信號與系統(tǒng)——離散傅里葉變換ppt課件

1、信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案1信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案21、從連續(xù)信號頻域分析看到：、從連續(xù)信號頻域分析看到： 從頻域角度可以獲得對從頻域角度可以獲得對LTI系統(tǒng)性質(zhì)的更加深入的了系統(tǒng)性質(zhì)的更加深入的了解，使系統(tǒng)的分析與設(shè)計更加直觀方便，與時域分解，使系統(tǒng)的分析與設(shè)計更加直觀方便，與時域分析互補。析互補。6.1 引言3、本章學(xué)習(xí)注意：、本章學(xué)習(xí)注意： （1與連續(xù)情況對應(yīng)關(guān)系并找出相似之處和重要區(qū)與連續(xù)情況對應(yīng)關(guān)系并找出相似之處和重要區(qū)別；別；2、從第二章時域和第四章的復(fù)頻域看到：、從第二章時域和第四章的復(fù)頻域看到： 連續(xù)信號與系統(tǒng)和離散信號與系統(tǒng)之間可以通過抽樣連續(xù)信號與系統(tǒng)和離散

2、信號與系統(tǒng)之間可以通過抽樣聯(lián)系起來，二者在時域和復(fù)頻域中均有對應(yīng)關(guān)系。本聯(lián)系起來，二者在時域和復(fù)頻域中均有對應(yīng)關(guān)系。本章將會看到，二者在頻域之間也有對應(yīng)關(guān)系。章將會看到，二者在頻域之間也有對應(yīng)關(guān)系。信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案3（1實際信號與計算機能處理的信號之間的矛盾；l 實際信號的特點：l 時域：連續(xù)時間信號，持續(xù)時間較長l 頻域：頻譜連續(xù)l 數(shù)字處理設(shè)備計算機的特點l 存儲空間有限：只能存儲有限多數(shù)據(jù)離散的數(shù)據(jù)點，有限長的時間范圍）l 表示空間有限：只能表示有限多的數(shù)值取值在一定精度內(nèi)，取值在一定范圍內(nèi)）4、本章要解決的問題：、本章要解決的問題：6.1 引言 （2以理論分析為依據(jù)，以

3、工程實現(xiàn)為目的。信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案4（6如何用計算機實現(xiàn)4種信號的頻譜分析；6.56.1 引言（3有限長序列頻譜的計算與存儲 頻譜是連續(xù)周期的，只能存儲有限長的頻譜一個周期即可）；只能存儲有限多的頻譜離散頻率點處的頻譜值）。（4如何用計算機直接計算序列的離散頻譜和反之；6.4（5信號被截短時，頻譜發(fā)生什么變化；6.5（2如何從抽樣信號計算原信號的頻譜；6.2信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案56.2 離散時間傅里葉變換 連續(xù)非周期信號( )x tT ，02Td0k 0k FT ( )( )j tXx t edtDTFT ( ) j nnXx n e IFT 1( )( )2j tx

4、 tXedIDTFT 1 ( )2j nx nXed連續(xù) 1、比較、比較FT和和DTFT02N d， n 離散 連續(xù) t 連續(xù) x n離散非周期信號信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案66.2 離散時間傅里葉變換 2、對、對DTFT的說明的說明 頻譜密度連續(xù)，() 綜合式IDTFT 1 ()2jnx nXed 序列離散()n ( ) j nnXx n e 分析式DTFT 分析式DTFT是的周期函數(shù)，綜合式IDTFT不是n的周期函數(shù)，jn Nj nee 2Nm以 為周期 因為： n為整數(shù)2jnj nee 2信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案76.2 離散時間傅里葉變換連續(xù)頻譜密度是積分式 有利因素：頻

5、譜密度可利用離散點的數(shù)據(jù)計算，為利用計算機提供了可能。由于周期 2s 所以 不利因素：計算機無法直接處理和存儲連續(xù)頻譜，數(shù)字處理遇到困難。()X x n 積分范圍是2是求和式 由于 非周期 且非時限，N x n 是離散序列 ()X 對無窮多項求和所以信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案8 ()()Re()Im()jXXeXjX 假設(shè)SM ( )( )ssTXT X sT對應(yīng)dt6.2 離散時間傅里葉變換，由帶限( )x t抽樣得到樣本 x n的DTFT 可得FT nx n 假設(shè)，那么的DTFT存在，即收斂。 x n ( )( ) jjnj nz ez ennXX zx n zx n e ROC包含

6、單位圓信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案96.2 離散時間傅里葉變換 3、典型信號的、典型信號的DTFTnanxn的離散時間傅里葉變換，其中1|a例例6-1 求求解：解：j0j0je11)e(e)(aaaXnnnnn21()12 cos()Xaa 1sin( )( )tan1cos( )aa 信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案10解：解：1ee)(jjnnnnnX例例6-2 6-2 求序列求序列nnx的傅里葉變換6.2 離散時間傅里葉變換例例6-3 6-3 求序列求序列1nx的傅里葉變換。解：解：ROC邊界在單位圓，信號不滿足絕對可和的條件。但可以仿照連續(xù)時間信號情況，在變換中引入沖激函數(shù)。由于離

7、散時間信號的傅里葉變換是以 為周期的，考察下式給出的等間隔沖激頻譜函數(shù)：2kkX)2(2)(利用逆變換公式得1de )(221jnnx因而kk)2(21信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案11解：由求解逆傅里葉變換的公式有j1 ()ed2nh nHCCj1ed2nCsin()nn從圖中可以看出，離散時間系統(tǒng)的理想低通濾波器的樣值響應(yīng)，與連續(xù)時間系統(tǒng)的理想低通濾波器的沖激響應(yīng)類似，即在輸入沒有加入前就已有了響應(yīng)。說明離散時間系統(tǒng)的理想低通濾波器也是一個非因果系統(tǒng)。6.2 離散時間傅里葉變換例例6-4 6-4 若離散時間系統(tǒng)的理想低通濾波器頻率特性若離散時間系統(tǒng)的理想低通濾波器頻率特性)(H如下圖，求

8、它的逆傅里葉變換nh（即單位樣值響應(yīng)）。01()X 22n0n1LPFnnh-12-8-448120.250O)(HCC1224C信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案126.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案13（1周期性、連續(xù)性周期性、連續(xù)性 周期性：是離散信號周期性：是離散信號 的的DFS、DTFT的共性，的共性，有別于有別于 的的FS、FT。 x n( )x t注意與FT對應(yīng)，與Z變換對應(yīng)連續(xù)性：是非周期時間信號 、( )x t x n的FT、DTFT的共性，有別于周期信號的FS、DFS。6.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析1. 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)信號與系統(tǒng)分析（第2

9、版）電子教案14（2線性所有線性變換的共性）線性所有線性變換的共性）設(shè) 、 的傅里葉變換分別為 及1nx2nx)(1X)(2X)()(22112211XaXanxanxa 其中 、 為任意常數(shù)1a2a那么6.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析1. 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)（3移位與移位與FT一致）一致）假設(shè) 是傅里葉變換對，則有：)(Xnx)(e0j0Xnnxn 時移相移 00( )j tx ttXe 頻域移位： )(e0j0 Xnxn00()jteX時域移位： 調(diào)制頻移 信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案15（4時域線性加權(quán)頻域微分）（與時域線性加權(quán)頻域微分）（與FT一致）一致）)(ddjXnnx(

10、)( )dtx tjxd假設(shè) 是傅里葉變換對，那么)(Xnx時域的線性加權(quán)頻域的微分 （5反轉(zhuǎn)與對稱與反轉(zhuǎn)與對稱與FT一致）一致）假設(shè) 是傅里葉變換對，那么)(Xnx)(Xnx()()xtX時域反轉(zhuǎn)頻域反轉(zhuǎn) )(ReEvenXnx)(ImjOddXnx是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)即|()|X x nxn 實偶 x nx n 實奇對稱nx為實序列)()(* XX()Re()XX 實偶()()mXjIX 虛奇1. 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)6.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案16（6卷積定理與卷積定理與FT同）同）假設(shè) ， ，那么)(Xnx)(Hnh時域卷積：)()(*HXnhnx

11、頻域卷積：)(*)(21HXnhnx時域加窗、調(diào)制、抽樣頻域卷積時域卷積頻域乘積1. 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)6.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案17（7帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理假設(shè) 是傅里葉變換對，那么)(Xnx22d)(21Xnxn 即時域的全部信息量包含在頻譜的一個周期內(nèi)，所以只討論頻譜的一個周期就夠了。時域總能量頻域一周期內(nèi)的總能量1. 離散時間傅里葉變換的性質(zhì)6.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案186.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析2. 離散時間系統(tǒng)的頻域分析時域：*nxnhny頻域：)()()(XHY輸入信號的頻譜函數(shù) 經(jīng)系統(tǒng)后變?yōu)?

12、()()(XjeXX)()()()()()(HXYHXY 在輸入信號頻譜給定的情況下，要想得到需要的輸出頻譜結(jié)構(gòu)的過程，實際上是對H()進行設(shè)計的過程。在頻域中通過輸入輸出信號的頻譜可清晰地看到系統(tǒng)對信號每個分量的變換過程及對H()的要求。信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案196.3 離散時間系統(tǒng)的頻域分析2. 離散時間系統(tǒng)的頻域分析例例6-5 求差分方程求差分方程 所描述系統(tǒng)的所描述系統(tǒng)的頻響函數(shù)頻響函數(shù)H()。若輸入為。若輸入為 ，求響應(yīng)，求響應(yīng) yn 15 . 0nxnyny)8 . 0(nnxn解：對差分方程兩邊取傅里葉變換，有解：對差分方程兩邊取傅里葉變換，有)()()5 . 01 (

13、XYej由頻響函數(shù)的定義可知5 . 0)5 . 01 (1)()()(jjjeeeXYH由于8 . 0)(jjeeX那么8 . 0385 . 0355 . 08 . 0)()()(2jjjjjjjeeeeeeeHXY取逆變換得)8 . 0(38)5 . 0(35nnynn信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案206.4 離散傅里葉變換信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案216.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFSsT DFS 離散周期信號 x n完備正交系 0jktke 2jknNke 022SntnTTN02N t 連續(xù) k:(-,)級數(shù) 0jktkkx tX e210 NjknNkx nX

14、k eFS 連續(xù)周期信號 x t0,1N Nkk因為：n取整數(shù) k :整周期抽樣（1由由FS引入引入DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案22 系數(shù)001( )TjktkXx t edtT 2101 NjknNnX kx n eN理論依據(jù): = 2121tktktkkttt dtCtt dt 211tktx tt dtBB=T1010 NkkkNkkkx nnCnn101 Nkkx nnB B=N（2對對DFS的說明的說明 一個周期主值 210 NjknNkx nx k e2101 NjknNnx kx n eN0,1N 0,1N n一個周期主值 k6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)D

15、FS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案23對每一個整數(shù) n , 離散點 是一個有限項的級數(shù)，求和只需 N 項。對每一個整數(shù) k ， 是一個有限項的級數(shù)，求和只需 N 項。 x n X k一個周期主值 210 NjknNkx nX k e2101 NjknNnX kx n eN0,1N 0,1N n一個周期主值 k 周期N點 0,1N 是周期函數(shù)，定義域n: , x n是周期函數(shù)，定義域k: X k, 周期N點 0,1N 重要意義：只要計算一個周期的N個點，即可得到全 域結(jié)果。nk6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案在一個周期內(nèi)有N個諧波分量，第k個諧波

16、分量為： X k24 因為 周期N，所以 離散 x n X k02N 22sssssTTT 因為 離散， 所以 周期 x n X k即：02kkN 故適合計算機工作：離散 有限數(shù) DFS總是收斂，因為是有限數(shù)項的求和。6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案25解：由于所給信號的數(shù)字頻率為解：由于所給信號的數(shù)字頻率為 ，則該信號的，則該信號的 周期周期N N為為3063/2N把余弦函數(shù)用指數(shù)函數(shù)表示22j()j()6621 cos()(ee)62nnx nn由于 nnn)5)(62j(1)(6)62j()62j(eee于是 22j()j()(5)661

17、(ee)2nnx n例例6-6 6-6 已知周期離散時間信號已知周期離散時間信號)3cos(nnx級數(shù)表示式及相應(yīng)的頻譜。，求傅里葉根據(jù)102je IDFSNknkNkXkXnxn域與k域的周期相同6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案26此信號的頻譜是以N=6為周期的周期離散頻譜。4, 3, 2, 005, 121kkkX可得6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案27例例6-7 6-7 圖圖a a所示序列的周期所示序列的周期N =10N =10，求其頻譜。，求其頻譜。2214j()j()100011 ee10

18、NknknNnnX kx nN2j()5102j()1011 (e)101 ekk4j()10sin()12e10sin()10kkk解：解：6.4 離散傅里葉變換1. 離散傅里葉級數(shù)DFS信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案28 計算機可以處理的數(shù)據(jù)形式6.4 離散傅里葉變換2. 離散傅里葉變換DFT離散：數(shù)據(jù)離散地放在存儲器的各個單元有限：存儲空間有限，計算速度有限為了讓計算機解決實際問題，必須要做的工作是：（1從理論研究到工程實際從理論研究到工程實際信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案296.4 離散傅里葉變換 時域 是信號輸入，輸出的原始形式，離散化為 ， ， （第五章已解決）。 ( ), (

19、 ), ( )h tx ty t h n x n y n（a離散處理 頻域 是系統(tǒng)設(shè)計的出發(fā)點，也應(yīng)離散化為 （本節(jié)將解決）。( ),( ), ( )HXY , , H kX k Y k 在時域?qū)﹄x散化后的序列截斷或加窗，在頻域?qū)﹄x散信號的頻譜周期加窗即只取用一個周期。 （b有限化處理本節(jié)解決）2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案30 6.4 離散傅里葉變換 已有的理論基礎(chǔ)已有的理論基礎(chǔ) Ot)(txOFT)(X)(jXOO)(txtFS)(jXOOnxnDTFTOnxnO| |kXkDFS 時域時域 頻域頻域連續(xù)非周期 FT 非周期連續(xù)譜密度（無限） 離散譜（無限） 周

20、期 FS（無限） 周期 DFS （無限） 離散譜 離散 非周期 DTFT 周期 連續(xù)譜密度2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案316.4 離散傅里葉變換 分析離散傅里葉級數(shù)分析離散傅里葉級數(shù)DFS時頻域均只需有限的離散時頻域均只需有限的離散數(shù)據(jù)）數(shù)據(jù)）210 NjknNkx nX k e2101 NjknNnX kx n eN , x nX k離散周期：頻譜重復(fù)，一個周期內(nèi)僅有N個點（b） 對整個時域，只需要計算N個點，即可周期延拓到全時域 ；對整個頻域，只需要計算N個點，即可周期延拓到全域 。(,) (,) （a對時域的每個第n點，只需要N個頻域數(shù)據(jù)參與計算，對頻域的每

21、個第k點，只需要N個時域數(shù)據(jù)參與計算2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案326.4 離散傅里葉變換（2離散傅里葉變換離散傅里葉變換DFT 從從DFS到到DFT(a) DFS的分析和綜合式中實際參加計算的數(shù)據(jù)分別是：的分析和綜合式中實際參加計算的數(shù)據(jù)分別是： 01 0 x nnNx n其他 01 0 X kkNX k其他 它們是周期數(shù)據(jù) 在主值區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)。對周期 延拓可得 ，對周期 延拓可得 。這是在保證信息不損失條件下最少的數(shù)據(jù)量。 , x n X k x n x n X k X k條件：條件： 是時間有限序列是時間有限序列 x n(b) 假設(shè) 是非周期序列，且為時間有

22、限N點），即可把它看成 的主值數(shù)據(jù)，僅用這N個點即可計算出 對應(yīng)的主值 。 x n x n X k X k也就是說：直接對非周期序列 x nDFSIDFS X k2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案336.4 離散傅里葉變換 定義定義DFT10)2j(e NnknNnxkX11)2j(e 1NkknNkXNnx) 10(Nk) 10(NnDFTIDFT 注意：(a) 標(biāo)度因子N換位，這是為了讓正變換簡單，與DTFT對應(yīng)。DTFT IDTFT () j nnXx n e 1 ( )2j nx nXed() ()n (b) 是非周期N點時限信號，可看成周期信號的一個主周期。

23、x n(c) 是對有限長的 的頻譜 等間隔 抽樣并對主值區(qū)間加窗得到的。 X k x n()X 02N 2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案3410DFTNnknWnxnxkX10Nk101IDFTNkknWkXNkXnx10Nn展開成矩陣形式： 1 1 0 1 1 0) 1)(1(1) 1(0) 1(1110000NxxxWWWWWWWWWNXXXNNNN 1 1 01 1 1 0) 1)(1() 1(101) 1(110000NXXXWWWWWWWWWNNxxxNNNNXWx*1xW XNDFTDTFT6.4 離散傅里葉變換DFT可簡寫為：2jknNe(d) 頻率間隔

24、 對應(yīng)的 是 的最小單位基頻分量），令 （對應(yīng)z變換下的 ）02N 0je 02jjNeeW 2jNe2110()jNze2. 離散傅里葉變換DFT信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案35信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案36 6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案37 1. 周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算 連續(xù)時間周期信號xT(t)的樣本xNn與xT(t)的離散頻譜ck的關(guān)系：mNnNjknNmNkcNenx102 對頻帶有限的xT(t)，若一個周期中抽樣的離散點數(shù)N大于最高諧波次數(shù)km的二倍即：N 2km，則在忽略數(shù)值誤差的情況下，ck可以精確計算：12120D

25、FT1NkNNkcNkkcnxN信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案38 1. 周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算 若xT(t)頻譜無限分布，用DFT必然會出現(xiàn)頻普混疊，從而帶來誤差。解決的方法：適當(dāng)提高抽樣頻率，以減少頻譜混疊的影響。一般取兩種不同的抽樣頻率進行計算，當(dāng)二者的計算頻譜基本一致時可認(rèn)為結(jié)果正確。 根據(jù)ck 求xT(t)在主值區(qū)間離散值：IDFTkXNnx12120NkNNkcNkkckX信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案392. 非周期信號的頻譜分析（1DFT與與DTFT的關(guān)系的關(guān)系 有限長 nx10NDFT 離散變化，共N個點 210 NjknNnX kx n e2kkN

26、 DTFT 連續(xù)變化，周期為10( ) Nj nnXx n e 2 結(jié)論：DFT是對DTFT在頻域 內(nèi)取N個點等間隔抽樣的結(jié)果，DFT的包絡(luò)線即為DTFT。20,6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案40DFT：kkkknknkX8j2j162j162j430162je1e1e1e1e DTFT：jj430je1e1e)(nnX對DTFT連續(xù)的頻譜離散化的結(jié)果MATLAB實現(xiàn)：利用FFT計算 ，用繪圖語句stem繪出 的離散頻譜圖。 kX kX例例6-9 非周期離散序列非周期離散序列nnnx其余0301連續(xù)的頻譜，是DFT的包絡(luò)線 MATLAB實現(xiàn)：利用FFT計算 ，用繪圖

27、語句plot繪出 的包絡(luò)線，即 的連續(xù)頻譜圖。()X kX kX2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案41 在分析信號頻譜的時候，由于受到計算能力的影響，只能處理有限長的信號。這就必須截取時間函數(shù)的一個有限范圍，即把觀測到的信號限制在一定的時間間隔之內(nèi)。換句話說，就是要取出信號的某一個時間段。這種過程就是截斷數(shù)據(jù)的過程。這種截斷過程相當(dāng)于對信號進行加窗，即信號乘以窗函數(shù) ，變成 的N點有限長序列，然后可以利用DFT計算DTFT，N的大小會影響結(jié)果的準(zhǔn)確性，應(yīng)視情況慎重選擇。 nnN0,1N 無限長 、, 0, nx N越大，間隔越密，在 給定的情況

28、下，可補零加大N。 nx （2N與譜線間隔與譜線間隔02N DFT對DTFT離散化的頻譜間隔 2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案 DFT與FT的關(guān)系 （a關(guān)系42 DFT與FT的關(guān)系為：非周期連續(xù)時間信號 的傅里葉變換 txttxXtde )()(j抽樣樣本 的頻譜 nxDTFT)(1)(SSSnxkXTXk 設(shè) 在周期延拓時的頻譜混疊可忽略不計，由上式得在頻譜的一個周期內(nèi))(X)2/|(|DTFT)(SSnxTXFFTe )(S102jSnxTnxTXNnknNk) 10(Nk（3非周期連續(xù)時間信號的頻譜分析：用非周期連續(xù)時間信號的頻譜分析：

29、用DFT計算計算FT2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案43 （b） 頻譜換位 121202)(2NkNNkTNkTkk 按上式計算出的前 個樣點對應(yīng)于 的頻譜，而后半部分的樣點對應(yīng)于向左移位 的頻譜，即在負(fù)頻率軸上。由于模擬頻率間隔為 ，則頻譜中第 k 個樣點對應(yīng)的頻率為 2N20ST20S 利用利用DFT對連續(xù)非周期信號進行對連續(xù)非周期信號進行FT的參數(shù)選擇的參數(shù)選擇(a) 根據(jù)指標(biāo)要求的模擬頻率分辨率 來確定抽樣的時間T 0T2002T 因為：所以：2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案44 (

30、d) 確定時域抽樣間隔 (c) 確定抽樣點數(shù)N10sN調(diào)整12mNNS()FFT kXTx n (b) 根據(jù)抽樣定理 ，選擇 ，即由信號的 定2sMsMs 因為 ，根據(jù) 對連續(xù)信號 抽樣后得N點序列 tx nxNTTssT (e) 利用DFT的快速算法計算 的FT tx2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案45例例6-10 利用利用DFT方法計算連續(xù)時間信號的頻譜，要求方法計算連續(xù)時間信號的頻譜，要求滿足如下指標(biāo)：頻譜分辨率滿足如下指標(biāo)：頻譜分辨率f0 5 Hz；信號的最高頻；信號的最高頻率率fm 1.25 kHz；抽樣點數(shù)等于；抽樣點數(shù)等于2的整

31、數(shù)次方。試確定：的整數(shù)次方。試確定：（1應(yīng)記錄的信號長度應(yīng)記錄的信號長度T；（；（2抽樣點數(shù)抽樣點數(shù)N；（；（3時間抽樣間隔時間抽樣間隔Ts。2. 非周期信號的頻譜分析6.5 信號頻譜的數(shù)值計算解：解： （1由于頻率分辨率取決于時域信號的長度，其值為s2 . 05110fT（2根據(jù)信號的最高頻率，抽樣點數(shù)N要滿足50051250220ffNm故取 N = 29 = 512（3時間抽樣間隔s256015122 . 0NTTs信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案46 DFT在數(shù)字信號處理中具有極其重要的地位。在應(yīng)用DFT對信號與系統(tǒng)進行處理時，會遇到一些具體的問題。正確認(rèn)識和對待這些問題對于分析處理的

32、結(jié)果有至關(guān)重要的作用。 一般情況下，待研究的連續(xù)時間信號不具備離散性或周期性，也可能有無限長度。為了能利用DFT進行分析，應(yīng)對此波形進行抽樣和截斷。這樣一來，勢必會引入誤差。引入誤差的原因主要有以下幾種：用用DFT逼近逼近FT可能出現(xiàn)的問題可能出現(xiàn)的問題3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案47(1) 時限信號抽樣及頻譜的混疊現(xiàn)象時限信號抽樣及頻譜的混疊現(xiàn)象 計算機只能處理時限信號，對非時限信號應(yīng)先截短； 時限信號的頻帶無限，抽樣定理 無法實現(xiàn)，所以頻率混疊不可避免。 減少混頻的措施： a、應(yīng)盡量取大，這需要大儲存空間和快速計算設(shè)備；sMs b、先經(jīng)過低通

33、濾波器，濾掉信號中大于 的頻率分量。 M3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案48 頻域抽樣與時域混疊 a、帶限信號都是非時限的。非時限信號 時限信號經(jīng)過低通濾波器濾波帶限信號的來源 b、對帶限信號進行頻域抽樣條件 無法實現(xiàn)，所以時域混疊不可避免。0022MTT 頻譜泄露 a、避免時域混疊的方法：為了利用DFT計算FT，也為了避免時域混疊，必須對帶限信號非時限在時域內(nèi)截短，相當(dāng)于乘上一個矩形窗。這樣可以利用頻域抽樣條件，使得對信號的頻域抽樣避免時域混疊。(2) 帶限信號頻域抽樣及頻譜泄露帶限信號頻域抽樣及頻譜泄露3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算

34、信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案49 b、由時域截短造成的頻譜泄露 據(jù)傅里葉變換的卷積定理，信號加窗后的頻譜相當(dāng)于原信號頻譜與窗信號的頻譜在頻域作卷積。即圖中 所以時域混疊與頻譜泄露是一對矛盾。所以時域混疊與頻譜泄露是一對矛盾。 這種卷積過程造成了信號頻譜的失真。失真頻譜將產(chǎn)生“拖尾”（頻譜延伸擴展現(xiàn)象，使原有受限的頻譜圖形“擴展開來，這種現(xiàn)象就稱之為頻譜泄漏。 111( )( ) ( )( )( )* ( )2x tx t r tXXR 只要對帶限信號進行DFT計算，就必須先截斷 ，這樣一來，頻譜泄露就無法避免。 tx3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教

35、案50 c、減小頻譜泄露的措施 由于實際應(yīng)用的需要，對信號進行截斷是必須的，所以由此引起的頻譜泄漏也顯然是無法避免的。不過，通過改善窗函數(shù)的形狀，可以達(dá)到減少泄漏的目的。通常的矩形窗在時域有突變，使得頻域拖尾嚴(yán)重，收斂很慢。為了解決這個矛盾，人們已經(jīng)研究了各種形式的窗函數(shù)，例如三角窗、布萊克曼窗、海明窗、漢寧窗等，它們都在不同程度上壓低了窗函數(shù)頻譜的旁瓣，減弱了頻率泄漏現(xiàn)象。三角窗 布萊克曼窗 海明窗 漢寧窗Triang Blackman Hamming Hanning 3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案51（3頻率分辨率和柵欄效應(yīng)頻率分辨率和柵欄效應(yīng)

36、 頻率分辨率 DFT本身不是非周期、有限長序列的頻譜，而只是頻譜的等間隔抽樣樣本。因而，為了使DFT能更精確地反映原信號的頻譜FT，在用DFT分析信號的頻譜時，就有一個頻率分辨率的問題。 結(jié)論：數(shù)字頻率分辨率與點數(shù)N有關(guān)，模擬頻率分辨率與時域信號的持續(xù)時間T有關(guān)。 離散信號 的頻率分辨率 N越大分辨率越高。 連續(xù)信號 的頻率分辨率 T 越大分辨率越高，T為信號長度。02N 0022ssTT NT tx nx3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案52 柵欄效應(yīng) 由于DFT是對有限長序列的頻譜等間隔抽樣得到的樣本，就相當(dāng)于是在柵欄的一邊通過柵欄的縫隙(對應(yīng)離散

37、點)去觀看另一邊的景象(對應(yīng)連續(xù)頻譜)，只能在離散點的地方看到真實的景象，因而，那些被柵欄擋住的頻譜部分是看不到的，這些被遮擋的部分就是未被抽樣所抽到的部分，這就有可能漏掉一些較大頻率分量。我們稱這種現(xiàn)象為“柵欄效應(yīng)”。 當(dāng)然，在實際問題中，“大的頻譜分量被擋住的情形還是很少的，柵欄效應(yīng)并不是一個很嚴(yán)重的問題。盡管如此，我們還是有必要討論清楚如何避免或者說減少這種柵欄效應(yīng)。提高分辨率可以減小柵欄效應(yīng)，卻不能消除。 以上幾個問題是DFT使用者必須了解的，否則無法對計算出現(xiàn)的問題做出解釋，甚至?xí)?dǎo)致錯誤的結(jié)果。3. 數(shù)據(jù)截斷問題6.5 信號頻譜的數(shù)值計算信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案536.6

38、離散傅里葉變換的性質(zhì)信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案546.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)1. 線性性質(zhì) 假設(shè) 和 是兩個有限長度序列，長度分別為 和 ， 則其線性組合 的N點DFT為2211nxanxanx nx1 nx21N2N2211kXakXakX10Nk其中， 和 為常數(shù)， ， 和 分別為 和 的N點DFT。1a2a),max(21NNN 1kX2kX nx1 nx2信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案556.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)2. 圓周移位 （1圓周移位圓周移位 對應(yīng)于DTFT的平移1 x nx nm如圖示信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案566.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)2. 圓周移位

39、對應(yīng)于DFT的移位 b、移位 () Nx nmx nm a、 Nx nxnx n周期延拓 c、截取 主周期的序列，即乘上矩形窗 ，得到位移后的序列 NRNnnN NNy nxnmRn10N信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案576.6 離散傅里葉變換的性質(zhì) 圓周位移的圖示 右移出去的m個數(shù)據(jù)從左邊補進來，數(shù)據(jù)不少，只是重新排隊。2. 圓周移位信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案586.6 離散傅里葉變換的性質(zhì) 此性質(zhì)表明，有限長序列圓移 位，其DFT等于移位前的DFT再乘上相移因子mkmW 假如 為偶數(shù)時，假設(shè) 對圓移 位，由于 ，故有 N nx2NkkNkW) 1(ej2) 1()2(DFTkXnR

40、NnxkNN2. 圓周移位 （2） 圓移特性圓移特性 時域圓移特性 設(shè) 為 的 位圓移序列m nx ny)(nRmnxnyNN 的DFT為 ，那么 的DFT為kXWkYkm nx ny kX信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案596.6 離散傅里葉變換的性質(zhì) 頻域圓周移位特性： mnNNWnxkRmkX)(IDFT 即給序列 乘以指數(shù)函數(shù) ，其DFT為 ，圓周移位 位。此特性用于卷積計算。 nxmnW kXm2. 圓周移位 卷積定理 線性卷積線性卷積圓周卷積( )( )* ( )y tx th t * ly nx nh n( )( )( )FTYXH( )( ) ( )DTFTYXH DFTY k

41、X k H k cy nx n h n信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案60 （一時域圓周卷積圓周卷積定理）（一時域圓周卷積圓周卷積定理） 假設(shè)和均為點有限長序列， 且那么點圓周卷積為： nx nhN Y kX k H kN nhnxnRmnhmxnyNmNNc10 nxnhnRmnxmhNmNN10（1時域圓周卷積定理只有數(shù)學(xué)定義，無物理意義）時域圓周卷積定理只有數(shù)學(xué)定義，無物理意義）6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案61 證明：IDFT IDFT Y KX k H k11100011 NNNnkmknkkkmX k H k Wx mWH k WNN 1

42、1001 NNmknkmkx mH k WWN1100IDFT () NNmkNNmmx mH k Wx m h nmRn10DFTNnknWnxnxkX10Nk101IDFTNkknWkXNkXnx10Nn6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案62 每一個n點圓周卷積的計算包括：變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位、相乘、求和共5個步驟。 對每一個n點圓移位，先計算對應(yīng)各個m點的乘積 ，再對 范圍內(nèi)的全部乘積求和。mx)(mRmnhNN10Nm 是把變量代換后的N點序列， 是把變量代換、圓反轉(zhuǎn)、圓移位后，取其前 N 個點后的 N點序列。mx x n)(mRmnhNN

43、h n 圓卷積只在區(qū)間內(nèi)進行，圓卷積結(jié)果也為N點有限長序列。10Nm （2圓周卷積的計算特點以 為例） x n nh6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案63 （3圓周卷積圓周卷積5個步驟的圖解個步驟的圖解變量代換變量代換圓反轉(zhuǎn)圓反轉(zhuǎn)圓移位圓移位相乘相乘求和求和 以4點圓周卷積為例，全部過程可以用矩陣表示為：003210110321221032332103yhhhhxyhhhhxyhhhhxyhhhhx6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案64 解：（解：（1變量代換變量代換 （2圓反轉(zhuǎn)把圓反轉(zhuǎn)為 mh4() 4123hm

44、 （3圓移位相乘求和 例例6-12 用圖解法求有限長序列用圖解法求有限長序列 ，) 1(4nRnnxnh 的4點圓卷積 。 cy n)4(4nRn將、 nxnh的變量置換為，m4321mxmh12346.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案651 2 3 4n=0 h-m4 1 2 3n=1 h1-m 3 4 1 2n=2 h2-m 2 3 4 1n=3 h3-m 1 2 3 4 x m3440 () cmy nx nh nx m h nmR n1 42 1 3 24 324 1 32 43 1 4 222 1 22 33 44 124 1 1 2 23 34

45、 430 （4豎式法豎式法 4 8 12 16 3 6 9 12 2 4 6 8 + 1 2 3 4 x n h n1 2 3 4 4 11 20 30 20 11 4 4 3 2 1 ly n 4 8 12 16 12 3 6 9 6 8 2 4 + 2 3 4 1 x n h n1 2 3 4 24 22 24 30 4 3 2 1 cy n線性卷積圓周卷積6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案66mxmmh)0(Nmh)1(Nmhny*nhnx)2(Nmh)3(Nmh0123m0123m0123m0123m0123m0123n0123n0123456圓

46、周卷積 線性卷積 線性卷積 * 411203020114ly nx nh n圓周卷積 24222430h n cynx n 6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案67 （二有限長序列的線性卷積與圓周卷積的關(guān)系（二有限長序列的線性卷積與圓周卷積的關(guān)系（1線性卷積線性卷積則線性卷積為：1122 (0-1) (0-1)x nNNh nNN的長度為，的長度為0 * nlmmy nx nh nx m h nmx m h nm 00 0nx nh n的起點：的起點的起點。1212 112nx nh nNNNN 的終點：的終點的終點。12 :1y nLNN的長度（2圓周卷

47、積與線性卷積相等的條件圓周卷積與線性卷積相等的條件 二者結(jié)果不同的原因二者結(jié)果不同的原因1212-1max, LNNLN Nny n線卷 長度不同圓卷 線卷：平移有空位求每個 對應(yīng)的時圓卷：平移無空位6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案68321012N1-1序號計算結(jié)果1234000 xm1234000123h0-my0=144123400012h1-my1=13+241112340001h2-my2=12+23+34201234000h3-my3=11+22+33+44300123400h4-my4=21+32+43200012340h5-my5=31

48、+42110001234h6-my6=414 解決辦法：補零。使解決辦法：補零。使 和和 均有均有L長：長： nx nh121NNL 對上例， 補 個零， 補 個零。補零后圓卷的計算結(jié)果等同于線卷。1NL2NL nx nh6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案69 對序列補零后求圓卷積。 這是因為圓卷積可以借助快速傅里葉變換FFT技術(shù)以較高的速度完成運算。用DFT進行快速線性卷積只需做3次FFT計算。FFTFFTIFFT相乘kXkHkHkXnynxnh補零后補零后（三用（三用DFTDFT進行快速線性卷積進行快速線性卷積6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷

49、積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案70 注意：若不補零，結(jié)果不是 ，而是 。只有數(shù)學(xué)結(jié)果沒有物理意義。 ny nyc 利用FFT計算卷積與直接卷積的實數(shù)乘法次數(shù)比較：N1+N2-11612825651210242048直接卷64409616384655362621441048576FFT卷4485888133122969665536143360 序列的點數(shù)越大，用FFT計算卷積的優(yōu)越性越明顯。 6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案71 例例 有一離散時間系統(tǒng)，其單位樣值響應(yīng)有一離散時間系統(tǒng)，其單位樣值響應(yīng) ，輸入信號 。試用DFT方法計算系統(tǒng)的輸出 。)

50、8 . 0(nnhnnnnx其余0901 y nn=0:16;L=32h=(0.8).n;Hk=fft(h，L);x=ones(1，10);Xk=fft(x，L);Yk=Hk.*Xk;y=ifft(Yk，L);n=0:31;stem(n，y); 解：先分別求得 和 的DFT，相乘后再求其逆變換。 nx nh程序：程序運行結(jié)果如圖所示 ：051015202530350123456.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)3. 圓周卷積信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案726.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)4. 奇偶虛實性 若序列 為實序列，其離散傅里葉變換為 ，那么 nx kX)(*NkXkX則幅度頻譜為 ，是偶對稱函數(shù)，相位頻譜為 ，是奇對稱函數(shù)。)(NkXkX)(argargNkXkX信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案73N為奇數(shù)N為偶數(shù)根據(jù)對稱性，實序列的DFT在 時不需要專門計算，從而節(jié)省了計算量。 2/Nk 注意：因為變量的取值范圍為 ，對稱不是關(guān)于原點，而是關(guān)于 點的對稱函數(shù)。10Nkk2N6.6 離散傅里葉變換的性質(zhì)4. 奇偶虛實性信號與系統(tǒng)分析（第2版）電子教案741、DFT的重