第7章矩陣分析

1、技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版第7章 矩陣分析lMATLAB為工程技術(shù)人員、科研工作者提供了方便、強大的數(shù)值計算功能，這也是MATLAB得以流行的重要因素。用戶在利用MATLAB解決實際問題時，首先將該問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后將相應(yīng)的數(shù)學(xué)求解過程翻譯為MATLAB程序代碼。同其他計算機語言（如C、C+、Java等）不同的是，MATLAB語言是一種邊解釋邊執(zhí)行的程序語言，其風格更像是一種數(shù)學(xué)語言。因此用戶利用MATLAB解決問題并不需要了解很多編程方面的知識，而只需懂得基本的MATLAB語法。另外，MATLAB內(nèi)置了大量的數(shù)值計算函數(shù)，這些函數(shù)封裝了常用的數(shù)值計算功能。利用這些

2、數(shù)值計算函數(shù)，用戶能夠從煩瑣的編程工作中解放出來，集中精力解決問題。本書將MATLAB數(shù)值計算分為四章分別討論，本章及下面的兩章（8、9）分別介紹矩陣分析、函數(shù)分析和數(shù)據(jù)分析等初等數(shù)值計算內(nèi)容，第10章將討論數(shù)值計算的一些高級話題。l本章的矩陣分析主要討論以下問題：矩陣基本運算，如加、減、乘、除四則運算等；矩陣特征量，如行列式、條件數(shù)、范數(shù)、秩等；矩陣分解；矩陣函數(shù)；稀疏矩陣。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.1 MATLAB數(shù)值計算中的矩陣l矩陣分析無論是在數(shù)學(xué)理論還是實際工程問題中都具有重要的應(yīng)用，例如，線性方程組的解與矩陣除法、矩陣的特征量（如行列式、逆、條件數(shù)、秩等）

3、、矩陣分解相關(guān)；二次型（，為特征矩陣）的最大（小）值為對應(yīng)特征矩陣的最大（?。┨卣髦?；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)特征矩陣的譜半徑有關(guān)。lMATLAB的最初雛形是為了解決大規(guī)模矩陣運算而編寫的一系列函數(shù)模塊。矩陣作為MATLAB的基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，一直是MATLAB的核心，是MATLAB基本的運算單元，其大部分的內(nèi)建函數(shù)也都支持矩陣作為輸入變量，用戶在編寫自用程序時也應(yīng)當盡量遵循這一約定。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.1.1 MATLAB中的矩陣l前面的章節(jié)已對MATLAB中矩陣的概念、創(chuàng)建、操作等進行了詳細的介紹，矩陣作為MATLAB數(shù)據(jù)組織、運算的基本單元，為MATLAB帶來了

4、眾多的優(yōu)勢：l高效，利用矩陣封裝多重循環(huán)運算，通過其內(nèi)置的程序優(yōu)化提高代碼運行效率；l簡潔，矩陣對多重循環(huán)的封裝使代碼更加簡潔、方便；l安全，矩陣運算內(nèi)置了相關(guān)的出錯處理，代碼更加安全，同時除錯也更加方便。l另外，MATLAB的大部分內(nèi)建函數(shù)都支持矩陣作為輸入變量，相應(yīng)地以矩陣作為輸出變量，這使得程序結(jié)構(gòu)更加清晰，代碼編寫也更加簡便。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.1.2 求解線性代數(shù)方程l信號處理、自動控制等工程領(lǐng)域的眾多問題可以歸結(jié)為下面的數(shù)學(xué)問題：已知，l則有，稱為系數(shù)矩陣，為值向量，為解向量。令，為擴展系數(shù)矩陣，的解與的秩、的行列式、逆、條件數(shù)等有關(guān)，這些內(nèi)容將在下

5、面的各節(jié)中詳細展開。11 1122111112121 12222221222121 12212,。NNNNNNNMMMNNMMMMNa xa xaxbaaaa xaxaxbaaax xxAax axaabaaa求令 1122,NNxbxbxbxb技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.1.3 最大（?。┲祃考慮信號估計理論中的一個經(jīng)典問題：在（恒量）的條件下，求向量使最大，其中為實對稱矩陣。可以證明，當為最大特征值對應(yīng)的特征向量時，達到最大值，為的最大特征值；相反，當為最小特征值對應(yīng)的特征向量時，達到最小值，為的最小特征值。l實際上，矩陣的特征值和特征向量在許多工程應(yīng)用中都具有很重

6、要的應(yīng)用，例如線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)特征矩陣的譜半徑等。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2 矩陣基本運算l矩陣是MATLAB數(shù)據(jù)組織和運算的基本單元，矩陣的加、減、乘、除四則運算、冪運算、比較運算和邏輯運算等代數(shù)運算是MATLAB數(shù)值計算最基礎(chǔ)的部分。這里可以粗略地將矩陣運算分為兩類，即普通數(shù)值運算（四則運算、冪運算）和關(guān)系運算（比較運算、邏輯運算），最后本節(jié)特別介紹了矩陣的按位運算。l為了描述的方便，這里對本節(jié)所涉及相關(guān)數(shù)學(xué)符號稍作統(tǒng)一，矩陣用大寫字母表示，如、；矩陣的第行、第列元素用帶下標的小寫字母表示，如、；表示的轉(zhuǎn)置矩陣；表示的Hermite轉(zhuǎn)置；為方陣的行列式

7、；為方陣的逆矩陣；為方陣的范數(shù)。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.1 矩陣的加、減l矩陣的加、減運算定義為相應(yīng)元素的加減。對矩陣、，其和（差） ，C也為 矩陣，且 。l矩陣的加、減運算要求參與運算的矩陣具有相同的大小，或者其中之一為標量，例如 矩陣A與標量 的和（差） ， 為 矩陣，且 。CABMNmnmnmncabMNxCAxCMNmnmncax技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.2 矩陣乘法技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.3 矩陣除法l矩陣除法是乘法的逆運算，MATLAB也定義了兩類矩陣除法。第一類是矩陣的線性代數(shù)除法，對應(yīng)

8、于矩陣線性代數(shù)乘法的逆運算。矩陣線性代數(shù)除法又有兩種算子，即右除算子和左除算子，如表所示。ABC /AC BABC BA C矩陣線性代數(shù)除法，則，則運 算 符名 稱說 明/右除左除技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.4 矩陣的冪l矩陣的冪與矩陣乘法具有緊密的聯(lián)系，MATLAB也定義了兩類矩陣冪運算。第一類與矩陣線性代數(shù)乘法相對應(yīng)，由 表示，其中為階方陣， 。CAnnCA AA 技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.5 矩陣按位運算l按位運算是MATLAB為矩陣設(shè)計的一種簡潔、高效、安全的運算模式，實際上是對多重循環(huán)的高效封裝，從而提高代碼執(zhí)行的高效和安全程

9、度。前面介紹的矩陣加減、按位乘除、按位冪都是按位運算符。按位運算符一般有一個（.）作為前導(dǎo)符，.*./ .矩陣的按位運算符+加-減按位乘按位右除按位左除按位冪技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.2.6 關(guān)系運算l注意到例7.10中的向量化代碼（Mean = mean(V(V=1)），該段代碼涉及三種按位運算：比較運算、邏輯運算和邏輯下標。這三種運算為代碼向量化提供了強大的引擎。表列出了MATLAB支持的比較運算符和邏輯運算符。比較運算算子符號說 明大于=不小于=不大于=等于=不等于技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3 矩陣特征量l線性代數(shù)中有一些矩陣特征量用于

10、刻畫矩陣某方面的性質(zhì)，如行列式、范數(shù)、條件數(shù)、秩等。這里從求解7.1.2給出的線性方程組出發(fā)討論矩陣相關(guān)的特征量，包括矩陣的行列式、秩、范數(shù)、條件數(shù)、范數(shù)以及矩陣的逆。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3.1 矩陣的行列式l關(guān)于矩陣行列式的概念，這里不作贅述，如有疑問，請參考任何一本線性代數(shù)方面的書籍。如階矩陣的行列式不等于0，即時，稱矩陣非奇異，否則奇異。如果限定線性方程組的系數(shù)矩陣為方陣，當非奇異，則線性方程有惟一解。l對N階方陣，MATLAB調(diào)用函數(shù)得到矩陣行列式，下面是求階方陣行列式的例子。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3.2 矩陣的逆l若系數(shù)矩

11、陣非奇異，即，則線性方程組有惟一解，該惟一解為，其中為的逆矩陣。對非奇異矩陣，其逆矩陣是滿足以下條件的矩陣：（I為單位矩陣）。lMATLAB調(diào)用函數(shù)inv(A)求的逆矩陣，以下是逆矩陣應(yīng)用的一些例子，這些例子也驗證了前面給出的關(guān)于逆矩陣的性質(zhì)。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3.3 矩陣的范數(shù)l如果將矩陣看作一個線性變換系統(tǒng)，則矩陣范數(shù)從整體上描述了系統(tǒng)的放大作用，矩陣范數(shù)的定義如下：。其中為列向量，為向量的范數(shù)。l對矩陣，常用的范數(shù)有以下幾種。l1-范數(shù)，也稱為列和范數(shù)。l2-范數(shù)，為A的奇異值。l范數(shù)，也稱為行和范數(shù)。lF-范數(shù)，。lMATLAB利用函數(shù)norm計算范數(shù)

12、，函數(shù)norm的調(diào)用格式為：lnorm(A, opt)技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3.4 矩陣的條件數(shù)l7.3.2小節(jié)中提到，當線性方程組系數(shù)矩陣非奇異時，線性方程有唯一惟一解，且該解為。那么一個很容易想到的問題就是：當系數(shù)矩陣接近奇異時，例如很小，利用求解線性方程組會有什么樣的問題？l這里暫且撇開上面提出的問題，而首先考慮以下問題：即如何衡量是大還是小的問題。對這一問題，顯然需要確定一個參考數(shù)量以確定是大還是小，這一參考數(shù)量稱為矩陣的范數(shù)，用表示。當成立時，則認為小，矩陣是奇異的。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.3.5 矩陣的秩l對7.1.2節(jié)給出

13、的線性方程組求解問題。根據(jù)、的不同取值，線性方程組可以分為以下三類：l ，為超定方程；l ，為恰定方程；l ，為欠定方程。MNMNMN技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4 矩陣分解l矩陣分解是矩陣理論的重要內(nèi)容，在信號處理、自動控制等眾多領(lǐng)域中有著非常廣泛的應(yīng)用。矩陣分解通過將復(fù)雜矩陣表示成形式簡單或具有良好數(shù)學(xué)性質(zhì)（統(tǒng)稱為簡單矩陣）的組合，以便于理論分析或數(shù)值計算。通常矩陣分解將復(fù)雜矩陣分解為幾個簡單矩陣的乘積。在很多算法研究中，撲惴奈榷院涂燜儺緣齲嗉燙岢雋爍髦志卣蠓紙夥椒縑卣鞣紙猓EVD）、Schur分解、Cholesky分解、LU分解、QR分解、SVD分解等，技術(shù)凝聚實

14、力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.1 特征分解技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.2 Schur分解技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.3 Cholesky分解l對任意正定矩陣 的Cholesky分解（柯利分解）。Cholesky分解在理論分析、數(shù)值計算等方面有重要應(yīng)用。lMATLAB提供函數(shù)chol和cholinc用于正定矩陣的Cholesky分解。Chol常用的調(diào)用格式有以下兩種：lR = chol(X)lR,p = chol(X)l如果X為正定矩陣，則返回上三角矩陣R，此時p=0，表示函數(shù)調(diào)用成功；如果X非正定，則前一種調(diào)用會產(chǎn)生錯誤信

15、息，后一種調(diào)用不會產(chǎn)生錯誤，而是將p設(shè)為正整數(shù)，用戶可以通過查詢p的狀態(tài)檢查Cholesky分解是否成功，也可以依此判斷X的正定性。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.4 LU分解技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.5 QR分解技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.4.6 SVD分解技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.5 矩陣函數(shù)l矩陣函數(shù)是矩陣理論的重要概念，在信號處理、系統(tǒng)控制等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。如果將矩陣看作一個線性系統(tǒng)，那么矩陣函數(shù)可以看作系統(tǒng)的級聯(lián)、合成。利用矩陣函數(shù)的概念可以得到很多工程應(yīng)用中有用的工具。技術(shù)凝

16、聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.5.1 矩陣函數(shù)的概念技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.5.2 常用矩陣函數(shù)技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.5.3 自定義矩陣函數(shù)l用戶除了可以使用MATLAB內(nèi)建的矩陣函數(shù)之外，還可以利用MATLAB提供的funm函數(shù)，創(chuàng)建自定義的矩陣函數(shù)。lfunm函數(shù)以矩陣和自定義函數(shù)句柄作為輸入?yún)?shù)，其一般調(diào)用格式為：lF = funm(A,fun)lF = funm(A, fun, options)lF, exitflag = funm(.)l其中fun為函數(shù)句柄；option用于計算過程的控制、結(jié)果顯示等，這里不做

17、具體介紹；exitflag保存了函數(shù)結(jié)束的信息，若exitflag = 0，則函數(shù)計算成功；若exitflag = 1，則表明計算過程不收斂，但結(jié)果也有可能是正確的。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.6 稀疏矩陣l實際工程中的數(shù)據(jù)處理任務(wù)面臨大容量數(shù)據(jù)的挑戰(zhàn)，當涉及大型矩陣的數(shù)值計算時，一個重要的問題是存儲和執(zhí)行效率的問題。稀疏矩陣的概念，正是為了解決這一問題而提出的。從數(shù)學(xué)性質(zhì)上看，稀疏矩陣與一般的矩陣沒有差別，但在數(shù)據(jù)存儲和執(zhí)行算法上有著很大的不同。本節(jié)在講述稀疏矩陣時，經(jīng)常與全矩陣作對比，使讀者對稀疏矩陣的概念和使用方法有一個更加透徹的理解。l本節(jié)將一般的矩陣稱為全矩陣

18、（Full Matrix），以區(qū)別于稀疏矩陣。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.6.1 稀疏矩陣與全矩陣l稀疏矩陣是這樣一類矩陣，其元素僅有少數(shù)不為0，而大量的元素為0。稀疏矩陣的這種性質(zhì)使得MATLAB可以對其采用不同于全矩陣的存儲方式和執(zhí)行算法以提高效率。lMATLAB利用二維數(shù)組存儲全矩陣，對零元、非零元不作區(qū)分，統(tǒng)一采用浮點數(shù)；但在存儲稀疏矩陣時只存儲非零元及其對應(yīng)的索引值（整型）。顯然，這種存儲方式能夠大大提高稀疏矩陣的存儲效率，看下面的例子。技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.6.2 創(chuàng)建稀疏矩陣l除了通過將全矩陣轉(zhuǎn)換為稀疏矩陣外，MATLAB還提供了一系列函數(shù)用于創(chuàng)建稀疏矩陣，如表所示。稀疏矩陣創(chuàng)建函數(shù)函 數(shù) 名說 明sparse生成一般的稀疏矩陣speye生成單位稀疏矩陣sprand生成均勻分布隨機稀疏矩陣sprandn生成正態(tài)分布隨機稀疏矩陣sprandsym生成對稱隨機稀疏矩陣spdiags生成對角稀疏矩陣技術(shù)凝聚實力技術(shù)凝聚實力專業(yè)創(chuàng)新出版專業(yè)創(chuàng)新出版7.6.3 稀疏矩陣操作l一般地，能用于全矩陣的操作函數(shù)對稀疏矩陣同樣有效，并且具有相似的操作規(guī)則，現(xiàn)總結(jié)如下：l下標尋訪賦值函數(shù)；l用于矩陣拼接的函數(shù)，如cat，horzcat、vertcat、repmat，若輸入?yún)?shù)中有一個為稀疏矩陣，則返回結(jié)果為稀疏矩