第6章第7節(jié)常用模擬低通濾波器特性

1、八、常用模擬低通濾波器特性將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器模擬濾波器 巴特沃斯 Butterworth 濾波器 切比雪夫 Chebyshev 濾波器 橢圓 Ellipse 濾波器 貝塞爾 Bessel 濾波器1、由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)2*()()()aaaHjHjHj( )()aasjHs Hs h(t)是實(shí)函數(shù)2()aHj( )aHs()()aaHjHj 將左半平面的的極點(diǎn)歸( )aHs將以虛軸為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)零點(diǎn)的任一半作為 的零點(diǎn)，虛軸上的零點(diǎn)一半歸( )aHs( )aHs由幅度平方函數(shù)得象限對(duì)稱(chēng)的s平面函數(shù)將 因式分解，得

2、到各零極點(diǎn)( )()aaHs Hs對(duì)比 和 ，確定增益常數(shù)()aHj( )aHs由零極點(diǎn)及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHs由確定的方法2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHs已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjss 7, 6ss 極點(diǎn)：零點(diǎn)： （二階）5sj 零點(diǎn)：5sj 7, 6ss 的極點(diǎn)：( )aHs設(shè)增益常數(shù)為K020(25)( )(7)(6)aKsHsss000( )()4asaHsHjK由，得2224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss2、

3、Butterworth 低通逼近幅度平方函數(shù)：221()1aNcHj當(dāng)2()1/2acHj時(shí)稱(chēng) 為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬c1( 0)20lg3()aacHjdBHjN為濾波器的階數(shù)c為通帶截止頻率1）幅度函數(shù)特點(diǎn)：221()1aNcHj20()1aHj 21()1/23caHjdB 3dB不變性c 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 c 過(guò)渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 st 當(dāng) （阻帶截止頻率）時(shí)，衰減 為阻帶最小衰減2Butterworth濾波器是一個(gè)全極點(diǎn)濾波器，其極點(diǎn)：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs Hssj1211222( 1)1,2,.,2kjN

4、NkccsjekN 2）幅度平方特性的極點(diǎn)分布： 極點(diǎn)在s平面呈象限對(duì)稱(chēng)，分布在Buttterworth圓上，共2N點(diǎn) 極點(diǎn)間的角度間隔為/ N rad 極點(diǎn)不落在虛軸上 N為奇數(shù)，實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)，實(shí)軸上無(wú)極點(diǎn)3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsss121221,2,.,kjNkcsekN 1 /ccrrad s 為歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)( )anHs去歸一化，得( )( )crcaanssHsHscrancsH4）濾波器的設(shè)計(jì)步驟：221()1apNpcHj120.10.1101101spk根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N：12ps確定技術(shù)指標(biāo)：120lg()apHj 由12

5、0.1110Npc得：220.1110Nsc同理：sspp令lglgspspkN 則：120.10.1101101Nps求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：11( )()anNkkHsss或者由N，直接查表得( )anHs( )aancsHsH其中技術(shù)指標(biāo) 給出或由下式求出：c110.12101Ncp 121221,2,.,kjNkcsekN 其中極點(diǎn)：去歸一化阻帶指標(biāo)有富裕210.12101Ncs 或通帶指標(biāo)有富裕 例：設(shè)計(jì)Butterworth數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。分別用沖激響應(yīng)不變法和雙線(xiàn)性變換法。0.20.3/

6、0.2 /ppTrad s /0.3 /ssTrad s 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1、用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：選T = 1 s/1.5spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.8846spspNkN 取110.121010.7032/Ncprad s a）確定參數(shù)用通帶技術(shù)指標(biāo)，使阻帶特性較好，改善混迭失真3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHsss234561( )1 3.

7、86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsHsHssssssc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化4）將 展成部分分式形式:( )aHs1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz變換成Butterworth數(shù)字濾波器

8、：2、用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)20.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spsp 120.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad s a）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無(wú)混迭問(wèn)題3）設(shè)計(jì)Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點(diǎn)（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek 661( )()cakkHss

9、sc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化( )aancsHsH112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz( )aHs4）將 變換成Butterworth數(shù)字濾波器：3、Chebyshev低通逼近N：濾波器的階數(shù)幅度平方函數(shù)：2221()1()aNcH

10、jC ：截止頻率，不一定為3dB帶寬c ，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大01 ：N階Chebyshev多項(xiàng)式( )NCx11cos(cos)1( )()1NNxxCxch Nch xx等波紋幅度特性單調(diào)增加 2()1/ 1caHj 1）幅度函數(shù)特點(diǎn)： 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0c 221()1aNcHjC N為偶數(shù)2( 0)1/ 1aHj N為奇數(shù)( 0)1aHj 通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏c(diǎn) 21/ 10 2）Chebyshev濾波器的三個(gè)參量： ：通帶截止頻率，給定c ：表征通帶內(nèi)波紋大小20.1111101scchNch10.121012max1min()20lg20lg 1()a

11、aHjHjN：濾波器階數(shù)，等于通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高s為阻帶截止頻率3）幅度平方特性的極點(diǎn)分布：2/221()( )()1aaas jNcHjHs HssCj1,2,.,2kkksjkN 22221()()kkccabsin(21)2kcakN 21111112NNa1112NNbcos(21)2kcbkN 1,2,.,2kkksjkN 4）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )()aNkkKHsss12NcNKsin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN其中：5）濾波器的設(shè)計(jì)步驟:10.12101ssp1111()schkNch1ppp歸

12、一化：12ps確定技術(shù)指標(biāo)：根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出濾波器階數(shù)N及 ：210.1110.1101101k其中：111( )2()anNNkkHsss( )aanpsHsH21111112NNa1112NNb或者由N和 ，直接查表得( )anHs1其中極點(diǎn)由下式求出：求出歸一化系統(tǒng)函數(shù)：去歸一化sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 1,2,.,kN例：用雙線(xiàn)性變換法設(shè)計(jì)Chebyshev數(shù)字低通濾波器，要求在頻率低于 rad的通帶內(nèi)幅度特性下降小于1dB。在頻率 到 之間的阻帶內(nèi)，衰減大于15dB。0.20.320.65 /2pptgrad sT 21.019 /2sstgrad sT

13、 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：0.65/cprad s 20.11111013.01414scchNNch 取10.11010.5088 a）確定參數(shù)3）設(shè)計(jì)Chebyshev模擬低通濾波器b) 求左半平面極點(diǎn)sin(21)cos(21)22kccsakjbkNN 21114.17021110.36462NNa1111.06442NNb0.09070.63901,40.21890.26472,3jkjkc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)220.04381(0.43780.1180)(0.18140.4166)ssss44311( )2()cakkHsssc) 去歸一化2340.2756( )0.27560.74261.45390.9528anHsssss( )aancsHsH220.04381(043780.1180)(0.18140.4166)ssssb) 由N=4， 直接查表得11dB或者：112 11( )( )azsTzH zHs1 412120.001836(1)(1 1.49960.8482) (1 1.55480.6493)zzzzz( )aHs4）將 變換成Chebyshev數(shù)字濾波器：將數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)小結(jié)：利用