高二數(shù)學上 8.3 雙曲線及其標準方程優(yōu)秀教案

1、83雙曲線及其標準方程（一）教學目的：1使學生掌握雙曲線的定義，熟記雙曲線的標準方程，并能初步應用；2通過對雙曲線標準方程的推導，提高學生求動點軌跡方程的能力；3使學生初步會按特定條件求雙曲線的標準方程； 4使學生理解雙曲線與橢圓的聯(lián)系與區(qū)別以及特殊情況下的幾何圖形（射線、線段等）； 5培養(yǎng)學生發(fā)散思維的能力教學重點：雙曲線的定義、標準方程及其簡單應用教學難點：雙曲線標準方程的推導及待定系數(shù)法解二元二次方程組授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：  “雙曲線及其標準方程”是在講完了“圓的方程”、“橢圓及其標準方程”之后，學習又一類圓錐曲線

2、知識，也是中學解析幾何中學習的重要的內(nèi)容之一，它在社會生產(chǎn)、日常生活和科學技術止有著廣泛的應用，大綱明確要求學生必須熟練掌握 本節(jié)教材仍是繼續(xù)訓練學生用坐標法解決方程與曲線有關問題的重要內(nèi)容，對它的教學將幫助學生進一步熟悉和掌握求曲線方程的一般方法雙曲線的定義和標準方程是本節(jié)的基本知識，所以必須掌握 而掌握好雙曲線標準方程的推導過程又是理解和記憶標準方程的關鍵 應用雙曲線的有關知識解決數(shù)學問題和實際應用問題是培養(yǎng)學生基本技能和基本能力的必要環(huán)節(jié) 坐標法是中學數(shù)學學習中必須掌握的一個重要方法，它充分體現(xiàn)了化歸思想、數(shù)形結合思想，是用以解決實際問題的一個重要的數(shù)學工具 猶如前面學習的圓和圓錐曲線一

3、樣，雙曲線也是一種動點的軌跡 雙曲線和其方程分屬于幾何和代數(shù)這兩個分立的體系，但是通過直角坐標系人們又將它們很好地結合在一起 因此我們要充分利用這節(jié)教材對學生進行好思想教育雙曲線的標準方程，內(nèi)容可分為二個課時，第一課時內(nèi)容主要是雙曲線的定義和標準方程以及課本中的例1；第二課時主要是課本中的例2、例3及幾個變式例題 教學過程：一、復習引入： 1 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓）橢圓的形狀與兩定點間距離

4、、繩長有關2.橢圓標準方程：（1） （2） 其中二、講解新課：1雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點的距離的差的絕對值為常數(shù)（小于）的動點的軌跡叫雙曲線 即這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距概念中幾個容易忽略的地方：“平面內(nèi)”、“距離的差的絕對值”、“常數(shù)小于” 在同樣的差下，兩定點間距離較長，則所畫出的雙曲線的開口較開闊（兩條平行線） 兩定點間距離較短（大于定差），則所畫出的雙曲線的開口較狹窄（兩條射線） 雙曲線的形狀與兩定點間距離、定差有關2雙曲線的標準方程： 根據(jù)雙曲線的定義推導雙曲線的標準方程：推導標準方程的過程就是求曲線方程的過程，可根據(jù)求動點軌跡方程的步驟，求出雙曲線的標準

5、方程 過程如下：（1）建系設點；（2）列式；（3）變換；（4）化簡；（5）證明取過焦點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸 設P（）為雙曲線上的任意一點，雙曲線的焦距是2（）則 ，又設M與距離之差的絕對值等于2（常數(shù)），化簡，得：，由定義 令代入，得：，兩邊同除得：，此即為雙曲線的標準方程它所表示的雙曲線的焦點在軸上，焦點是，其中若坐標系的選取不同，可得到雙曲線的不同的方程，如焦點在軸上，則焦點是，將互換，得到，此也是雙曲線的標準方程3雙曲線的標準方程的特點： （1）雙曲線的標準方程有焦點在x軸上和焦點y軸上兩種： 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)； 焦點在軸上時雙曲線的標準方程為：(,)(

6、2)有關系式成立，且其中a與b的大小關系:可以為4.焦點的位置:從橢圓的標準方程不難看出橢圓的焦點位置可由方程中含字母、項的分母的大小來確定，分母大的項對應的字母所在的軸就是焦點所在的軸 而雙曲線是根據(jù)項的正負來判斷焦點所在的位置，即項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上三、講解范例：例1 判斷下列方程是否表示雙曲線. 方程 方程表示以（，）為端點，沿著軸正方向一條射線。 例2:已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.變題1:將條件改為雙曲線上一點P到F1,F2的距離的差等于6,如何?差

7、等于0,如何?變題2:將條件改為雙曲線上一點P到F1,F2的距離的差的絕對值等于10,如何?例3 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出三量的值 （）分析：雙曲線標準方程的格式：平方差，項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上，項的分母是；項的系數(shù)是正的，那么焦點在軸上，項的分母是解：是雙曲線， ； 是雙曲線， ；是雙曲線， ； 是雙曲線， 例4 已知雙曲線兩個焦點的坐標為，雙曲線上一點P到的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線標準方程 解：因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為(,) 所求雙曲線標準方程為 例5 一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s(1)爆炸點應在什么樣的曲線上？(

8、2)已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340 ms，求曲線的方程分析：解應用題的關鍵是建立數(shù)學模型 根據(jù)本題設和結論，注意到在A處聽到爆炸聲的時間比B處晚2s,這里聲速取同一個值 解：(1)由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以A、B為焦點的雙曲線上因為爆炸點離A處比離B處更遠，所以爆炸點應在靠近B處的一支上(2)如圖，建立直角坐標系，使A、B兩點在軸上，并且點O與線段AB的中點重合設爆炸點P的坐標為，則 |PA|PB|=340×2=680，即 2680，340又|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |P

9、A|PB|6800， 0所求雙曲線的方程為 （0）例2說明，利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線的方程，但不能確定爆炸點的準確位置如果再增設一個觀測點C，利用B、C(或A、C)兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置這是雙曲線的一個重要應用想一想，如果A、B兩處同時聽到爆炸聲，那么爆炸點應在什么樣的曲線上（爆炸點應在線段AB的中垂線上）點評：本例是培養(yǎng)學生應用雙曲線知識解決實際問題的一道典型題目，安排在此非常有利于強化學生“應用數(shù)學”的意識，后面對“想一想”的教學處理，有利于調(diào)動學生的學習主動

10、性和積極性，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力四、課堂練習：練1： a=4,b=3,焦點在x軸上;練2：雙曲線 上一點P到F1的距離為15,求一點P到F2的距離? 練3求與圓A和圓 B 都外切的圓的圓心P的軌跡方程。4求=4，=3，焦點在軸上的雙曲線的標準方程 5求=2，經(jīng)過點（2，-5），焦點在軸上的雙曲線的標準方程 6證明：橢圓與雙曲線的焦點相同 7若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則角所在象限是（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 8設雙曲線上的點P到點的距離為15，則P點到的距離是（ ）A7 B.23 C.5或23 D.7或23練習答案：5. ; 6 ;7. , ;8 .D.表示焦點在軸上的雙曲線,所以選D. 5. D. 7或23課后練習答案1判斷方程所表示的曲線。解：當時，即當時，是橢圓；當時，即當時，是雙曲線；2求焦點的坐標是（-6，0）、（6，0），并且經(jīng)過點A（-5，2）的雙曲線的標準方程。答案： 3求經(jīng)過點和，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程答案：4橢圓和雙曲線有相同的焦點，則實數(shù)的值是 （ ） A B C 5 D 9答案：B5已知是雙曲線的焦點，PQ是過焦點的弦，且PQ的傾斜角為600，那么的值為（答案： 416）6設是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上,且,則點P到軸的距離為