四年級奧林匹克數(shù)學基礎(chǔ)資料庫 第4講 數(shù)的整除性（一） 試題

1、 第4講 數(shù)的整除性（一）我們在三年級已經(jīng)學習了能被2，3，5整除的數(shù)的特征，這一講我們將討論整除的性質(zhì)，并講解能被4，8，9整除的數(shù)的特征。數(shù)的整除具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)一定能被丙數(shù)整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。性質(zhì)2 如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差也一定能被這個自然數(shù)整除。例如，21與15都能被3整除，那么2115及21-15都能被3整除。性質(zhì)3 如果一個數(shù)能分別被兩個互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)一定能被這兩個互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，

2、且9與7互質(zhì)，那么126能被9×763整除。利用上面關(guān)于整除的性質(zhì)，我們可以解決許多與整除有關(guān)的問題。為了進一步學習數(shù)的整除性，我們把學過的和將要學習的一些整除的數(shù)字特征列出來：（1）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0，2，4，6，8中的一個，那么這個數(shù)就能被2整除。（2）一個數(shù)的個位數(shù)字如果是0或5，那么這個數(shù)就能被5整除。（3）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和如果能被3整除，那么這個數(shù)就能被3整除。（4）一個數(shù)的末兩位數(shù)如果能被4（或25）整除，那么這個數(shù)就能被4（或25）整除。（5）一個數(shù)的末三位數(shù)如果能被8（或125）整除，那么這個數(shù)就能被8（或125）整除。（6）一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和

3、如果能被9整除，那么這個數(shù)就能被9整除。其中（1）（2）（3）是三年級學過的內(nèi)容，（4）（5）（6）是本講要學習的內(nèi)容。因為100能被4（或25）整除，所以由整除的性質(zhì)1知，整百的數(shù)都能被4（或25）整除。因為任何自然數(shù)都能分成一個整百的數(shù)與這個數(shù)的后兩位數(shù)之和，所以由整除的性質(zhì)2知，只要這個數(shù)的后兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。這就證明了（4）。類似地可以證明（5）。（6）的正確性，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。8378003078×1003×1078×（991）3×（91）78×9983×93

4、7（8×993×9）（837）。因為99和9都能被9整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1和性質(zhì)2知，（8x993x9）能被9整除。再根據(jù)整除的性質(zhì)2，由（837）能被9整除，就能判斷837能被9整除。利用（4）（5）（6）還可以求出一個數(shù)除以4，8，9的余數(shù)：（4）一個數(shù)除以4的余數(shù)，與它的末兩位除以4的余數(shù)相同。（5）一個數(shù)除以8的余數(shù)，與它的末三位除以8的余數(shù)相同。（6）一個數(shù)除以9的余數(shù)，與它的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)相同。例1 在下面的數(shù)中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解：能被4整除的數(shù)有7756，3

5、728，8064；能被8整除的數(shù)有3728，8064；能被9整除的數(shù)有234，8865，8064。例2 在四位數(shù)562中，被蓋住的十位數(shù)分別等于幾時，這個四位數(shù)分別能被9，8，4整除？解：如果562能被9整除，那么56213應(yīng)能被9整除，所以當十位數(shù)是5，即四位數(shù)是5652時能被9整除；如果562能被8整除，那么62應(yīng)能被8整除，所以當十位數(shù)是3或7，即四位數(shù)是5632或5672時能被8整除；如果562能被4整除，那么2應(yīng)能被4整除，所以當十位數(shù)是1，3，5，7，9，即四位數(shù)是5612，5632，5652，5672，5692時能被4整除。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學過能被2，3，5，4，8，9整除的

6、數(shù)的特征。根據(jù)整除的性質(zhì)3，我們可以把判斷整除的范圍進一步擴大。例如，判斷一個數(shù)能否被6整除，因為62×3，2與3互質(zhì)，所以如果這個數(shù)既能被2整除又能被3整除，那么根據(jù)整除的性質(zhì)3，可判定這個數(shù)能被6整除。同理，判斷一個數(shù)能否被12整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被3和4整除；判斷一個數(shù)能否被72整除，只需判斷這個數(shù)能否同時被8和9整除；如此等等。例3 從0，2，5，7四個數(shù)字中任選三個，組成能同時被2，5，3整除的數(shù)，并將這些數(shù)從小到大進行排列。解：因為組成的三位數(shù)能同時被2，5整除，所以個位數(shù)字為0。根據(jù)三位數(shù)能被3整除的特征，數(shù)字和270與570都能被3整除，因此所求的這些數(shù)為27

7、0，570，720，750。例4 五位數(shù)能被72整除，問：a與b各代表什么數(shù)字？分析與解：已知能被72整除。因為728×9，8和9是互質(zhì)數(shù)，所以既能被8整除，又能被9整除。根據(jù)能被8整除的數(shù)的特征，要求能被8整除，由此可確定b6。再根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征，的各位數(shù)字之和為a329ba3f296a20，因為la9，所以21a2029。在這個范圍內(nèi)只有27能被9整除，所以a7。解答例4的關(guān)鍵是把72分解成8×9，再分別根據(jù)能被8和9整除的數(shù)的特征去討論b和a所代表的數(shù)字。在解題順序上，應(yīng)先確定b所代表的數(shù)字，因為b代表的數(shù)字不受a的取值大小的影響，一旦b代表的數(shù)字確定下來，a

8、所代表的數(shù)字就容易確定了。例5 六位數(shù)是6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個？分析與解：因為62×3，且2與3互質(zhì)，所以這個整數(shù)既能被2整除又能被3整除。由六位數(shù)能被2整除，推知a可取0，2，4，6，8這五個值。再由六位數(shù)能被3整除，推知3ababa33a2b能被3整除，故2b能被3整除。b可取0，3，6，9這4個值。由于b可以取4個值，a可以取5個值，題目沒有要求ab，所以符合條件的六位數(shù)共有5×420（個）。例6 要使六位數(shù)能被36整除，而且所得的商最小，問a，b，c各代表什么數(shù)字？分析與解：因為364×9，且4與9互質(zhì)，所以這個六位數(shù)應(yīng)既能被4整除又能被9整除。六

9、位數(shù)能被4整除，就要能被4整除，因此c可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使這個六位數(shù)盡可能小。因此首先是a盡量小，其次是b盡量小，最后是c盡量小。先試取a=0。六位數(shù)的各位數(shù)字之和為12bc。它應(yīng)能被9整除，因此bc6或bc15。因為b，c應(yīng)盡量小，所以bc6，而c只能取1，3，5，7，9，所以要使盡可能小，應(yīng)取b1，c5。當a=0，b=1，c5時，六位數(shù)能被36整除，而且所得商最小，為150156÷364171。  練習416539724能被4，8，9，24，36，72中的哪幾個數(shù)整除？2個位數(shù)是5，且能被9整除的三位數(shù)共有多少個？3一些四位數(shù)，百位上的數(shù)字都是3，十位上的數(shù)字都是6，并且它們既能被2整除又能被3整除。在這樣的四位數(shù)中，最大的和最小的各是多少？4五位數(shù)能被12整除，求這個五位數(shù)。5有一個能被24整除的四位數(shù)2