D112正項級數(shù)審斂法ppt課件

1、二、比值審斂法二、比值審斂法 三、根值審斂法三、根值審斂法 2 2一、比較審斂法一、比較審斂法正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)的審斂法 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第十一章 四、積分審斂法四、積分審斂法 定義定義假設(shè),0nu1nnu定理定理 1. 正項級數(shù)正項級數(shù)1nnu收斂部分和序列nS),2, 1(n有界 .假設(shè)1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù) .單調(diào)遞增, 收斂 , 也收斂.證證: “ ”“ ”機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,Zn,nnvku 都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設(shè),1nnu1nnv且

2、存在,ZN對一切,Nn 有(1) 若強級數(shù)1nnv則弱級數(shù)1nnu(2) 若弱級數(shù)1nnu則強級數(shù)1nnv證證:設(shè)對一切和令nSn則有收斂 ,也收斂 ;發(fā)散 ,也發(fā)散 .分別表示弱級數(shù)和強級數(shù)的部分和, 則有nnvku 是兩個正項級數(shù), (常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (1) 若強級數(shù)1nnv則有nn lim因此對一切,Zn有nS由定理 1 可知,1nnu則有(2) 若弱級數(shù)1nnu,limnnS因而,limnn這說明強級數(shù)1nnv也發(fā)散 .knSnk也收斂 .發(fā)散,收斂,弱級數(shù)弱級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例

3、1. 討論討論 p 級數(shù)級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 1) 假假設(shè)設(shè), 1p因為對一切,Zn而調(diào)和級數(shù)11nn由比較審斂法可知 p 級數(shù)11npnn1發(fā)散 .發(fā)散 ,pn1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 , 1p因為當(dāng)nxn1,11ppxn故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數(shù)收斂 , 由比較審斂法知 p 級數(shù)收斂 .時,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 假設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 調(diào)和級

4、數(shù)與 p 級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在,ZN對一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收斂則nnu;1發(fā)散則nnu機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 討論級數(shù)的斂散性1;) 1(1) 1 (nnn解解:2) 1(1) 1(1nnn11n而111nn發(fā)散，根據(jù)比較審斂法可知, 級數(shù)(1)發(fā)散 .例例2.2.機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnn1sin1)2(1231111sin10nnnnn而1231nn收斂， 根據(jù)比較審斂法可知, 級數(shù)(2)收斂 .例例3. 若級數(shù)若級數(shù)11nnnnba 與均收斂 , 且nnnbca, ),2, 1(n證明級數(shù)1nnc收斂 .證

5、證: nnnnabac0, ),2,1(n則由題設(shè))(1nnnab 收斂)(1nnnac 收斂1nnc)(1nnnnaac)(1nnnac 1nna收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1nnu1nnv,limlvunnn則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng) l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng) l = ,1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu證證: 據(jù)極限定義據(jù)極限定義, 0對,ZN存在lnnvu)(l設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1) 當(dāng) 0 l 時,時當(dāng)Nn 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnnvluvl)()(,

6、 l取由定理 2 可知與1nnu1nnv同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn利用(3) 當(dāng)l = 時,ZN存在,時當(dāng)Nn ,1nnvu即nnvu 由定理2可知, 假設(shè)1nnv發(fā)散 , ;1也收斂則nnu(1) 當(dāng)0 l 0級數(shù)收斂，p0 級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .11ln)1() 1 (1npnnnnnnnnnn211121212)(n級數(shù)收斂 .11ln)1(0)2(nnnnp121ln)1(1nnnp12)1 (112nnpnnp112112ppn)(nnnnuu1lim由定理定理4 . 比值審斂法比值審斂法 ( Dalembert 判別法判別法

7、)設(shè) nu為正項級數(shù), 且,lim1nnnuu那么(1) 當(dāng)1(2) 當(dāng)1證證: (1),1時當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂 ,.收斂nu時, 級數(shù)收斂 ;或時, 級數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,1時或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因而所以級數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(2) 當(dāng)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: : 當(dāng)當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如例如, p , p 級數(shù)級數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但, 1p級數(shù)收斂

8、;, 1p級數(shù)發(fā)散 .從而機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 limn例例6. 討論級數(shù)討論級數(shù))0(11xxnnn的斂散性 .解解: nnnuu1limnxn) 1( 1nxnx根據(jù)定理4可知:,10時當(dāng) x級數(shù)收斂 ;,1時當(dāng) x級數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散級數(shù)nn,1時當(dāng) x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7:判別下列級數(shù)的斂散性:;2) !() 1 (122nnn;2cos)2(132nnnn. )0,0()3(1sanansn解解: (1) 據(jù)比值判別法, 級數(shù)發(fā)散 .據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 nnnuu1lim2222) !(2) 1(2) ! )

9、1(limnnnnn2lim nnnnnnunn22cos0)2(32nnnuu1lim121221lim1nnnnn收斂1nnu用比值判別法可知:時收斂 ;時, 與 p 級數(shù)比較可知時收斂;1s時發(fā)散.1s1a時發(fā)散.1a1a機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 . )0,0()3(1sanansnnnnuu1limaannanssnn) 1(lim1對任意給定的正數(shù) ,limnnnu定理定理5. 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)設(shè) 1nnu為正項級,limnnnu那么;,1) 1(級數(shù)收斂時當(dāng) .,1)2(級數(shù)發(fā)散或當(dāng)證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時當(dāng),Nn 即n

10、nnu)()(分別利用上述不等式的左,右部分, 可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù), 且機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如 , p 級數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n說明說明 :,1pnnu 但, 1p級數(shù)收斂 ;, 1p級數(shù)發(fā)散 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例8. 證明級數(shù)證明級數(shù)11nnn收斂于S ,似代替和 S 時所產(chǎn)生的誤差 . 解解: : nnnnnu1n1)(0n由定理5可知該級數(shù)收斂 .令,nnSSr則所求誤差為21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111

11、n并估計以部分和 Sn 近 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例9:判別下列級數(shù)的斂散性:;1121) 1 (21nnnn解解: (1) 據(jù)根值判別法, 級數(shù)發(fā)散 .據(jù)比較判別法，級數(shù)收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 收斂1nnunnnulim121121limennn1) 1(5)2(nnnn (2)nnnulim1414limnnnnnnnunn4) 1(50定理定理6. （積分判別法）（積分判別法） 設(shè) 1nnu上是機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ), 1 )(在xf非負(fù)可積且遞減的連續(xù)函數(shù)，記, 3, 2, 1),(nnfun則級數(shù)與廣義積分的收斂性相同.1d)(xxf推

12、論推論. )1(),)(為常數(shù)上非負(fù)單調(diào)遞減連續(xù)在bbxf, 3, 2, 1),(nnfun則級數(shù)1nnu與廣義積分bxxfd)(的收斂性相同.例例10. 討論討論 p 級數(shù)級數(shù)pppn131211(常數(shù) p 0)的斂散性. 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,), 1 1)(上非負(fù)遞減連續(xù)在pxxf廣義積分 1dpxx 時發(fā)散 .當(dāng) p 1 時收斂 ; p1 11npn則p 級數(shù)當(dāng) p 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .例例11. 討論討論 級數(shù)級數(shù)的斂散性. 解解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,), 2)(ln1)(上非負(fù)連續(xù)在pxxxf廣義積分 2)(lndpxxx 時

13、發(fā)散 .當(dāng) p 1 時收斂 ; p1 則級數(shù)當(dāng) p 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .2)(ln1npnnpxppxxxxpxxf2211)(ln)(ln)(ln)()(0)(lnln12ppexxxxp時遞減，當(dāng)故pexxf)(2)(ln1npnn內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性2. 利用正項級數(shù)審斂法必要條件0limnnu不滿足發(fā) 散滿足比值審斂法 limn1nunu根值審斂法nnnulim1收 斂發(fā) 散1不定 比較審斂法用它法判別積分判別法部分和極限1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1.設(shè)正項級數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: 反之不成立. 例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .目錄 上頁 下頁 返回 完畢 練習(xí)練習(xí);) 1ln(1) 1 (1nn2. 判別級數(shù)的斂散性判別級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: (1),) 1ln(nnnn1) 1l