將軍飲馬問題66883

1、將軍飲馬問題起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫。有一天，有位將軍不遠(yuǎn)千里專程前來向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍從A地出發(fā)到河邊飲馬，然后再到B地軍營視察，顯然有許多走法.問走什么樣的路線最短呢？精通數(shù)理的海倫稍加思索，便作了完善的回 答.這個(gè)問題后來被人們稱作“將軍飲馬”問題.讓我們來看看數(shù)學(xué)家是怎樣解決的。海倫發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)求折線和 最短的數(shù)學(xué)問題。根據(jù)公理 1:連接兩點(diǎn)的所有線中，直線段最短.只 知道兩點(diǎn)間直線段最短，那么顯然要把折線變成直線再解。 如果直接 連AB,與l不會(huì)相交，怎么辦呢？當(dāng) A、B位于l的異側(cè)時(shí)，就有交 點(diǎn)了。于是我們就希望在l的另一側(cè)找一點(diǎn)

2、A,使得連A B與l相交于P點(diǎn)后（這時(shí)A P+PB最短）線段A P與AP 一樣長.由對 稱的知識(shí)可知道，A關(guān)于l的對稱點(diǎn)就有資格扮演 A的角色。解:如圖1先作A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A ,連接A B 與l相交于P點(diǎn)，則AP + PB就最小.那么這樣作出 的AP+PB是否真的最小呢？要證明它只需要在l上任 取一點(diǎn)P,證明AP +P AAP+PB就行了。這 點(diǎn)好證明：事實(shí)上因?yàn)锳、A關(guān)于l對稱，有AP =A P、AP =A P,又由公理2:三角形的兩邊之和大于第三邊.AP +P B=A P +P BA B = A P+PB=AP+PB.原來海倫解決本問題時(shí)，是利用作對稱點(diǎn)把折線問題轉(zhuǎn)化成直線 問題求解的。

3、后來這一方法已形成了思想，它在解決許多問題中都在 起作用.現(xiàn)在人們把凡是用對稱點(diǎn)來實(shí)現(xiàn)解題的思想方法叫對稱原 理。例題分析：1、已知A, B兩點(diǎn)在MN同側(cè)，如圖所示，在MN上求一點(diǎn)P,使：I PA- PB| 最大連接BA并延長交 MN于P | PA-PB| =|AB|在MN上再任意取一點(diǎn) P三角形PAB中 | P十PB |AB=| PA 一PB |2、兩點(diǎn)在直線的異側(cè)如何做直線上一點(diǎn)是其到兩點(diǎn)之差最短 作線段AB的中垂線，交直線l于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。止匕時(shí)| PA PB | =03、直線L及異側(cè)兩點(diǎn)A B求作直線L上一點(diǎn)P,使P與A B兩點(diǎn)距 離之差最大作A點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)A1,連接A1B,

4、并延長交L的一點(diǎn)就是所求 的P點(diǎn)。這樣就有：PA=PA1 , P 點(diǎn)與 A, B 的差 PA PB=PA1-PB=A1B 。下面證明A1B是二者差的最大值。首先在L上隨便取一個(gè)不同于P點(diǎn)的點(diǎn)P1,這樣P1A1B就構(gòu)成一三角形，且 P1A1=P1A。根據(jù)三角形的性質(zhì)，二邊之差小于第三邊，所以有:P1A1 P1BA1B,即：P1A-P1B A1BO這就說明除了 P點(diǎn)外，任何一個(gè)點(diǎn)與A, B的距離差都小于A1B。反過來也說明P點(diǎn)與A,B的距離差的最大值是A1B。所以，P點(diǎn)就是所求的一點(diǎn).4、在MN上求作一點(diǎn)，使 PA+PB最短做B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B連接AP交MN于PP為所求點(diǎn)在mn上另取一點(diǎn)P不和P重合.連接AP P B利用三角行二邊之和大于第三邊和得AP最小5、已知A, B兩點(diǎn)在直