曲面的第二基本形式在曲面論中的作用

1、曲面的第二基本形式在曲面論中的作用1 引言 為了研究曲面在空間中的彎曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面與切平面的有 向距離的兩倍，從而刻畫了曲面離開切平面的彎曲程度，即曲面在空間中的彎曲性，并且與曲面的 第一基本形式共同構(gòu)成了曲面論的基本定理從而確定了曲面一點(diǎn)附近的結(jié)構(gòu)與形狀由此可見曲面的第二基本形式在曲面論中的作用舉足輕重，同時(shí)由它引出的曲面的幾何性質(zhì)又 是曲面論中的難點(diǎn)本文將主要通過對(duì)曲面的各種曲率（如法曲率，測(cè)地曲率，主曲率等） ，曲面上 的各種特殊曲線（如漸近線，曲率線等）和曲線網(wǎng)（如曲率網(wǎng)，共軛網(wǎng)等） ，曲面上點(diǎn)的類型（如橢 圓點(diǎn)，雙曲點(diǎn)等）等內(nèi)容的討論舉例來闡述曲面的第

2、二基本形式在曲面論中的作用2 曲面的第二基本形式2.1 定義曲面的第二基本形式C2 類曲面 S:rr rr u,v ，曲線 （C）: rr u s ,v srr s （ s為自然參數(shù)）為 S上過一固定點(diǎn) P的曲線， 為 S在P點(diǎn)的切平面， nr 為曲面在 P點(diǎn)的單位法向量，則nr rr&ds2 nr rruudu2 2nr rruvdudv nr rrvvdv2（）令rrrrrLruun ， Mruvn ， Nrvvn（）則（）式變?yōu)閞2rr2r22nd2rnd2rLdu22Mdudv Ndv2（）稱之為曲面的第二基本形式，它的系數(shù)L、M 、 N稱為曲面的第二類基本量1(P81 83)

3、它就近似等于曲面到切平面有向距離的兩倍此外，對(duì)關(guān)系式 nr drr 0 微分得r r r 2rdn dr n d r 0所以曲面的第二基本形式也可寫為r 2rr r n d r dn dr 般來說曲面第二基本形式的這種表達(dá)方式主要應(yīng)用于曲面相關(guān)性質(zhì)的證明2.2 計(jì)算曲面的第二基本形式7由于曲面的單位法向量rvEGF2代入( 2)中得uu u v uu n EG F 2 ，uv nuv u vF2EGvvvv u vnEG F 2所以根據(jù)以上公式來計(jì)算曲面的第二基本形式1 計(jì)算球面 r Rcos cos ,Rcossin,Rsin的第二基本形式解 球面方程為 rrRcos cos ,Rcos s

4、in ,Rsin，所以有Rcos sin ,Rcos cos ,0 ， rRsin cos , Rsin sin ,Rcos于是得Err rr22R cos，F(xiàn)r r r rr r0， G r rR2所以rrrrrncos cos,cos sin,sinEGF2又r rRcoscos ,Rcos sin,0r rRsinsin , Rsin cos ,0r rRcoscos ,Rcos sin, Rsin所以rr2rrrrLrnRcos ，Mrn 0 ， NrnR因而IIRcos2R3 法曲率3.1 法曲率設(shè)(C):rr u s ,v srr s 為曲面 S上經(jīng)過一固定點(diǎn) P的一條曲線 k為曲

5、線(C)在P點(diǎn)的曲率， 為 r 和 nr 間的夾角 0 ，則有kcos22II Ldu2 2Mdudv Ndv 222I Edu2 2Fdudv Gdv2對(duì)于曲面上的法截線 C0 有n ， 0 0 或 ， cos所以它的曲率k0III于是我們將knIII22Ldu 2 2Mdudv Ndv2Edu2 2Fdudv Gdv2稱之為曲面在一點(diǎn)沿所取方向的法曲率2( P158 159)求得所以時(shí)，時(shí)，時(shí)，knknkn例 求拋物面k0 ，法截面朝切面的正向彎曲；k0 ，法截面朝切面的負(fù)向彎曲；k0解 拋物面方程為例2利用法曲率公式證明對(duì)于球面 r0 ，法曲率和法截線曲率都等于零ax2kn2by2 在

6、0,0 點(diǎn)和方向du:dv 的法曲率x rx 1 ，a，kn1x,y,2 axxyIIby20， G ry ry 10 ， N n ryy badx2dx2 dy 2bdy2III 證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、二類基本量成比例Rcosvcosu,Rcosvsinu,Rsinu 可求得2 2 22 2 2 2 2I R2cos2 vdu2 R2dv2 ， IIRcos2 vdu2 Rdv2所以球面上任意一點(diǎn) P u,v 沿任意方向 du:dv 的法曲率為knIIIII knILdu 2 2Mdudv Ndv222Edu2 2Fdudv Gdv22RL E du2 2 RMF dudv2RN

7、 G dv2 0 又因?yàn)閷?duì)于任一方向 d 成立，故有RLE0 du1,dv0RMF0 dudv1RNG0 du0,dv1所以EFGRLMN3.3 梅尼埃( Meusnier )定理從()式和()式得kn kcosRn 為曲線 C0 的曲率半徑，則11若設(shè) R， Rn， R 為曲線 C 的曲率半徑，kknR Rn cos上式的幾何意義就是 :梅尼埃( Meusnier )定理曲面曲線C 在給定點(diǎn) P 的曲率中心 C 就是與曲線C 具有共同切線的法截線C0 上同一點(diǎn) P的曲率中心 C0 在曲線 C 的密切平面上的投影1(P90) 曲面上的各種曲率4.1 主曲率及歐拉 (Euler) 公式 既然曲面

8、上曲線的曲率都可以轉(zhuǎn)化為法曲率來討論，那么我們有必要對(duì)法曲率隨方向變化的規(guī) 律進(jìn)行研究定義 在曲面上一點(diǎn) P ，法曲率的每一個(gè)逗留值稱為曲面在這一點(diǎn)的主曲率，而對(duì)應(yīng)主曲率的方向稱為曲面在此點(diǎn)的一個(gè)主方向 2( P164)主方向滿足方程22EM FM du2 EN GL dudv FN GM dv2 0 主曲率滿足方程EG F2 kN2LG 2MF NE kN LN M 20曲面在非臍點(diǎn)處，由于主曲率方程的判別式，所以它有兩個(gè)不相等的實(shí)根，因而曲面上非臍點(diǎn)處總有兩個(gè)主方向在臍點(diǎn)處，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向羅德里格（ Rodrigues ）定理 若方向（ d）是主方向，當(dāng)且僅當(dāng)dnkn

9、dr ，kn為曲面沿（ d）的法曲率 1（ P97）歐拉 （Euler） 公式 :22kn k1 cosk2 sin是任意方向（）與曲線的夾角1( P100)歐拉 （Euler） 公式告訴我們只要知道主方向，任何方向（）的法曲率都可以由方向（）和曲線的夾角 來確定而主曲率與法曲率有著下面的關(guān)系 :命題 !（ P101） 曲面上一點(diǎn)（非臍點(diǎn)）的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的法曲率中的最大值和最小 值22例 1 確定拋物面 z a x2 y2 在 0,0 點(diǎn)的主曲率解 拋物面的方程 rr x,y,a x2 y2 可求得在 0,0 處E 1， F 0 ，G 1 ；L2a，M 0， N 2a把第一、二基

10、本量代入主曲率方程（）得2akN220解得k1k22a例 2 證明在曲面上給定點(diǎn)處，沿相互成為直角的方向的法曲率之為常數(shù) 2H 證明 設(shè)該點(diǎn)相互成直角方向的法曲率分別為kn和 kn ，則由歐拉公式得22kn k1cosk2 sin所以kn k1 cos2k2 sin 2k1sin221k2 cos2knknk1 k22H 4.2 高斯 (Gauss) 曲率和平均曲率若 k1 ， k2 為曲面上一點(diǎn)的兩個(gè)主曲率，則它們的乘積k1k2 稱之為曲面在這一點(diǎn)的高斯曲率Gauss)，通常以 K 表示，它們的平均數(shù)1(k1 k2) 稱之為曲面在這一點(diǎn)的平均曲率，通常以H 表2示 2( P174)根據(jù)主曲率

11、的方程()利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得k1k2LN M 2F2EG12(k1k2)LG 2MF NE2 EG F 208因而主曲率的方程也可以表示為kN22HkN0例 求正螺面 r u cosv,u sin v, av 的高斯曲率和平均曲率解 由正螺面方程 ru cosv, u sin v, av 得0，G因此Ln0，Ma，N n rvv 0例 2 如果曲面的平均曲率為零，LN M 2EG F 2LG 2MF2a22uaNE22 EG F 202 u2a20則漸近線網(wǎng)構(gòu)成正交網(wǎng)證明 因?yàn)榍娴钠骄蔐G 2MF NEH2 EG F 2所以LG 2MF NE 0設(shè)曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為漸近線網(wǎng)，則

12、LN0于是M F 0 ，即 F 0( 若 M 0 ，則曲面上的點(diǎn)為臍點(diǎn) ) 所以曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為正交網(wǎng)，即漸近線構(gòu)成正交網(wǎng)5 曲面上點(diǎn)的類型5.1 杜邦 (Dupin) 指標(biāo)線為了研究曲面上一點(diǎn) P 處法截線的法曲率的關(guān)系， 在點(diǎn) P的切平面上取點(diǎn) P為原點(diǎn)，坐標(biāo)曲線r r 1在 P點(diǎn)的切向量 ru和 rv 為基向量， kn為對(duì)應(yīng)方向 (d )的法曲率為，為法曲率半徑的絕對(duì)值， 過kn點(diǎn)方向( d )畫線段 PN ，使其長(zhǎng)度等于 1 ，對(duì)于切平面上所有方向，點(diǎn) N 的軌跡稱為曲面在點(diǎn) P的杜邦(Dupin) 指標(biāo)線 1(P91 92)杜邦 (Dupin) 指標(biāo)線的方程為22Ldx2 2Mdxdy

13、Ndy215.2 曲面上點(diǎn)的分類利用杜邦 (Dupin) 指標(biāo)線可以對(duì)曲面上的點(diǎn)進(jìn)行分類，同時(shí)也可以通過一點(diǎn)的高斯曲率 K 來對(duì) 曲面上的點(diǎn)進(jìn)行分類 (如表 52) 3(P64)表 5 2類型LN F 2K杜邦 (Dupin) 指標(biāo)線橢圓點(diǎn)>0>0橢圓雙曲點(diǎn)<0<0雙曲線拋 物 點(diǎn)00拋物線EFG臍點(diǎn):，其中圓點(diǎn) : L,M,N 0,0,0 ，平點(diǎn) : L M N 0LMNr 3 2例 求曲面 r v3,u2,u v 上的拋物點(diǎn)的軌跡r 3 2解 由 r v3,u2,u v 得16E 4u2 1， F1， G 9v4 12L 6v2 ， M 0 ， N 12uvLNM2

14、72uv3EGF2則所求拋物線的軌跡為u0或v0rr1 v3,0, v ,rr2 0,u2,u6 曲面上的特殊曲線和曲線網(wǎng)1(P98)6.1 曲率線及曲率網(wǎng)定義 1 曲面上一曲線，如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向，則稱它為曲率線曲率線的微分方程為22dvdudvduEFG0 LMN1( P99)定義 2 兩族曲率線構(gòu)成的曲率線網(wǎng)稱為曲率網(wǎng) 1(P98)命題 1 在不含有臍點(diǎn)的曲面上，任何正規(guī)坐標(biāo)網(wǎng)都可以做成曲紋坐標(biāo)網(wǎng)命題 2 曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率網(wǎng)的充分必要條件是 F M 0 1(P99)例 確定螺旋面 x ucosv， y usinv， z cv 上的曲率線解 螺旋面方程 rr u cosv,u

15、sin v, cv 可以求得22E 1， F 0 ， G u2 c2L 0， M由曲率線的方程得化簡(jiǎn)得積分得所以曲率線為dv2lnln u u2 c2dudvdu222ucu2dvduu222ucc1，ln uc2vcv c2例 2 若曲面的充要條件是S1 ，S2沿著 (C)相交成固定角S1 ， S2交于一條曲線 (C) ，而且(C)是S1的一條曲率線， 則(C)也是 S2的曲率線證明 設(shè) S1 ，S2兩曲面的切向量為 n1， n2 ，相交曲線 (C):r r (u,v)是一條曲率線由羅德里格( Rodrigues )定理知 dn1 1dr 若 (C) 也是 S2 的曲率線的充分必要條件為dn

16、22dr1dr n2 n1 2dr100 0n1 n2常數(shù)rrn1 n2 cosn1,n2 常數(shù)n1,n20(常數(shù))沿 (C)曲面 S1， S2的夾角為定角6.2 漸近曲線及漸近網(wǎng)定義 1曲面 S上一固定點(diǎn) P 處，使0 的方向稱之為曲面在點(diǎn) P 的漸近方向 1( P93)定義 2若曲面 S 上一條曲線 C 的切方向都是漸近方向，則稱其為漸近曲線1(P93)定義 3如果曲面上的點(diǎn)都是雙曲點(diǎn)，則曲面上存在兩族漸近曲線，這兩族漸近曲線稱為曲面上的漸近網(wǎng)1( P94)漸近曲線的微分方程為22Ldu2 2Mdudv Ndv2 0 命題 1 曲面上一條曲線為漸近曲線的充要條件是或者它是一條直線，或者它在

17、每一點(diǎn)的密切平面與曲面的切平面重合2( P192)命題 2 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是 L N 0 1(94)例 1 求曲面 z xy2 的漸近曲線解 由求曲面方程為 rr x, y, xy2 得221 4x2y22x2 2 2 1 4x y y43E 1 y4 ， F 2xy3 ， GL 0，M22y2 2 ，N1 4x2y2 y2 由漸近曲線的微分方程得21 dy 0 與 dx dy 0 xy所以漸近曲線為2y c1 或 x y c2 例 2 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近曲線r r r r r證明 設(shè)曲線 C :r r s ，則主法線曲面 S:r r s t s 對(duì) s

18、 微分得rrs rr& s tr& srstr kr r rss 1 tk a s t s對(duì) t 微分得rrrts曲面 S 的法向量rrrrrNrrsrt1tks t s沿曲線 C ， t 0，所以rrrrN即N那么rrknkcoskcosN, kcos 02因此曲線 C 為漸近曲線6.3 共軛網(wǎng)定義 曲面 S上兩個(gè)方向 drr與 rr，若 dnr rr drr nr 0則稱它們?yōu)榛ハ喙曹椀姆较?若曲面 S 上兩族曲線的方向在每一點(diǎn)都是共軛方向，則這兩族曲線構(gòu)成共軛網(wǎng) 3(P69)命題 曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是共軛網(wǎng)的充要條件是 M 0 1( P95) 例 證明在曲面 z f(x) g(y) 上曲線族 x 常數(shù)