大學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)論文講解

1、數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)Determination Methods and Properties ofthe Measurable Set姓 名：學(xué) 號(hào)：學(xué) 院：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與小用數(shù)學(xué)指導(dǎo)老師：完成時(shí)間：2成1年4月20日數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文可測(cè)集的判定方法及其性質(zhì)【摘要】在本論文中，我們介紹了基于 Caratheodory測(cè)度理論上的Lebesgue測(cè)度理論.從可測(cè)集的定義出發(fā)，我們討論可測(cè)集的性質(zhì) 我們還討論了可測(cè)集和 Borel集之間的關(guān)系.為了更好地了解可

2、測(cè)集 的性質(zhì)，我們?cè)谖闹薪o出一些例子.通過(guò)寫這篇論文，我對(duì)可測(cè)集的 性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)有了更深刻全面的了解.【關(guān)鍵字】 測(cè)度 可測(cè)集 性質(zhì)2Determination Methods and Properties of the Measurable Set *Abstract In this paper, we introduce the Lebesgue measure theory which is based on the Caratheodory measure theory. From the definitions of measurable set, we discuss the pr

3、operties of measurable set. We also discuss the relationship between measurable set and Borel set. In order to obtain a good understanding the properties of measurable set, we give some examples in the paper. Through writing this paper, I get a comprehensive and profound understanding about the cons

4、truction and properties of measurable set.Keywords Measure Measurable set Properties數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文目錄1 .引言 12 .可測(cè)集的定義 23 .可測(cè)集的性質(zhì) 4(1)零測(cè)集 4(2)可測(cè)集關(guān)于集合的運(yùn)算性質(zhì) 5(3)單調(diào)的可測(cè)集序列 94 .可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成 11(1)可測(cè)集類 11可測(cè)集與Borel集的關(guān)系 14參考文獻(xiàn)、致謝 20iii數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文1引言實(shí)變函數(shù)論的核心問題是對(duì)我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中已學(xué)過(guò)的黎曼（Riemann）積分進(jìn)行推廣，

5、而建立一種應(yīng)用范圍更廣，使用起來(lái)更靈活、便利的新的積分理論即Lebesgue積分理論.數(shù)學(xué)分析中 Riemann積分基本上是處理幾乎連續(xù)的函數(shù)，但隨著理論的發(fā)展， Riemann積分理論的缺陷變得愈來(lái)愈明顯，主要表面在以下兩個(gè)方面：一方面是對(duì)被積函 數(shù)的連續(xù)性要求太強(qiáng)，以致于著名的Dirichlet函數(shù)這樣一種非常簡(jiǎn)單的函數(shù)都不可積；另一方面是應(yīng)用起來(lái)有很大的局限性，這種局限性突出表現(xiàn)在可積函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分，以及可積函數(shù)列的積分與極限的可交換性方面，一般要求函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)要具有一致收斂性，而這一要求在實(shí)際問題中常常得不到滿足，或雖然滿足要想驗(yàn)證又非常的繁復(fù)，因此， 無(wú)論在理論方面還是在

6、實(shí)際應(yīng)用方面改進(jìn)Riemann積分的定義使之適用更廣泛的函數(shù)類是很有必要的.為此，數(shù)學(xué)家通過(guò)努力建立了一種新型的積分一Lebesgue積分.Lebesgue積分和Riemann積分的思路相反，不是從分割自變量的區(qū)域而是從分割函 數(shù)值域著手構(gòu)造積分和.19世紀(jì)下半葉，不少分析學(xué)家進(jìn)行一系列擴(kuò)充長(zhǎng)度和面積概念的探 索，逐漸形成測(cè)度概念.它作為建立Lebesgue積分的基礎(chǔ)，是要對(duì)Rn中一般點(diǎn)集 E給出一 種度量.它是長(zhǎng)度、面積和體積等概念的推廣.從1898年開始，Borel建立了一維Borel點(diǎn)集的測(cè)度.法國(guó)數(shù)學(xué)家Lebesgue在20世紀(jì)初葉系統(tǒng)地建立了測(cè)度論 ，并成功地建立起新的 積分理論.1

7、915年法國(guó)數(shù)學(xué)家M .Frechet提出在一般代數(shù)上建立測(cè)度，開始創(chuàng)立抽象測(cè)的理論.1918年左右希臘數(shù)學(xué)家 Caratheodory提出關(guān)于現(xiàn)代測(cè)度理論的關(guān)鍵理論.本文要介紹基于Caratheodory外測(cè)度理論上的 Lebesgue測(cè)度理論.5(非負(fù)性)；(單調(diào)性)；(次可加性)；m* B (距離可加性).都有(1)測(cè)度為零的集合稱為零(2)之，若(2)式成立，令2可測(cè)集的定義定義2.1 1 稱inf 11k | Ik是E的可數(shù)開覆蓋k 1為點(diǎn)集E的Lebesgue外測(cè)度，簡(jiǎn)稱外測(cè)度，記作m* E .1定理2.1外側(cè)度具有如下性質(zhì)：(1)對(duì)任意E Rn都有m*E 0且m*0(2)設(shè) B

8、A Rn,則 m* B m* A(3)設(shè) AiRn,則 m* ( A ) m* Ai1 1i 1n .(4)設(shè) A, B R,若(A,B) 0,則 m*(A B) m* A1nn定義2.2 稱Rn中的點(diǎn)集E為可測(cè)集，如果對(duì)于任意 TRn,m*T m*(T I E) m*(T I Ec)可測(cè)集的外測(cè)度就稱為它的Lebesgue測(cè)度，簡(jiǎn)稱測(cè)度，記作 mE.測(cè)集.Rn中所有可測(cè)集組成的集合稱為可測(cè)集類.上述(1)式稱為Caratheodory條件，它等價(jià)于：c對(duì)任意A E, B E都有m*( AU B) m* A m* B事實(shí)上，若(1)式成立，則取 T (AUB),即可取得(1式；A T I E,

9、 B T I Ec ,便有(1)式成立.注: 要證明點(diǎn)集E可測(cè)，只需證明不等式m*T m*(TI E) m*(TI Ec)成立，因?yàn)橄喾吹牟坏仁娇偸浅闪⒗?1 證明對(duì)任意可測(cè)集 A和B ,都有m(AU B) m(AI B) mA mB .證明A可測(cè)，由Caratheodory條件對(duì)任意的 T ,有 m*T m*(TUA) m*(T I Ac),取T AU B,T I A A,T I Ac BI Ac,所以 m(AUB) mA m(BI Ac)(3)取 mB m(BI A) m(BI Ac)(4)綜合(3) , (4),得到m(AU B) m(AI B) mA mB.注： 可測(cè)集的定義方式有多種

10、，Lebesgue原有的定義是通過(guò)內(nèi)測(cè)度與外測(cè)度給出的，外測(cè)度如前所述，有界點(diǎn)集 E的內(nèi)測(cè)度定義為I| m*(I E)其中I為包含E的開區(qū)間.E的內(nèi)測(cè)度記作 m*E .由于m*( I E)是包含I E的開集無(wú)限外縮逼近的度量的極限值，所以m*E實(shí)際上是包含于E內(nèi)的閉集向外無(wú)限膨脹的度量的逼近值，類似于用圓的內(nèi)接正多邊形面積逼近圓的面積，內(nèi)脹于外縮能達(dá)到統(tǒng)一的值，這個(gè)值就自然是點(diǎn)集 E的度量.因此可以給出：、1nn定義2.3 設(shè)E為R中有界點(diǎn)集，如果 m*E = m*E ,則稱E是可測(cè)的.如果E為R中無(wú)界點(diǎn)集，若對(duì)于任何開區(qū)間I ,有界集EI I都是可測(cè)的，則稱E是可測(cè)的.可測(cè)集的外 測(cè)度稱為它

11、的測(cè)度.注：定義2.2和定義2.3是分別從兩個(gè)方面對(duì)可測(cè)集下的定義，可以證明這兩個(gè)定義是等價(jià)的，但是由于定義2.3中有界集和無(wú)界集受到不同對(duì)待，而且同時(shí)出現(xiàn)內(nèi)外兩種內(nèi)外兩種測(cè)度，使用起來(lái)很不方便，因此一般以定義2.2作為可測(cè)集的正式定義3可測(cè)集的性質(zhì)零測(cè)集例21若E的外側(cè)度為零，則 E是可測(cè)集.證明對(duì)T Rn,有mT m (T I E) m*(T I Ec) *m (E) m (T) m(T), c從而 mT m (T I E) m (T I E ).所以E可測(cè).注：測(cè)度為零的點(diǎn)集就為零測(cè)集.顯然我們有：(1)零測(cè)集的子集也是零測(cè)集.(2)有限個(gè)或可數(shù)個(gè)零測(cè)集的并集也是可測(cè)集.例31 可測(cè)集與

12、零測(cè)集的并集也是可測(cè)集.證明 設(shè)E是Rn中可測(cè)集，N是Rn中零測(cè)集. 因?yàn)門 I (E U N) (T I E) U(T I N)cc cccT I (EUN) T I (E U N ) (T I E ) I N , m*(TI (EUN) m*(TI (E U Nc)=m*(T I E)U(T I N) m*( T I Ec) I Nc)m*(T I E) m*(T I N) m*(T I Ec). cm*(T I E) m* N m*( T I E )m*(T I E) m*(T I Ec) m*T .由定義知EU N可測(cè).(2)可測(cè)集關(guān)于集合運(yùn)算的性質(zhì).、一 1C定理3.1(1)若E可測(cè)

13、，則Ec可測(cè).(2)若 Ei, E2可測(cè)，則 Ei I E2, Ei U E2, Ei E2 都可測(cè).證明(1)由于m*(TI E) m*(TI Ec) m*(T I (Ec)c) m*(TI Ec),故E可測(cè)能推出Ec可測(cè).(2)對(duì)任意TRn,它均可分解為T (T IE1E2) U (T I E2E1)U (T IE1I E2)U(TE1E2)AUBUCUD,(如上圖)可測(cè).集.可測(cè)集.c顯然A,B,C, D互不相交，且 AUC TI E，BUD T I E1，故由E1的可測(cè)性，得m*(AUC) m*( BUD) m*T ,同理，取T1 AUBUC,則AUC 工I E1,B T1 I E；,

14、從而有數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文m*B m*(AUC) m*(AUBUC),又因E2可測(cè)，所以取T2 D U B ,得m*(DUB) m* B m* D ,聯(lián)立以上三式，得m*T m*( AUBUC) m* Dm*(TI (E1UE2) m*(TI (EiUE?),所以E1 U E2可測(cè).由De Morgan 公式，E1 I E2 (E1c I E2c)c,故 E1 I E2也可測(cè).又E1-E2 Ei I E2c,所以E1-E2也可測(cè).注： 設(shè)E Rn,則下列三種說(shuō)法是等價(jià)的：(1) E是可測(cè)集；(2) Ec是可測(cè)集；(3)對(duì)任意 A E,B Ec,總有 m*(A B) m

15、* A m* B .、1定理3.2 若Ei為可測(cè)集i 1,2,，則U Ei , I Ei也可測(cè).若進(jìn)一步假設(shè) i 1i 1Ei I Ej(i j),則有m(U Ei) mEi(5)i 1i 1證明 首先考慮 Ei兩兩不相交的情形.我們先證明：對(duì)任意的TRn ,有m*(TI (E1 U E2)=m*(T I E)+m*(TI E2)(6)事實(shí)上，由于Ei I Ej (i j),在(2)式中取A TI Ei,B TI E2E：即可.進(jìn)一步，很容易將（6）推廣到6數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文lm*(TI (UEi)i 1lm*(T I Ei) i 17其中I為任意正整數(shù).現(xiàn)證明U

16、Ei可測(cè). i 1對(duì)任意TRn,不妨設(shè)，則m*(TI(U E)i 1m*(U(TI Ei)i 1m*(T I Ei)i 1lm*(TI (UEi)c) m*(TI (U EJc),i 1i 1l由于U Ei可測(cè)，故 i 1m*Tlm*(TI (UEi)i 1lm*(TI (UE)c),i 1于是lm*(T I (UE)c) m*T m*(T I (UEi)i 1i 1lm*T m*(T I Ei),i 1所以m*(TI (UEi)+m*(TI (UEi)c) i 1i 1lm*(T I EJ m*T m*(T I Ei),i 1i 1因?yàn)閙 T ，從（7）式知lm*(T I i 1Ei)=m*

17、(T Il(U Ei) m*T, i 1故令l ，知 m*(T I Ei)收斂，所以有 i 1m*(TI (UEi)+m*(TI (UEJc) m*T ,i 1i 1所以U Ei可測(cè). i 1數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位畢業(yè)論文由定理3.3知9在式中取T Rn,有iim*(UEi)m*Eii 1i i再應(yīng)用引理2.51 ,立即得到(5)式.其次，考察一般可測(cè)集序列 Ei,我們令k 1Si E1,SkE2 UEi,(k 2)i 1則Sk是互不相交的可測(cè)集序列.(8)而由U EiUS,即知UE是可測(cè)的,Ii 1 i 1i 1iEi1(UEic)c也是可測(cè)的定理證畢. i 1從(7)式可以

18、推出,m 1n定理3.3 設(shè) Ei是互不相交的可測(cè)集序列，則對(duì)任意TRn,有m*(T I (UEi)m*(T I Ei)i 1(9)例 41設(shè)S,S2,Sk是互不相交的可測(cè)集,EiSi, i 1,2, k.證明kkm*( U Ei)m*Ei.i 1k證明 由定理3.2, U Si可測(cè)，對(duì)任意TRn,有i 1kkm*T m*(T I (USi)+m*(TI (U§)c) i 1i 1kkm*(UTI S) m*(TI (USi)c), i 1i 1k 取 T U§, TI Si Ei i 1所以kTI (US)i 1kU(TI S)i 1數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 2011屆學(xué)士學(xué)位

19、畢業(yè)論文km*T m*(UEi)i 1km*Ei i 1km*(U(TI S)i 1km*(T I Si) i 121(3)單調(diào)的可測(cè)集序列設(shè)日是可測(cè)集序列,且EiEi 1, i 1,2,.則!im Ei也是可測(cè)的，且證明 因?yàn)閘im Eii現(xiàn)設(shè)mElm(lim Ei) lim mE ii(10)UEi,故lim Ei可測(cè),若存在l ,使mEl i 1i1,2,.由Ej的單調(diào)性及可測(cè)性,則(10)式顯然成立.日1與Ei Ei-1均可測(cè)且不相交，所以有mEi 1 m(Ei Ei-1) mEi,由于mEl令Eo，則mEi-mEi 1m(Ei Ei-1) , i1,2,lim EiUEi = U(E

20、i Ei-1).再應(yīng)用測(cè)度的可數(shù)可加性，有m(lim Ei) m(U(Eiii 1Ei-1)m*(Ei i 1Ei-1)(mEi-mEii 1lim (mEk-mEki k 11) =lim mEi.ilim m(En). n,然后利用測(cè)度的性質(zhì)6,一 、例5設(shè)En：n 1,2, 是一列可測(cè)集，證明:m(lim En)n證明先將求集合序列下限集的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求單調(diào)集列極限的運(yùn)算 進(jìn)行必要的討論.由于lim EnU I En,記Fk I巳，這樣的Fk ( k 1,2,)是單調(diào)增加的,且nk 1n 1n kFkEk,所以m(U Fk)|im m(Fk),m(Fk) m(Ek),k 1k對(duì)后一式兩邊取

21、下限，注意到左邊實(shí)際上存在極限，故有l(wèi)im m(Fk) lim m(Ek).綜上所述k 得 m(lim En)=m(U Fk)=lim m(Fk) lim m(En). nk 1kn、1定理3.5設(shè) Ei是可測(cè)集序列，且EiEi 1, i 2,3,.則lim Ei也是可測(cè)的.又設(shè)imE1<+ ，則m(lim Ei) lim mE . ii證明 由Ei的單調(diào)性知lim Ei I Ei ,且mE。是遞減數(shù)列，故lim E存在. ii 1i因?yàn)镋EiEEi 1 , i 2,3,所以 EEi是遞增可測(cè)集序列.由定理3.4,有m(E1-lim Ei) m(lim( E1-Ei) mlim( E1-

22、Ei),由于mE1<+，故上式可以寫為mE1-m(lim E) mE1-lim mEi. ii即得欲證.一 6例6 設(shè) En 是一列可測(cè)集，N是某自然數(shù)，m( U En),證明：n Nm(limEn)limm(En).nn證明 由于而En=I UEm,記FnU En ,這樣的 Fn 是單調(diào)減少集列，且nn1mnm nFnEn.由題設(shè)知，n N時(shí)，m(Fn)，所以m(lim En)m(IFn)limm(Fn)limm(En).nn1nn證畢.注：從以上各定理可知，點(diǎn)集的可測(cè)性關(guān)于可數(shù)并、可數(shù)交、差、余和極限運(yùn)算是封閉的有了這些性質(zhì)，我們可以從已知的可測(cè)集去發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造更多的可測(cè)集，由一些可測(cè)

23、集去研究另外的可測(cè)集.4可測(cè)集類及可測(cè)集的構(gòu)成(1)可測(cè)集類在上一節(jié)中，給出了 Rn中可測(cè)集的定義，并且知道了可測(cè)集的一些性質(zhì)，但是除了零測(cè)集外，我們還不知道哪些具體的集合是可測(cè)的.本節(jié)要研究這個(gè)問題.由于我們是將測(cè)度作為長(zhǎng)度、面積、體積該概念的擴(kuò)充，因此凡可求長(zhǎng)度、面積、體積的集合都應(yīng)該是可測(cè)的.首先從區(qū)間 開始.,1口一引理4.1 設(shè)I是R中的開區(qū)間，則m*I m* I I .-e 1 n止理4.2 R中任何開區(qū)間I者B是可測(cè)的，且ml I .證明 由上面的引理1,只要證明I可測(cè).設(shè)I (X,X2，Xn)|Ci Xi di, i 1,2, , n對(duì)任意TRn,要證明(1)m*T m*(T

24、I I) m*(T I I c)I (k)則當(dāng)k充分大，(X1,X2，Xn)| ci1.1 . _、一Xdi 一，i 1,2,，nkkI (k)(嚴(yán)，Ic)從而(I(k)I T,IcI T) 0,由外測(cè)度的距離可加性，有m*T m*( I(k) U I c) I T)m*( I(k) I T)U ICI T)m*( I(k)I T) m*( ICIT),如果能證明lim m*( I(k) I T) m*( II T),則(1)式就可以通過(guò)前式取極限得到，因?yàn)? m*( I I T) m*( I (k) I T)m*( I I(k)I T) m*( I.(k)、I )，現(xiàn)來(lái)證lim m*( I

25、I)0.令1(X1,X2，Xn)| G 7 kXi211G -,q - X di -,i2,3，nkkk它將I (k)在 X1。附近的點(diǎn)蓋住了.其體積Jk3 nk (dik i 22)Ci2)M其中M是與k無(wú)關(guān)的正數(shù).對(duì)I I(k)的其余部分，同樣可分別作出與之類似的開區(qū)間蓋住最終，I I(k)可用2n個(gè)體積不大于M的開區(qū)間覆蓋.于 km*( I I(k)所以 lim m*( I I k2nM k , (k) 0.令k ,則有0 m*( I I T)lim m*( I(k) I T) 0注：從定理4.1可以看出，于是式成立，故I可測(cè).Rn中任何區(qū)間與相應(yīng)的開區(qū)間只差一個(gè)零測(cè)集.因此可以由此推出

26、Rn中任何區(qū)間都是可測(cè)的，且體積就是它的測(cè)度.下面研究在Rn中有哪些集合是可測(cè)的.用分割函數(shù)值域的方法作積分和時(shí)，出現(xiàn)了形如Ei x| yi i f (x) yi的點(diǎn)集.我們知道，連續(xù)函數(shù)是Riemann可積的，在新的積分中也應(yīng)該可積因此，當(dāng)f (x)連續(xù)時(shí)相應(yīng)的Ei應(yīng)該可測(cè).Ei x| f(x) yi x| f(x) yii為兩個(gè)開集之差.因此開集應(yīng)該是可測(cè)的.下面證明，Rn中的開集是可測(cè)集.首先，給出Rn中開集的構(gòu)造定理.ie1n引理4.3Rn中非空開集G都可以表示成可數(shù)多個(gè)互不相交的左開右閉區(qū)間的并，即G = U Ji ,其中 i=1Ji ( Xi,X2, L , xn)| Cj(i)

27、xj dj(i),j 1,2, L,n且 Ji I Jk (i k).證明對(duì)每一個(gè)正整數(shù)k , Rn都可分解為可數(shù)多個(gè)形如(Xi,X2，xn)| m Xi mT，i 1,2, L , n(mi為整數(shù))(2)的互不相交的左開右閉的區(qū)間.設(shè)k1時(shí)上述這些區(qū)間中完全包含在G內(nèi)的是Ii，I2(1), L(有限個(gè)或可數(shù)個(gè)).對(duì)于k 1,用IiI2(1),L表示上述那些區(qū)間中完全被G包含，但不被任何Ii(l k 1)包含的區(qū)間(有限個(gè)或可數(shù)個(gè)).這樣可以得到可數(shù)多個(gè)左開右閉的區(qū)間Ij(k),1 jtk,k 1,2, L .顯然它們是互不相交的，UIj(k) G.現(xiàn)對(duì)任意x G ,k, j因?yàn)榍_集，故存在

28、 0,使得以x為中心的為半徑的鄰域 N(x, ) G.于是，當(dāng)k充分大時(shí)，(2)式中那些區(qū)間中包含x的那個(gè)一定完全被包含在G內(nèi)，從而x UI j(k),即k,jG U I j(k) . k,j定義4.11如果點(diǎn)集E是可數(shù)多個(gè)開集的交，則稱E為G集.如果E是可數(shù)多個(gè)閉的并則稱E為F集.由開集出發(fā)，通過(guò)取余集，作可數(shù)交、可數(shù)并而成的集合類稱為Borel集類,其中的元素稱為 Borel集.1 n正理4.4R中的開集、閉集以及任何Borel集都是可測(cè)的.證明 因?yàn)镽n中左開右閉區(qū)間是可測(cè)的，而開集又可以表為可數(shù)個(gè)左開右閉區(qū)間的并，從而開集是可測(cè)的.任何閉集都是開集的余集，故閉集也是可測(cè)的.由Borel

29、集的定義知任何 Borel集也是可測(cè)的.注： 從定理4.2可知，許多常見的集合都是可測(cè)的，比可求面積的(R2中)或可求體積的(R3中)的范圍擴(kuò)充了許多.但是上述的定理并不意味著每一個(gè)可測(cè)集都是開集、閉集或Borel集.事實(shí)上，存在非Borel集的可測(cè)集.(2)可測(cè)集與Borel集的關(guān)系-E 4定理4.5 設(shè)ERm,則存在G型集G,使E G,且mG m E .證明由外測(cè)度的定義知，對(duì)任意自然數(shù)n ,存在一列開區(qū)間Iin,使E Iin,且 | Iin | m*E 1, i 1i 1n記Gn=Ii(n),GGn,顯然G為G型集，且E GGn ,i 1n 1所以m* E m*G mG mGn |Ii(

30、n) | m*E -,1 1n讓n 得 mG m*E,證畢.、4定理4.6 設(shè)E Rm ,則下列關(guān)系等價(jià)：(1) E為可測(cè)集；(2)對(duì)任意0.存在開集G,使E G,且m(G E) ;(3)存在 G 型集 G ,使 E G ,且 mG m* E , m(G E) =0 .證明(1)當(dāng)mE ,則由外測(cè)集的定義知對(duì)0,存在一列開區(qū)間In,使E In,且n 1|In| mE ，記G= In,顯然G為開集，E G, n 1n 1且 mE mG 11 n | mE ,n 1所以 mG mE ，而 mE ,從而 m(G E) mG mE ,當(dāng)mE 時(shí)，E必為無(wú)界集，但它總可表示成可數(shù)個(gè)互不相交的有界可測(cè)集的

31、并即£=En (mEn ).對(duì)每個(gè)En應(yīng)用上面結(jié)果，存在開集Gn,使n 1EnGn,且 m(Gn En)七，記 GGn ,顯然 G 為開集，E En Gn G ,2n 1n 1n 1且 G E UG UEn (UGn)I (UEn)c U(Gn I (UEn)c) U(GnI Enc) n 1 n 1n 1n 1n 1n 1n 1=U9n En), n 1從而 m(G E) m(Gn En).n 1n 1 2(2) (3)_1取-,n 1,2,，由(2)知，存在開集Gn使n1 、 一E Gn,且 m(Gn E),記G I Gn , nn 1顯然E G, G為G型集，且G E GI E

32、c IGnIEcI(GnIEc)I (Gn E)GnE ,n 1n 1n 1 , 一- 一 一 1所以 m(G E) m(Gn E)-, n讓 n 得，m(G E) 0從而 mG m(EU(G E) m*E.(3) (1)由(3)知 存在G型集G ,使E G ,且mG m* E , m(G E) 0 ,而 E G (G E),故E是可測(cè)集.注：此定理表明任意可測(cè)集總可表示成一個(gè)G與一個(gè)零測(cè)集的差集.、一 4定理4.7 設(shè)ERm,則下列關(guān)系等價(jià)(1) E為可測(cè)集；(2)對(duì)任意 0,存在閉集F,使F E,且m(E F)(3)存在F型集F ,使FE ,且 mF m* E, m(E F) 0 .證明(

33、1)(2).定理4.4E可測(cè)Ec可測(cè)對(duì)任意c0.存在開集G ,使EcGW m(G E )< .現(xiàn)令F=Gc,則F是閉集且FE.因?yàn)?E F G Ec,所以 m(E F)(1)(3)定理4.4E可測(cè) Ec可測(cè) 存在G型集G使Ec 則 F 為F 型集，F(xiàn) E,E F EI Fc E I G GI (Ec)c G Ec,所以 m(E F) m(G Ec) 0,m* E m*( E F)U F) mF .定理證畢.例7 1 證明Rn中可測(cè)集經(jīng)平移后仍為可測(cè)集 .證明 設(shè)E Rn是可測(cè)集，x0是Rn中的固定點(diǎn).記E* X0 E % x|x E下證E *可測(cè).因?yàn)镋可測(cè)，由定理4.4,存在G集E G

34、 ,且m(G E)= 0 .記N G E ,則mN 0,E G N.由G 集的定義可設(shè)G Gk，其中Gk為開集.于是 k 1E*= I Gk* N*.k 1其中Gk*=X)Gk,N* Xo N,顯然Gk*是開集，N*是零測(cè)集(由外測(cè)度的平移不變性)，即E*也是一個(gè)G集與零測(cè)集的差，所以E*可測(cè).注：以上兩個(gè)定理表明，只要有了全部的 G型或F型集(它們都是Borel集)和全部零測(cè)集，一切可測(cè)集都可以通過(guò)G型集與零測(cè)集的差集或 F型集與零測(cè)集的并集獲得.推論11如果E是Rn中的可測(cè)集，則存在一個(gè)Borel集F和一個(gè)零測(cè)集 N ,使得E FUN.4推論2 設(shè)E Rn,則存在Rn中的G型集G,使G E

35、 ,且mG m* E .1例8 設(shè)A, B Rn, AU B是可測(cè)的，且m(AU B) ,若m(AUB) m* A m* B證明A、B皆是可測(cè)集.證明 由推論2:存在可測(cè)集 H、K,使得H A,K B,且mH m*A,mK m* B因?yàn)?A AU B, B AUB,所以 A H I (AU B) S,B KI(AUB) T,S,T 皆可測(cè)，且 S H ,T K .所以 S AU B,T AUB, SUT AUB .mH m* A mS mH m* AmS m* A,同理 mT m* B .由例 1, m(SUT) m(SI T) mS mT ,因?yàn)?m(AUB) m* A m* B ,所以 m

36、(SI T) 0.取 AI B 為基本集，S A SI Ac SIB SI T ,所以 0 m*( S A) m(SI T) 0,所以A S (S A)可測(cè).同理B也可測(cè).作為可測(cè)集與Borel集之間關(guān)系的應(yīng)用，再給出乘積空間測(cè)度的計(jì)算公式-1CCC C定理4.8 設(shè)A、B分別為Rp和Rq中的可測(cè)集，記E A B,則E為Rpq中的可測(cè)集，且 mE mA mB.證明證明分兩步(一)先證當(dāng)A,B均有界時(shí)，結(jié)論成立.(1)當(dāng)A,B都是區(qū)間時(shí)，由區(qū)間的體積公式知結(jié)論成立.(2)當(dāng)A,B都是開集時(shí)，由開集的結(jié)構(gòu)知A UIi, B UJj ,其中I- Jj分別為Rp和Rq中兩兩不交的區(qū)間.于是 i 1j 1E A B U Ii Jj,其中Ii Jj為Rp q中兩兩不交的區(qū)間. i,j 1所以E是可測(cè)集，且mE m(Ii J j) mIi mJj ( ml i)( mJj) mA mB .i,j 1i,j 1i 1j 1(3)當(dāng)A,B都是G集時(shí)，則A I G： , B I G；,其中G1為有界開集，且