將軍飲馬問(wèn)題

1、第一講將擘飲馬問(wèn)題有、.學(xué)習(xí)要點(diǎn)與方法點(diǎn)撥一、主要內(nèi)容(1)將軍飲馬問(wèn)題的概念.(2)將軍飲馬問(wèn)題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用.(3)將軍飲馬問(wèn)題與勾股定理.二、本章重點(diǎn)掌握將軍飲馬問(wèn)題的概念和解題思路,能解決將軍飲馬問(wèn)題和一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題.菖課前預(yù)習(xí)軸對(duì)稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì).i模塊精講、將軍飲馬問(wèn)題的概念和根本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫.有一天,有位將軍不遠(yuǎn)千 里專程前來(lái)向海倫求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：如圖,有一位將軍從位于 A

2、點(diǎn)的軍營(yíng),返回位于 B點(diǎn)的家中,途中需要到達(dá)一條小河MNfe,讓馬去河里喝水.那么,該如何選擇路徑,才能使將軍回家的過(guò)程中,走過(guò)的路程最短？精通數(shù)理的海倫稍加思索,便作了完善的答復(fù).這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被人們稱作“將軍飲馬問(wèn)題,初一看,這個(gè)問(wèn)題好似沒有什么思路,那我們先把問(wèn)題的概念轉(zhuǎn)換一下.這個(gè)問(wèn)題中A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的同一側(cè),那么,如果 A點(diǎn)和B點(diǎn)在河MN的不同側(cè)呢？這時(shí)我們好似有一點(diǎn)眉目了,我們要利用的定理就是：兩點(diǎn)之間直線最短,先找線路再找點(diǎn).那我們?cè)倩氐阶铋_始時(shí)的問(wèn)題,是不是有了啟發(fā)呢？思路：為了找線路,可以利用軸對(duì)稱的原理,先做對(duì)稱,再轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系.例1,如圖,一匹馬從 S點(diǎn)出發(fā),

3、先去河 OP邊喝水,再去草地 OQ吃草,然后再回到 S點(diǎn).該如何選擇線路,使得經(jīng)過(guò)的總路程最短?頁(yè)眉內(nèi)容例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,A(2,3)、B(3,2) , M是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),N是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求 AN+NM+BIW最小值,并求出此時(shí) M N的坐標(biāo).思路：作對(duì)稱兩段折線一作一次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線三段折線一作兩次對(duì)稱一轉(zhuǎn)化折線連線段一最小值例 3, A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值,并求此時(shí)對(duì)應(yīng)的 m的值.運(yùn)用平移的性質(zhì)例4,A(4,1)、B(-3,-2),試在x軸上找一點(diǎn) C,是|AC-BC|最大,求出點(diǎn) C的坐

4、標(biāo)和這個(gè) 最大值.構(gòu)造三角形,運(yùn)用三角形的邊長(zhǎng)關(guān)系三、將軍飲馬問(wèn)題解題思路的歸納學(xué)習(xí)了幾個(gè)常見的例子,我們?cè)賮?lái)整理一下思路.首先明白幾個(gè)概念,動(dòng)點(diǎn)、定點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)一般就是題目中的所求點(diǎn),即那個(gè)不定的點(diǎn).定點(diǎn)即為題目中固定的點(diǎn).對(duì)稱的點(diǎn),作圖所得的點(diǎn),需要連線的點(diǎn).I1 .怎么對(duì)稱,作誰(shuí)的對(duì)稱？簡(jiǎn)單說(shuō)所有題目需要作對(duì)稱的點(diǎn),都是題目的定點(diǎn).或者說(shuō)只有定點(diǎn)才可以去作對(duì)稱的 .(不確定的點(diǎn)作對(duì)稱式?jīng)]有意義的)那么作誰(shuí)的對(duì)稱點(diǎn)?首先要明確關(guān)于對(duì)稱的對(duì)象肯定是一條線,而不是一個(gè)點(diǎn)那么是哪一條線? 一般而言都是動(dòng)點(diǎn)所在直線.2 .對(duì)稱完以后和誰(shuí)連接？一句話：和另外一個(gè)頂點(diǎn)相連 .絕對(duì)不能和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)相連

5、.明確一個(gè)概念：定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)也是一個(gè)定點(diǎn).3 .所求點(diǎn)怎么確定？首先一定要明白, 所求點(diǎn)最后反響在圖上一定是個(gè)交點(diǎn).實(shí)際就是我們 所畫直線和直線的交點(diǎn).4 .將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是.或者說(shuō)求最短距離是將軍飲馬中的最簡(jiǎn)單一類題目.根據(jù)將軍飲馬的根本模型可以拓 展出很多題型.根本原因是由于在作軸對(duì)稱過(guò)程中不但是作了點(diǎn)的對(duì)稱,還作了邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱！ 或者說(shuō)邊長(zhǎng)和角度的對(duì)稱才是最關(guān)鍵 .四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖,將軍的軍營(yíng)在 A處,與河岸的距離 OA=4km將軍的家在 B處.且QA=7km QB=8knp他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水,然后再回到家中,求他下班回家要走的

6、最短路程.O小河PAQ例6,如圖,/ POQ= 20° , A為OQ±的點(diǎn),B為OP上的點(diǎn),且 OA=1, OB=2在OB上取點(diǎn)Ai ,在OQ±取點(diǎn) Aa ,求AA + AA + A2B的最小值.例7, / AOB = 45° , P是/AOB內(nèi)一點(diǎn),PO = 10, Q R分別是 OA OB上的動(dòng)點(diǎn),求 PQRW 長(zhǎng)的最小值.五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖,在等邊 ABC中,AB=6, AD± BC, E是AC上的一點(diǎn),M是AD上的一點(diǎn),且 AE=2求EM+EC勺最小值.例8圖例9圖例9,如圖,在銳角 ABC中,AB=42, / B

7、AC= 45° , / BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, M N分另 是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn),那么 BM+MN1最小值是 .例10,如圖,正方形 ABCM邊長(zhǎng)為8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn), DW MN41 最小值為.例10圖例11圖例11,在邊長(zhǎng)為2 cm的正方形ABCM,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn),點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),連接PB PQ那么 PBQ周長(zhǎng)的最小值為 cm例12,一次函數(shù)y = kx + b的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A(2,0) , B(0,4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè) OA AB的中點(diǎn)分別為 C D, P為OB上一動(dòng)點(diǎn),求PC

8、+ PD的最小值, 并求取得最小值時(shí) P點(diǎn)坐標(biāo).y八例13,如圖,在坐標(biāo)系 xOy中,有一條河, 河岸分別為x軸和直線MN直線MN y軸的P交點(diǎn)為A(0,2) , P、Q兩地位于河的兩岸,且P(0,5)、Q(5,-1).現(xiàn)在需要在河上架一座橋,(橋必須垂直于河岸),來(lái)溝通 P、Q兩地,求 M A B N橋的端點(diǎn) B C的坐標(biāo),使得從 P地到Q地的路程最短oO Cx 1總結(jié)：將軍飲馬問(wèn)題 =軸對(duì)稱問(wèn)題=最短距離問(wèn)題(軸對(duì)稱是工具,最短距離是題眼).所謂軸對(duì)稱是工具,即這類問(wèn)題最常用的做法就是作軸對(duì)稱.而最短距離是題眼,也就意味著歸類這類的題目的理由.比方題目經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“線段 a+b的最小值這樣的

9、條件或者問(wèn)題.一旦出 現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問(wèn)題,然后利用軸對(duì)稱解題.學(xué)習(xí)效果能將實(shí)際問(wèn)題中的“地點(diǎn)、“河、“草地抽象為數(shù)學(xué)中的“點(diǎn)、“線,把最短路徑問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問(wèn)題,能利用軸對(duì)稱將處在直線同側(cè)的兩點(diǎn),變?yōu)閮牲c(diǎn)處在直線的 異側(cè),能利用平移將兩條線段拼接在一起,從而轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短問(wèn)題,能通過(guò)邏輯 推理證實(shí)所求距離最短,在探索問(wèn)題的過(guò)程中,體會(huì)軸對(duì)稱、平移的作用,體會(huì)感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思 想.課后穩(wěn)固習(xí)題1,A(-1,4) , B(1,1),在x軸上找一點(diǎn) C,使AC+BCM小.那么 C點(diǎn)的坐標(biāo)是 , AC+BM 最小值是.2,A(-1,3) , B(-3,1) , M>

10、; x軸上一動(dòng)點(diǎn),N是y軸上一動(dòng)點(diǎn),那么當(dāng) AN+NM+MB小時(shí),M的坐標(biāo) 是, N的坐標(biāo)是 o3, A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m) , N(0,m+1),當(dāng) BM+MN+AN小時(shí),點(diǎn) M的坐標(biāo)是,最 小值是.4,A(-4,5) , B(2,-2),在x軸上找一點(diǎn) C,那么當(dāng)|AC-BC|最大時(shí),點(diǎn) C的坐標(biāo)是,最大 值是 O5, 到一點(diǎn)如圖,點(diǎn)A,B位于直線l的同側(cè),到直線l的距離AC = 10, BD = 30,且CD = 30,在直線l上找M 是am+bM1短,那么最短距離是B題6圖7,如圖,/ AOB = 40°,點(diǎn) P, Q都在/ AOB內(nèi),/ AO

11、P = / BOQ = 10° ,且 OP = OQ = 6 ,作點(diǎn) P 關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)Pi ,作點(diǎn)Q關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)Q ,那么PiQ = .OBOB直線lO6,如圖,/ AOB= 45° ,點(diǎn)P在/ AO郎,且OP= 3,點(diǎn)M,N分別為射線 OA OB上的動(dòng)點(diǎn),那么4 PMN的周長(zhǎng)的最小值為題7圖題8圖8,如圖,/ AOB = 60°,點(diǎn) P, Q都在/ AOB內(nèi),/ AOP = / BOQ = 15° ,且 OP = 8 , OQ = 6.在射 線OA OB上分別存在點(diǎn) M, N,是PM+MN+NQ值最小,那么最小值是 .9,如圖, ABC中,AB=2, / BAC=30 ,假設(shè)在 AC AB上各取一點(diǎn) M N,使BM+MN勺值最小,那么這個(gè) 最小值是多少？B例10圖是等邊三角形,點(diǎn) E在正方形 ABCErt,在又線 AC題9圖10,如下圖,正方形 ABC曲面積為12, AABE 上有一點(diǎn)巳使PDF PE的和最小,那么這個(gè)最小值為 11,如圖,假設(shè)四邊形 ABCD是菱形,AB=10cm, / ABC=45 , E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為BD上 的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PC+PE的最小值.12,如圖,在銳角和AB上的動(dòng)