(shù) 丫=2*+2與y=bx-3的圖象交于點 A (2, -1),則根據(jù)圖象可得不等式 ax> bx - 5的解集是 xv 2 .【解答】. ax > bx - 5, 1- ax+2> bx - 3,從圖象上看，在交點的左邊，相同自變量的取值，y=ax+2的函數(shù)值大于y=bx 5的函數(shù)值，ax>bx 5的解集是：xv2.上- V=28、已知關于x、y的方程組的解滿足不等式 3-x<2y,求實數(shù)a的取值范圍.Zn+v = 5之【解答】方程組L2x+y=5a的解為:24 5aT-35a- 4y 3-3- x<2y, . 3生工<

31、;2 乂邑二解得：a>1. 39、如圖，請根據(jù)圖象所提供的信息解答下列問題:(1)當 x < 1 時，kx+b > mx- n;(2)不等式kx+b v0的解集是 x>3 ;(3)交點P的坐標（1, 1）是次方程組:Lmu - n y=kx+b的解;(4)若直線l1分別交x軸、y軸于點M A,直線l2分別交x軸、y 軸于點B、N,求點M的坐標和四邊形OMPN勺面積.【解答】（1）當x< 1時，kx+b> mx- n;(2)不等式kx+b <0的解集為x>3;-1%: y=kx-b(3)交點P的坐標（1,1）次方程組尸坨上一 nky=kxfb解;(

32、4)把 A (0, T)1）分別代入y=mx- n得，-n= -1m n=l解得m=2< Fl,l 1的解析式為y=2x - 1,當 y=0 時，2x - 1=0,所以M點的坐標為（:，0）；把 P (1, 1)、B (3,0）分別代入y=kx+b得,k+b=l3k+b-0,直線12的解析式為y= -i- x+當 x=0 時，y=-,則N點坐標為（0, L）所以四邊形 OMPN勺面積=S»AONB- SaPME= X 3X自我挑戰(zhàn)1、若x>y,則下列不等式中不一定成立的是（）D. x2>y2A. x+1>y+1B. 2x>2yC. >X2 2【解答

33、】選Dfx>32、若關于x的不等式組-無解，則a的取值范圍是（）D. a>3A. a<3B . a>3C. av3【解答】.關于x的不等式組| 無解，aw 3.故選：A.3、已知不等式2x - aw 0的正整數(shù)解恰好是1, 2, 3, 4, 5,那么a的取值范圍是（A. a>10B , 10<a< 12C. 10v aw 12 D , 10< av 12【解答】解得:xw二a.根據(jù)題意得: 25< a<6,解得：10Wa<12.故選 D.0;a> 0;關于x的方程f3k+4<04、直線l的解析式是y=kx+2 ,其中

34、k是不等式組一 的解，則直線l的圖象不經過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解答】 解得：kv- 9, 直線l的解析式是y=kx+2, k<0, 2>0,直線l的圖象不經過第，三象限，故選C.5、己知一次函數(shù) y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖所示，則下列結論：k<kx+b=x+a的解為x=3;x> 3時，yyy2.正確的個數(shù)是（）A. 1B . 2C. 3D. 4【解答】根據(jù)圖示及數(shù)據(jù)可知：kv 0正確；av 0,原來的說法錯誤;方程kx+b=x+a的解是x=3,正確；當 x>3時，yyy2正確.故正確的個數(shù)是3.故選：C.6、已知2V x+y v 3且1 v x y v 4,貝U z=2x - 3y的取值范圍是 【解答】-2<x+y<3，1<x-y<4，設 a (x+y) +b (x-y) =2x- 3y,則有,解得：已-b=一3故 z= 芯 一¥),即一7 x(3)+1 x 三 v z v所以1 v zv 11故答案為：1<z<11.7、如圖，直線