高三年級數(shù)學第二次診斷測試

1、高三年級數(shù)學第二次診斷測試本卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時刻120分鐘。第I卷（選擇題共60分）參考公式：假如事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）假如事件A、B相互獨立，那么P（43）=P（A）P假如事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p,那么n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概 率：9"） = C"（1 p 尸.球體的體枳公式：匕=:成3 （其中R表示球的半徑）.一.選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有 一項是符合要求的）1 .若拋物線y2=2px上一點M的橫坐標為4, M到焦點的距離

2、為5,則點M到X軸的距離 是（）A. -B. 12C. 2D. 42 .球的表面積與其內接正方體的表面積之比是（）A. B. C. D. 246323 .函數(shù)/（x） = log/x22x 3）的圖像的對稱軸方程是（）A. x=lB. x=2C. x=3D. x=-1）44 .從x軸上一點引園產(chǎn)+（丁一1）-=1的兩條切線，其中一條切線的斜率為一一，則兩切線 夾角的正切值是（）73424A. B. -C. -D. 244375 .函數(shù)/（X）=松X忖1不+上0$目85工的值域是（）A. 1C. (-1, 1)6 .已知a、b、c差不多上正數(shù)，且則。、氏c的大小關系是（）a + b b + c

3、c + aA. c<a <b B. b<c<a C. a <h<c D. c<b<a7 .已知圓周上有10個等分點，以其三個點為頂點構成三角形，其中直角三角形的概率是（ ）8 .己知S 是等差數(shù)列4的前n項和，S2=3,S6=4t則5合=()A. -7B.-3C. -10D. 29 .已知而=（攵/）,n=（2,3）,則下列攵值中能使AABC是直角三角形的一個值是（）A. -B. 1-72C. 1->/3D. -5210 .在正三棱柱ABC AdG中，4A = &A8,則異而直線兒B與AG所成的角的大小 是（）11 .若關于X的方程

4、僅用2/=。+ 2有實根，則實數(shù)的取值范疇是（）A. -2, +8） B. 2, 2C. -2， 2 D. -1,2）12 .已知牛 鳥為雙曲線的左、右焦點，以雙曲線左支上任意一點P為圓心、仍用為半徑nC.一2的圓與以F?為圓心、5|為半徑的圓相切，則雙曲線兩漸近線的夾角是（ 22乃D. 3數(shù)學(三)第n卷(非選擇題共9。分)二.填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上)13 .已知/(幻為一次函數(shù)，若/(3) = 5,且/(1)J(2)J(5)成等比數(shù)列，貝IJ /(1) + /(2) +/(100)的值是 .14 . (l + x)(l +2x)(1+ 4x).(

5、l + 2nx) (£%)展開式中 x 的一次項的系數(shù)是.15 .函數(shù)旦=二)在；，31上的最小值是.16 .函數(shù)y = sinx的定義域為,以，值域為l,g ,則一的最大值是.三、解答題(本大題共6小題，共74分，解承諾寫出文字說明，證明過程或或演算步驟)17 .(本小題滿分12分)已知函數(shù) F(x) = |2x-1|-x2+ 2a-+ 1 (x e R).(1)寫出此函數(shù)F(a)在R上的單調區(qū)間:(2)若函數(shù)/(x) = ax + O的圖像與尸(x)的圖像相切于相異的兩點，求公的值.18 .(本小題滿分12分)己知二，回答以下問題： 2【.若sind + cose = /,求/的

6、取值范疇:II .將sin 8 cos 6用，表示：III .求sin3 0 + cos3 0的最大值與最小值.19 .(本小題滿分12分)(文科)如圖，在棱長為1的正方體4。中,A尸分別是B'C'、仁。的中點.(I )求證:8、E、/、。共而；(II)求點4到平面8£包的距離：(III)求直線4。與平而比/曾所成角的大小.(理科)如圖，在棱長為1的正方體AC中，過8。及B'C的 中點上作截而陽Z)交CZ'于/.(I)求截而8£尸。與底而A38所成角的大小：(II)求四棱錐A' - BEFD的體積；(III)求直線AC與截而3EED所

7、成角的大小.20 .(本小題滿分12分)某工廠統(tǒng)計資料顯示，產(chǎn)品次品率與日產(chǎn)量X（XWN*）的關系如下表:日產(chǎn)量X1234 979899100次品率P1 10019919S1?7 4£3£21又生產(chǎn)一件正品能夠盈利。元,生產(chǎn)一件次品缺失2元.3（1）將該廠的日盈利額r（元）表示為日生產(chǎn)量x的函數(shù):（2）為了獲得最大盈利，該廠的日產(chǎn)量應定為多少件？21 .（本小題滿分12分）如圖,一粒子在區(qū)域（X y）x>O,y> 0上運動,在第一秒內它從原點運動到點"（0,1）,接著按圖中箭頭所示方向在X軸、y軸及其平行方向上運動，且每秒移動一個單位 長度。（1）設粒

8、子從原點到達點4、紇、C”時，所通過的時刻分別為丹、b,P c”，試寫出 勺、，、c“的通相公式：（2）（文科）求粒子從原點運動到點戶（16,44）時所需的時刻。（理科）粒子從原點開始運動，求通過2004秒后，它所處的坐標。22 .（本小題滿分14分）設A8是單位圓。的直徑，N是圓上的動點，過點N的切線與過點A、8的切線分別 交于D、C兩點。四邊形A8CD的對角線AC和8。的交點為G.（文科）求G的軌跡:（理科）過直徑A8上一定點"（異與4 B、O三點） 作直線/, /與G的軌跡交于匕、R兩點。求證兩條動 直線AR與BP、的交點P在垂直于AB的直線上。 I-2004年高考模擬試題數(shù)學

9、(三)(高三年級第二次診斷測試)參考答案一、選擇題(每小題5分，滿分60分)1. D .由拋物線)/=2px上一點M的橫坐標為4, M到焦點的距離為5,得 4 + 2 = 5= = 2 =）/=2x2x4 = |y| = 4,即點 M 到 x 軸的距離是 4.22. C.設球的半徑為R.球內接正方體的棱長為a,則=球的表面積與其內接正 方體的表而積之比是4/rR2:6a2 =4 3a2:6a2=-.23. A.函數(shù)/") = logjx22x 3)的圖像的對稱軸方程確實是y = /2x 3的對稱軸 x=l.4. C.從x軸上一點引園產(chǎn)+(,一)2=1的兩條切線，其中一條切線的斜率為士

10、，另一條33 確實是x軸，因此這兩切線夾角的正切值是.45. D.由函數(shù)/(x) = |sinA,|sinx4-|cosx|cosx,當 x 的終邊在第一象限時，/(x) = sinx sinx + cosx cosx = 1 ；當 x 的終邊在第二象限時，/(a) = sinx sinx cosx cosx = 一cos2x：當x 的終邊在第三象限時，/(x) = -sinx*sinx-cosx>cosx = -l ：當x 的終邊在第四象限時，/(a) = -sinx sinx + cosx cosx = cos2x： 當x的終邊在兩個坐標軸上時，/。） = -1或1：綜上述/（X）的

11、值域是-1,1.1 , str c ci b c + a b + c a + h6. A. 由a、b、c差不多上正數(shù)，且<<=<<a+ b b + c c + ab a cc + a . b + c . a + b .c + a + b b + c + a a + b + c=+1 <+1 <+1 =<<b a cbac1 1 1 ,=一 < <一= c <ab .b a c7. B.圓周上10個等分點，恰好構成5條直徑，要以其三個點為頂點構成三角形= 120個，其中直角三角形有=40個。概率是L8. A.由1=3,&

12、=4 得，2%+ = 3, 6% +15" =4 貝ij 12c/ = 5，S= 12q+66d=2(6% +15d) + 36d = 2x4+ 3x(-5) = -7.9. C.若麗= /4）與/= （2,3）垂直，則24 + 3 = 0=攵=一，四個答案都不符合: 2若與心=麗一衣=（女一2,-2）與而=（攵,1）垂直，則攵2一2攵一2 = 0 =攵=1土C符合.10. . C .在正三棱柱ABC A4G中，不妨設AB=2,則 AA = &A8=23,如圖所示D、E、F、G為對應線段的中點，異面 直線AR與AC1所成的角確實是DE與DG所成的角,DE二DG二摳,EG=3,

13、 由余弦定理得cosNEOG = L從而異面直線A.B與AC.所成的角2確實是的大小是工.311. D.若關于x的方程僅叫一2=" + 2有實根，等價于求函數(shù)。=（2叫一2一2得值 域，由于0 2川1則實數(shù)”的取值范疇是1,2） .12. B.以雙曲線左支上任意一點P為圓心、|戶甲為半徑的圓與以F?為圓心、J6月為半 2徑的圓相切，則2"=|尸周尸用=3"用因此 2ct雙曲線兩漸近線的夾角是巳.3二、填空題（每小題4分,滿分16分）13. 10000.設/(穴)=點 +。，/(3) = 34 + = 5,由/(1)J(2)J(5)成等比數(shù)列 =(2k + h)2

14、=(k + b)伊 +b),可得k = 2/=7 則 /(1) + /(2) + /(100) =2(1 + 2 + 3.+ 100) + 100x(-1) =10000.14. 2/,+, -1. (1 + x)(l + 2x)(1 + 4x). . (1 + 2Mx) (eN*)展開式中 x 的一次項的系數(shù)是 1 ?1-21 + 2 + 4 + 2 =一=一- = 2-1.r2的兩個端點處打到最小值y .如圖，要使函數(shù)），=4%在定義域,可上,16.,.,乃 ” 77r 4 乃,則一。的最大值是一一（）=.663值域為-三、解答題（本大題共6小題，共74分.解承諾寫出文字說明，證明過程或演

15、算步驟）17.解：(1) V F(x) = |2x-1|-x2 + 2x +1 = <-x2 + 4x x>0.5-v2+2 a-<0.5?(幻=-2x + 4 x > 0.52x x < 0.5二函數(shù)萬（x）在區(qū)間（-8, 0,上是增函數(shù)，在區(qū)間0,；卜2,+8）上是減函數(shù);(6分)（2）由函數(shù)/（x） = ax +的圖像與尸（文）的圖像相切于相異的兩點，得ax + = 一/ + 4x 的判別式=( - 4)2 - 4b = 0且心+ = 一/+2 的判別式，=。2-43-2）=。(10 分)9 因此求。= l,b = .4(12 分)18.解：（1）因為因此&

16、#163;«8+巳4三因此，= sin6 + cosd = >/7sin(e + ：) e ,故/的取值范疇是口,企(2) sinecos8 = ；(sine + cosO)（4分）（8 分）(3) sin，8 +cos* 0 = (sin 0 + cos )(sin2 - sin cos 0 + cos2 0)=(sin 0 + cos 8)(1 sin 9 cos 0)因為時，r（r） = j-r <0,因此- 2/在1,四上為減函數(shù), 因此/ mm =/（"）=q，=/（D = l（12 分）即sin'S + cos'e的最大值是1,最小值

17、是走219.（文科）如圖，（I）證明：在棱長為1的正方體AC中，由得BDWB ,又因為E、/分別是8'C C7X的中點，因此EFBfDf,因此杯|8。，即 8、E、F、。共而；（4 分）（II）解：在棱長為1的正方體4C中，連結AC、AC,因 為BDLAA'、BDLAC,因此平而ACCWLBEF。洪交 線為OO1,過A作交線為OO1的垂線AH,垂足為H, AH 的長確實是求點A到平面BEFD的距離，1 X 如圖 AfH = 3A'N = 34=： = j三故點A'到平面8£也）的距離是1：（8分）（IH）解：連接A。，DH ,由（1【）確實是4。在平而

18、 班萬曾上的射影，NA'?！贝_實是直線4。與平而3耳曾所A'成角，且AH = 1, AO =應，因此sin ZA'DH =J=1!, 叵 2&9C 1 O從而，直線AO與平面龐不曾所成角為巳. 4（12 分）（理科）（I ）解：在棱長為1的正方體4C中，連結AC、AfC ,因為 BD±AA BD±AC,因此平面ACCA'LB石廠。，其交線為OO】，再過。作垂直于底而的垂線交AC于a ,則NOQO）確實是截面8EED與底而ABC。所成角，由題意得,op. =1、OO、=叵,因此 tan /0。0、= - = 2也 4- V2T故截而8&

19、#163;尸。與底而A8CO所成角為arctan2應：4分< II）解：同（文）（II）點4到平面的距離是1,由上而。=皿呼，得。?'手,_虎+乎3鼻_913四棱錐A - BEFD的體積V = §Sbefd *=-8分(IH )解：連接A'C交。|于M,則NA'M”確實是直線AC與截面3與X)所成角,由 A”=l, A'M =-AfC = 55得 sinZ/TM"= =墳，3。95回故直線4C與截而BEFD所成角為arcsin -.12分 920.(本小題滿分12分)(1)解：設日產(chǎn)量為x (IWxWlOO, xcN*),則次品率=5入

20、,次品數(shù)為xp,正品數(shù)為x-xp,依題意T(x = a(x-xp)-xp = ax, (1 <x< 1OO> x Q N*) 6分33(101-x)44404(2)解：丁(幻=時1-7=101+ woi_x)+3( 101 x)33(101 x)41404<6/(101 + -2J)。V404當101-x = x89.40時，7(x)取最大值。10分3(101-x)因為xeN，能夠判定當x=89時，T(x)取最大值。因此，為了獲得最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應定為89件. 12分21. (1)解：設4(1,0),4(2,0),A(,0),當粒子從原點到達A”時，明顯有q =

21、3,% = q +12 = q +3x4,a. = a + 20 = & + 5 x 4, JJJ“2 = 4 + L % = 4 +1, 4=% + l，%i-l = a2n-3 + (2 - 1) X 4,。2n = %-l + 1,2分= 4 + 43 + 5 + + (2/z - 1) = 1= “21+1 = 4/4 分%-i =- 2(2 - 1) = 4n2-4n + l與+2x2 = 4/J+4c2n.i = %_i + (2n-) = 4n2 -2n = (2n-l)2 + (2n-l)c2n = a2n + 2n = 4n2 + 2n = (2n)2 + (2n)即

22、 cn = n2 +n7 分(2)(文科)有圖形知，粒子從原點運動到點尸(16,44)時所需的時刻是到達點。所 通過得時刻再加(44- 16) =28秒，因此 = 442+44 + 28 = 2008秒。12分(理科)由W2004,解得土跑”，取最大得"44,2運算得因此粒子從原點開始運動，通過198。秒后到達點。乜，再向左運行24秒所到達的點的坐標為(20, 44)。12分22.(本小題滿分14分)解：(文科)以圓心0為原點，直徑A8為x軸建立直角坐標系，則A (-1, 0), B (1, 0),單位圓的方程為V + y2=l設N的坐標為(cos8,sin。)，則切線DC的方程為：xcose+ysin8 = l,4 分l-cos。 一，1 + cos 0由此可得C 1.LD -1,sin 0 ) sin 0 /AC的方程為BD的方程為將兩式相乘得:1 一 cos。，八 y =(x+1)2 sing8分即 /+”2 =1 + cos 0 z .、 y = -(x-i)2sin6>, 1-COS2 0 z) (廠一I)，4snr 0當點N恰為A或B時，四邊形A8CQ變?yōu)榫€段AB,這不符合題意，因此軌跡不能包括A、B