丹桂苑水塔加水模型

1、丹桂苑水塔加水模型第三期（2004年12月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.3丹桂苑水塔加水模型李卓林，何貴明,羅小珠（1）韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)物理學(xué)本科班512005（2）韶關(guān)學(xué)院2001級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用 數(shù)學(xué)本科（1）班 512005（3）韶關(guān)學(xué)院2002級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科班512005摘要:本模型是解決將關(guān)學(xué)院丹桂苑內(nèi)水塔的加水時(shí)間與學(xué)生休息時(shí)間沖突為目的，利用測(cè)量的28個(gè)水位 高度（其中有4個(gè)不能測(cè)量），來分析學(xué)生們的用水規(guī)律，本模型通過合理假設(shè)，用三次樣條插值來解決 數(shù)據(jù)的不足，然后用分段函數(shù)擬合數(shù)據(jù)，擬合的結(jié)果十分理想，并使函數(shù)在交接點(diǎn)連續(xù)連接，從仿真結(jié)果 可以看出本模型的仿真結(jié)果與測(cè)

2、量數(shù)據(jù)幾乎完全重合.并最后解決了水塔的加水時(shí)間與學(xué)生們休息相沖突 的問題.關(guān)鍵詞:三次樣條插值；擬合；預(yù)測(cè)；分段函數(shù)1問題的提出在韶關(guān)學(xué)院丹桂苑內(nèi)有一個(gè)高12.0米，直徑16. 4米的正圓柱水塔。按照設(shè)計(jì)，當(dāng)水塔的 水位降至約82米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)加水，當(dāng)水 位升高到約10.8米時(shí)，水泵停止工作。但又因這一設(shè)計(jì)，水塔的加水時(shí)間往往難以 估計(jì)。而在下午一點(diǎn)到三點(diǎn)，晚上十一點(diǎn)到明天 的早上七點(diǎn)是苑內(nèi)和周圍群眾的休息時(shí)間。當(dāng)水 塔加水時(shí)會(huì)引起噪音影響學(xué)生的休息，并通常會(huì) 持續(xù)約2小時(shí)。在此，我們重新設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)易的解決方案， 解決水塔加水的時(shí)間與學(xué)生休息時(shí)間沖突的問 題，來達(dá)到不影響學(xué)生的休息。我們?cè)?/p>

3、某一天通過間隔一段時(shí)間測(cè)量水塔里的水位變化的記錄數(shù)據(jù)，測(cè)量了 28個(gè)時(shí)刻， 但其中有4個(gè)時(shí)刻遇到水泵正在向水塔供水，而 無水位記錄（用符號(hào)/表示）（數(shù)據(jù)表：附錄 1）2問題的分析以上問題是由于水塔的定性操作，從而影響到 學(xué)生們的生活，這也給了我們解剖問題的方向。 從水塔的設(shè)計(jì)可以看出，水塔的供水是一個(gè)觸發(fā) 型的裝置。這里也給我們提供了便利，因而只要 我們能夠預(yù)測(cè)到水塔會(huì)在學(xué)生休息時(shí)加水，我們 就提前加水等方法盡量不影響學(xué)生的休息。因此 根據(jù)測(cè)量的數(shù)據(jù)，可以算出各已知數(shù)據(jù)段的平均 值。從數(shù)據(jù)分析可知，我們須先求水泵的加水速 率，然后再算出在無水位記錄的平均值，最后利 用三次樣條插值可以算出任意時(shí)

4、刻的學(xué)生用水 率，及一天的總用水量，從而能夠預(yù)測(cè)出水塔的 加水時(shí)間來辟免影響學(xué)生的休息。3模型的假設(shè)與符號(hào)的約定3. 1 模型的假設(shè)(1)首先我們假設(shè)水塔的加水是觸發(fā)型的(即 當(dāng)水泵適合某些條件，如手動(dòng)或者達(dá)到某一高度 就會(huì)啟動(dòng)，達(dá)到某一高度才會(huì)停下)。(2)我們假設(shè)水泵在加水時(shí)不會(huì)斷電。(3)假設(shè)各時(shí)間段的平均用水率為各時(shí)間段 的中時(shí)用水率。(4)假設(shè)水泵加水速率為一恒定值。(5)設(shè)第二次加水結(jié)束在22.99時(shí)刻。(6)設(shè)第一次加水時(shí)間段為8. 97,10.95, 第二次加水時(shí)間段為20.84, 22. 99;(7)設(shè)各天的用水規(guī)律基本不變;(8)設(shè)應(yīng)盡量避免調(diào)整加水時(shí)間;3.2符號(hào)的約定：

5、第，個(gè)測(cè)量值的時(shí)刻；A：第，個(gè)時(shí)刻的水位高度；v;：第，個(gè)時(shí)間段的平均用水率或中時(shí)用水率;第，個(gè)時(shí)間段的中時(shí)時(shí)刻；R：水塔的半徑；小水泵加水的速率；小 第,次加水時(shí)的總用水量；小第，段擬合函數(shù)與第/段擬合函數(shù)的交接點(diǎn);M當(dāng)占=1時(shí)表示調(diào)整到9時(shí)加水,當(dāng)-2表示 調(diào)整到16時(shí)加水；V表示第，時(shí)刻水泵的高度；4模型的建立4.1數(shù)據(jù)的分析為了能夠預(yù)測(cè)學(xué)生任意時(shí)刻的用水率首先必 須計(jì)算出各個(gè)時(shí)間段的中時(shí)用水率。根據(jù)前面的 假設(shè)，中時(shí)用水率為該段的平均用水率。則可根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)可得匕可計(jì)算出各個(gè)時(shí)間段的中時(shí)速度。并可易得各 個(gè)時(shí)間段的中時(shí)時(shí)刻& 則各中時(shí)時(shí)刻及中時(shí)速率如下表；（速率:7t.R.in )時(shí)

6、刻( t )0. 461.382. 3953.414. 4255.446. 455水位0.217390. 184780. 162160. 163040. 153150. 130430. 15315(m)時(shí) 刻( t )7. 478. 459. 47510.4510.93511.5412.54水 位 (m )0.14130. 16346/0. 271190. 35366時(shí)13.414.415.416.317.318.419.5刻 ( t )153465885水0. 290. 260. 260. 240. 230. 230. 25位 (m032364087731636423)時(shí) 刻 ( t )20

7、.421.42522.523.43524.43525.45/水 位 (m )0. 23864/0.216220. 18478/利用Mat lab的plot函數(shù)描出各中時(shí)時(shí)刻的用水率:圖1圖1為時(shí)間和用水速率的關(guān)系圖，星號(hào)表示該時(shí)該的用水速率（2）從（1）中可得圖1,從圖中觀察可知, 在8. 97, 10. 95之間的學(xué)生的用水率顯上升趨 勢(shì)，因此以此為突破口，利用三次樣條插值可方 便地估算出第一次加水時(shí)三個(gè)時(shí)間段的中時(shí)用 水率vI0 =0.1790 vu =0.19897% =。.22181f則可根據(jù)以上數(shù)據(jù)解出水泵的加水速率:v _ vio(ru -rio)+ vn62 TlI)+ %也3

8、一62)一(1 82-8.22)則可解得 v,=1.5O2233r./?2.w/7假設(shè)的驗(yàn)證:我們根據(jù)假設(shè)求出22. 99, 23. 88時(shí)間段的平 均 用水率吆=0.258皿.晨7/?,然后 去掉在23.88,24.99時(shí)間段的平均用水率入，然后根 用原始數(shù)據(jù)求的A=O.21622r#.77十分相近，可認(rèn)為 %呸，這也證明了假設(shè)加水結(jié)束時(shí)間為22.99 的合理性。據(jù) V25,V27,V28用三次樣條插值求出1%=。2160%川.77 9再可根據(jù),可求出在時(shí)間段20.84, 22, 99的 總用水:與=v/22.99-20.84)-(10.82-8.22)s2 = 0.629 8r./?2.1

9、3第三期（2004年12月）韶關(guān)學(xué)院學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文集No.3再從圖中觀察可知，在20.84,22.01時(shí)間段 中的平均用水率要比在22. 01, 22. 99時(shí)間段中 的平均用水率要高，在這里不妨假設(shè)在 20.84, 22. 01有一個(gè)用水高鋒，我們首先假設(shè) 為4 =。.3次內(nèi)7/7,則可求出v24=O.26O6r./?2.m/7 9同理用同上的驗(yàn)證方法可證明假設(shè)是合理的。則此時(shí)各時(shí)間段的中時(shí)時(shí)刻與各中時(shí)用水速率9n可與用冰速率的天條圖的關(guān)系圖如下:5 4 5 3 5 2 40.30.2 。o o O圖2（3） .根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值, 并利用Matlab中的插值函數(shù)spli

10、ne可計(jì)算出任 意時(shí)刻的學(xué)生用水率。關(guān)系圖如下：圖3.45.4.35.325.2151O.o.o o M購米旺在此時(shí)以0.01為步長(zhǎng)，用梯形積分法可求出 任意時(shí)間段內(nèi)的總用水量，用Matlab編的函數(shù) fun(tl,tn)(程序：附錄 2) 則一天的總用水量：24s =力 2(0,24)r-0解得 S = 5.2922tRj（4） .分段函數(shù)的擬合I方法分析由于以上方法的計(jì)算量大和解題過程必須借 助計(jì)算機(jī)的輔助,從而達(dá)不到簡(jiǎn)易的效果,在此, 我們應(yīng)該要擬合出關(guān)于學(xué)生用水率的關(guān)系函數(shù)。 分析原始數(shù)據(jù)可知，由于加水把數(shù)據(jù)分成三段， 并且從圖中可知，在下午兩點(diǎn)多到晚上八點(diǎn)多有 一個(gè)用水相對(duì)平穩(wěn)的過程

11、，因此我們把數(shù)據(jù)分成 四段擬合。在二十四小時(shí)的擬合中，只有25個(gè)數(shù)據(jù)，因此很容易在鋒值處出現(xiàn)形態(tài)的相反（即 有可能把凸函數(shù)擬合成凹函數(shù)），在此，我們引 進(jìn)了在（3）中所求出的插值，從而保證了數(shù)據(jù) 的相對(duì)的連貫性并保證了函數(shù)的形態(tài)。n函數(shù)的擬合我們首先把數(shù)據(jù)分成了 0 , 11, 5, 11. 5,14. 99, 14. 99, 20, 20, 24 段。我們綜合分析圖象的各種特性，最后我們選 擇了三次函數(shù)擬合，利用Matlab的polyfit函 數(shù)，擬合出以下函數(shù)0/11.511.5/14.9914.99/2020/.3906x 1+ 0.00154082 -0.025695 + 0.2229

12、70.02427 P-0.978222 +13.07-57.624-5.3742x 1 (FT + 0.00646162-0.18018+ 1.69940.0I28173-0.866162 + 19.457/-145.03函數(shù)不連續(xù)的分析，由于我們采用分?jǐn)嗪瘮?shù)擬 合，從而使函數(shù)在交接點(diǎn)處不連續(xù)，為此我們每相鄰函數(shù)相減為0解方程，所得的解便是能使各交接點(diǎn)連續(xù)的邊界，分別解得小=1 1.43,、=14.87/ = 20.42 o從所求的結(jié)果可看出，只要修改很小的時(shí)間范 圍便可使函數(shù)連續(xù)，故在此可不考慮因改變時(shí)間 范圍所引起函數(shù)的變化，所得新的函數(shù)為:7.3906x 1 O-5/3 + 0.0015

13、4082 一0.025695 + 0.222970.0242713-0.978222+13.075f-57.624SI、- 5.3742X 10一、戶 + 0.0064616-0.1801 8+ 1.69940.0128173-0.866162+19.457/-145.030/1 1,4311.43/ 14.8714.8720.422042W 24描出擬合函數(shù)圖線和插值所得圖線的比較報(bào)臺(tái)函數(shù)國跋，口插fit所海田的比蛟田0 1 0或者化=1和，=9)或者(&=2和( = 18)It - (v. + v/+1) x 0.01/25模型的仿真首先我們考慮到一般工作人員上班時(shí)間，在此 我們選擇了以早

14、上7點(diǎn)到明天的7點(diǎn)（即以31 點(diǎn)表示）為仿真時(shí)間段，以任意高度為仿真初值。在此，我們不妨以測(cè)量數(shù)據(jù)為初值，并與測(cè)量數(shù)據(jù)作比較可得:測(cè)量聚據(jù)和偽五圖錢美春圖5101533253)時(shí)間1 6 0 5 9 5 110.19.8.留厄創(chuàng)性君拽長(zhǎng)誤差圖線0.C6-0 04010152025從仿真結(jié)果可知，此時(shí)加水時(shí)不用調(diào)整，仿真結(jié)果與測(cè)量數(shù)據(jù)幾乎完全重合，從誤差條形圖可看出，最大誤差只有O.O5O6r./?2./n,最大相對(duì)誤差也23只有0.47 %,結(jié)果喜人。另外，我們又用一隨機(jī)數(shù)據(jù)為初值，不妨以8. 82為初始高度，從7時(shí)到明天7時(shí)（即31時(shí) 來表示），仿真結(jié)果如下：1110.5仿真圖篇美系圖從仿真

15、結(jié)果可以看出，此時(shí)的加水時(shí)間已經(jīng)不 會(huì)影響學(xué)生的休息了，也就是說已經(jīng)達(dá)到我們的 目的。6模型的優(yōu)缺點(diǎn)本論文通過合理假設(shè)，經(jīng)過一定的簡(jiǎn)化，運(yùn)用了三次樣條插值法，從原始數(shù)據(jù)中提取出各時(shí)間 段的平均用水率。并用平均用水率假設(shè)為各時(shí)間 段的中時(shí)用水率。并用四段分段函數(shù)擬合數(shù)據(jù)， 并使各連接點(diǎn)連續(xù)連接，從仿真結(jié)果看仿真數(shù)據(jù) 與測(cè)量數(shù)據(jù)幾乎完全重合。論文的缺點(diǎn)：（1）由于本模型用平均用水率設(shè) 為各時(shí)間段的中時(shí)用水率，從而使用水高峰時(shí)的 值會(huì)比實(shí)際值要小。（2）由于學(xué)生們的用水規(guī)律 在這里比較復(fù)雜，我們找不到用一個(gè)統(tǒng)一的函數(shù) 來描述學(xué)生們的用水規(guī)律。附錄1水位測(cè)量記錄（單位：時(shí)刻（小時(shí)），水位（米）時(shí) 刻

16、(t )0. 000.921.84水 位 (m )9. 689. 489.31時(shí)7.017. 938. 972. 953.874. 985. 909. 138. 988.818. 699. 9810.910.912. 1刻 (t )253水 位 (m )8. 528. 398. 22/10.8210.5 0時(shí)12.913.814.915.916.817.919.0刻 (t )5880334水 位 (m )10.219. 949. 659. 419. 188. 928. 66時(shí)19.920.822.022.923.824.925.9刻 (t )6416891水 位 （m8. 438. 22/10

17、.5910.3510. 18)附錄2function s=fun(tl, tn)s=0;tx=0:0, 01:25. 91;v=0. 21739, 0. 18478, 0. 16216, 0, 16304, 0. 1531 5, 0. 13043, 0. 15315, 0.1413,.0. 16346, 0, 179, 0. 19897, 0. 22182, 0. 27119, 0. 3 5366, 0. 29032, 0. 26364,.0. 26087, 0. 24731, 0. 23636, 0. 23423, 0. 25, 0. 23 864, 0, 325, 0. 25464, 0.

18、 23, 0. 21622, 0. 18478 t=0. 46,1. 38, 2. 395, 3. 41, 4. 425, 5. 44, 6. 455, 7. 47, 8. 45, 9, 475,10. 45,10. 935,11. 54,12. 54, 13. 415, 14. 43,15. 44, 16. 365, 17. 38, 18. 485, 19 5, 20. 4, 21. 425, 22. 5, 23. 435, 24, 435, 25. 45; vl=interpl (t, v, tx, spline); %求出各時(shí) 刻的用水率tl=tl*100+l;tn二tn*100;while tl=0 & tl1150 & tl1499 & tl2000 & tl