從一道題的錯(cuò)解談“解幾”中定型與定量的解題策略錯(cuò)了一道題

1、從一道題的錯(cuò)解談“解幾”中定型與定量的解題策略錯(cuò)了一道題例題：已知雙曲線的右 準(zhǔn)線為x=4,右焦點(diǎn)F (10, 0),離心率e=2,求雙曲線方程. 錯(cuò) 解一：二右準(zhǔn)線方程為 x=4, .=4,又 c=10,a=40, b=c-a=60,故 雙曲線方程為-=1.錯(cuò)解二：右焦點(diǎn) F (10, 0) , AC=10, Xe=2, Aa=5, b=c-a=75,故其意的雙曲線方程-=1.上述兩個(gè)錯(cuò)解，究其原因，是對(duì)曲線的“型與量”的關(guān)系處 理不當(dāng).因?yàn)殡p曲線的中心沒(méi)有明確在坐標(biāo)原點(diǎn)上，所以不能根據(jù)雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)與中的量常數(shù)量的關(guān)系來(lái)定量計(jì)算.也就是說(shuō)該題由于雙曲線 位置關(guān)系不明，就不能用定型到定量的方

2、法解決，只能用圓錐曲線第 二定義來(lái)逐步解決.而所謂“定型”是指對(duì)曲線的形狀、位置、大小的 確定(或判斷).“定量”則是在定型的基礎(chǔ)上，求曲線(方程)中所 涉及數(shù)量.我們?cè)诮忸}中只有認(rèn)真審清題意，準(zhǔn)確地判斷好曲線狀、位 置、大小，才能相應(yīng)地定量計(jì)算相關(guān)的量.其實(shí)解析幾何中很多題目只 不過(guò)都是由定型到定量或定量到定型來(lái)解決的，把定型和定量有機(jī)地 結(jié)合起來(lái)，就能快速準(zhǔn)確解決解析幾何中曲線問(wèn)題，如下面例子.一、由曲線“定型一定量”的解題在通過(guò)題目分析，確定曲線形狀及其邊線(定型)后，再根 據(jù)其形狀、位置、大小來(lái)定量解決相關(guān)數(shù)量，或設(shè)好曲線的(方程) 待定式，再求式中才的待定數(shù)與量(定量).例題1 (2

3、002年北京高考?文)：若直線L ： y=kx-與直線 2x+3y-6=0的交點(diǎn)設(shè)于第一象限，則直線L傾斜角的取值范圍().A. (, ) B. (, ) C. (, ) D.(,)解析：因?yàn)橹本€2x+3y-6=0過(guò)點(diǎn)A (3, 0)和點(diǎn)B (0, 2), 直線L：y=kx-過(guò)點(diǎn)C (0,-),所以直線L繞C點(diǎn)必須與線段AB相交 (不含點(diǎn)A、B)時(shí)，則交點(diǎn)進(jìn)入第一象限(定型).易求直線L傾斜角 的取值范圍（定量）是（，）.例題2 （2003年北京春季招生?理）：已知直線ax+by+c=0 （abc#0）與圓x+y=l相切，則三邊長(zhǎng)分別|a|, |b , |c|的三角形是 （）.A.銳角三角形B

4、.直角三角形C.鈍角三角形D.不存在解析：因?yàn)橹本€與單位圓銳角（定型），所以圓心到直線的 距離等于半徑（定量），所以二1,即|a| + |b| = |c|.故選B.二、由曲線的“定量定型”的解題在通過(guò)題目分析中會(huì)，由題中的數(shù)量（定量）關(guān)系，確定曲 線的形狀或位置或大?。ǘㄐ停┣闆r.然后利用曲線固有的一些性質(zhì)來(lái) 解題.例題3：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且過(guò)點(diǎn)（-2, 3）的 拋物線是（）.A. y二一x B. x=yC. y=-x或x=y D.以上都不對(duì)解析：由點(diǎn)（-2, 3）的坐標(biāo)（定量）可知，拋物線經(jīng)過(guò)第二 闕丘（定型），故可設(shè)拋物線方程為y=-2px或x=2py （p>0）,此時(shí)

5、把（-2, 3）的坐標(biāo)代入可得p二或p二，故選C.例題4：己知曲線的培訓(xùn)基地在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F, F在坐標(biāo)軸上, 離心率為，且過(guò)點(diǎn)（4,-）.（1）求曲線方程；（2）若點(diǎn)M （3, m）在曲線上，求證：MF_LMF；（3）求FMF面積.解析：（1） ,曲線離心率e=（定量），曲線是雙曲線（定 型），可設(shè)方程為x-y=入（入#0）；又.曲線過(guò)點(diǎn)（4, -） , .*.16-10= A ,即 X =6.所以雙曲線不等式為x-y=6.（2）易知焦點(diǎn) F （-2, 0） , F （2, 0）,K二,K=,K?K=-.又,: （3, m）在雙曲線上，A9-m=6, m=3, 故K?K=-1 （定量），則MF

6、_LMF （定型）.（3）由M （3, ±）在曲線上知（定型），F(xiàn)MF中FF=4,邊 FF的高h(yuǎn)二（定量），F(xiàn)MF面積是6.三、由曲線的“定型?圮定量”的解題在許多題目解答中所，往往還要利用定型、定量多次轉(zhuǎn)換.1 .由曲線“定量一定型一定量”的解題例題5：已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)P （-4, 0）,且與圓C： x-8x+y=0 相切的圓心M的軌跡方程是.解析:設(shè)圓M的半徑為R,又由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-4） +y=16 可知半徑r=4,結(jié)合圖形可得，若圓M與圓C外切時(shí)，MC|-|MP =4, 若圓M與圓C內(nèi)切時(shí)，|MCHMP=4,也就是說(shuō)I |MC內(nèi)|MP| |二4 （定 量）.顯然點(diǎn)M的軌跡滿足雙曲線的定義，則點(diǎn)M軌跡是以P, C為焦 點(diǎn)雙曲線（定型），其點(diǎn)M軌跡方程為-二1 （a>0, b>0）,由題意和 雙曲線定義可知2a=4, c=4,則可求得b=12 （定量）.故填-二1.2 .由曲線“定型一定量一定型”的解題例題6：方程y=ax+b與y=ax-b表示的曲線在同一坐標(biāo)系中的 位置可以是（）.解析：由四個(gè)選項(xiàng)可知，y=ax-b表示橢圓（定型），y- ax=-b, BP y+=-b, /.a<0, b<0 （定量）；由此可得拋物線 y=ax+b 是