截長補(bǔ)短法巧解(優(yōu)選.)

1、截長補(bǔ)短法截長補(bǔ)短法是幾何證明題中十分 重要的方法。通常來證明幾條線 段的數(shù)量關(guān)系。截長補(bǔ)短法有多種方法。截長法：（1）過某一點(diǎn)作長邊的垂線（2）在長邊上截取一條與某一短 邊相同的線段，再證剩下的線段 與另一短邊相等。 補(bǔ)短法（1）延長短邊。（2 ）通過旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。例:在正方形 ABCD中，DE二DF ,DG丄CE,交CA于G, GH丄AF,交AD于P,交CE延長線于H,請問 三條粗線DG, GH, CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）例題不詳解。（第2頁題目答案見第3、4頁）請問現(xiàn)在EF、DE、BF 乂有什么數(shù)量關(guān) 系？（1）變形c（1）正方形ABCD中，

2、點(diǎn)E在CD上, 點(diǎn) F 在 BC 上，ZEAF二45。求證：EF二DE+BF（1）變形a正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長線上, 點(diǎn)F在BC延長線上，ZEAF二45。請問現(xiàn)在EF、DE、BF 乂有什么數(shù)量關(guān) 系？正三角形ABC中，E在AB, F在AC 上ZEDF二45。DB二DC, ZBDC二 120。請問現(xiàn)在EF、BE、CF 乂有什么數(shù)量關(guān) 系？（1）變形d（1）變形b正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在 BC , ZEAD=15% ZFAB二30。FAD二近求4AEF的面積（1）解：（簡單思路）正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長線上, 點(diǎn)F在CB延長線上，ZEAF二45。延長CD到點(diǎn)G,使得

3、DG二BF,連接AG。 由四邊形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90變形a解：（簡單思路）FAD 二 AB又 DG二BF所以 ADG= A ABF (SAS)Z GAD 二 Z FABAG=AF山四邊形ABCD是正方形得ZDAB 二 90 二 ZDAF+ZFAB二 ZDAF+ZGAD 二 ZGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF=90 -45 =45 ZGAE=ZFAE=45乂 AG=AFAE 二 AE 所以 EAG= AEAF (SAS)EF二GE二GD+DE二BF+DE山四邊形ABCD是正方形得ZADE=ZABG=90AD 二 AB又 DE二BG所以 ADE= AABG

4、(SAS)ZEAD=ZGABAE 二 AG山四邊形ABCD是正方形得ZDAB 二 90 = ZDAG+ZGAB二 ZDAG+ZEAD 二 ZGAE 所以 ZGAF=ZGAE-ZEAF=90。-45 =45ZGAF=ZEAF=45O乂 AG=AEAF 二 AF所以 EAF= AGAF (SAS)EF二GF二BF-BG二BF-DE變形b解：（簡單思路）EF二 BF-DE在BC上截取BG,使得BG二DF,連接AG。EF二DE-BF在DC上截取DG,使得DG二BF,連接AG。 由四邊形ABCD是正方形得ZADG 二 ZABF 二 90AD 二 AB又 DG二BF所以 AADG 三 A ABF （SAS

5、）Z GAD 二 Z FABAG 二 AF山四邊形ABCD是正方形得Z DAB 二 90 二 Z DAG+Z GAB二 ZBAF+ZGAB 二 ZGAF 所以 ZGAE=ZGAF-ZEAF二90-45二45ZGAE=ZFAE=45rt乂 AG二AFAE 二 AE所以 EAG= AEAF (SAS)EF 二 EOED-GD 二 DE-BFZ EDB 二 Z GDCDE 二 DG乂 Z DBC 二 120 = Z EDB+ Z EDC二 ZGDC+ZEDC 二 ZEDG 所以 ZGDF=ZEDG-ZEDF二 120-60 二 60ZGDF=ZEDF=60乂 DG二DEDF 二 DF 所以 AGDF

6、三 AEDF (SAS)EF二GF二CG+FC二BE+FC變形c解：（簡單思路）變形d解：（簡單思路）EF二BE+FC延長AC到點(diǎn)G,使得CG二BE,連接DG。 由 ABC是正三角形得ZABC 二 ZACB 二 60“乂 DB二DC, ZBDC二 120“所以 ZDBC 二 ZDCB 二 30Z DBE 二 Z ABC+ Z DBC 二 60 “ +30 二 90 Z ACD 二 Z ACB+ Z DCB 二 60 +30 二 90 所以上GCD二 180 -乙 ACD二90 ZDBE=ZDCG=90乂 DB二DC, BE二CG所以zXDBE三 ADCG (SAS)延長CD到點(diǎn)G,使得DG=B

7、F,連接AG。 過E作EH丄AG.前面如(1)所證， AADG= A ABF, AEAG= AEAFZGAD二ZFAB=30% SAEAG=S EAF在 RtAADG 中，Z GAD二30, AD二&厶GD二60, AG二2設(shè) EH二x在RtAEGH中和RtAEHA中ZAGD=60o, Z HAEM5 HG二百x, AH二x3AG二2二HG+AH二心+x, EH二x二3-R3S A EAF二S EAG二EH x AG - 2二 3-石.hA-oooo.(2)（第5頁題目答案見第6頁）（2）加強(qiáng)版B正方形ABCD中，對角線AC與BD交于0,點(diǎn)E在BD上，AE平分ZDACo 求證：AC/2二AD-

8、E0 正方形ABCD中，M在CD上，在DA 延長線上，CM二AN,點(diǎn)E在BD上，NE 平分ZDNM。請問MN、AD、EF有什么數(shù)量關(guān)系？hA-OOOO.(2)解：(簡單思路)DC過E作EG丄AD于G 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形ZADC二90, BD 平分 ZADC, AC丄BD所以 ZADB 二 ZADC/2 二 45因?yàn)锳E平分ZDAC, E0丄AC, EG丄AD 所以 ZEA0 二 ZEAG,Z DGE二 z AOE二 Z AGE二90 “ 乂 AE二AE, 所以 AAE0 三 A AEG (AAS) 所以 AG二AO, E0二EG乂ZADB二45, ZDGE二90 所以ADGE為等腰直角

9、三角形DG二EG=EOAD-DG=AD-E0=AG=A0=AC/2(2)加強(qiáng)版解：(簡單思路)MN/2二AD-EF 過E作EG丄AD于G,作EQ丄AB于Q, 過B做BP丄MN于P按照(2)的解法，可求證，AGNEs AFNE (AAS) DGE為等腰直角三角形AG二AD-DG二AD-EF,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，ZABC=ZGAQ=ZBCM=90BD 平分 ZABC, BC二BAZABD二 ZABC/2二45 , 乂 ZEQB二90 EQB為等腰Rt三角形，ZBEQ二43因?yàn)?Z GAQ 二 Z EGA 二 Z EQA 二 90 所以四邊形AGEQ為矩形，EQ二AG二AD-EF, EQ/AGZQEN二 ZENGXZENG=ZENF,所以 ZQEN二ZENF山 BC二BA, ZBCM二 ZBAN二90 , CM二AN,所以 ABCM 三 A BAN (SAS)BM二BN, ZCBM二ZABNZABC=90 = ZABM+ZCBM二 Z ABM+ Z ABN二 Z MBN, 乂 BM二BN 所以AMBN為等腰Rt三角形， 乂 BP丄斜邊MN于P, 所以ANTB為等腰Rt三角形。BP二MN/2, ZPNB二45。ZBNE=ZENF+ZPNBZBEN 二 ZQEN+ZQE