2002年高考.全國卷.理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試卷（理科）及答案本試卷分第I卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁.第II卷3至9頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.第1卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷1至2頁.第II卷3至9頁.共150分.考試時(shí)間120分鐘.（1）圓（x 1）2 y21的圓心到直線yx的距離是 3(A)(B)(C) 1(D) <310(A) i(B) i(C)1(D) 1(3)不等式(1 x)(1 |

2、x|)0的解集是(A) x|0 x 1(B) x|x 0且 x 1(C) x| 1 x 1(D) x| x 1且 x 1(4)在(0,2 )內(nèi)，使 sinxcosx成立的x的取值范圍是5 、（A）0 （ ?。˙）（7, ）5 、(C) (-,-)(D)(-,)4 44(5)設(shè)集合M(A) M Nk1、k1一x | x, kZ, N x | x ,kZ,則2442(B) M N(C) M N (D) M N（6）點(diǎn)P（1,0）到曲線t2 -一公皿3一"曰A 一（其中參數(shù)t R）上的點(diǎn)的最短距離為2t.1. 3 Q(2)復(fù)數(shù)(一±±i)3的值是(A) 0(B) 1(

3、C) 22(D) 2(7) 一個圓錐和一個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那么這個圓錐軸截面頂角的余弦值是(A) 3(B) -(C) 3(D)-4555(8)正六棱柱ABCDEF AiBCiDiEiE的底面邊長為1,側(cè)棱長為22 ,則這個棱柱側(cè) 面對角線E1D與BC1所成的角是(A) 90(B) 60(C) 45(D) 30(9)函數(shù)y x2 bx c ( 0,)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是(A) 8 種 (B) 12 種(C) 16 種(D) 20 種(12)據(jù)2002年3月5日九屆人大五次會議政府工作報(bào)告：“2001年國內(nèi)生產(chǎn)總值達(dá)到 95933億元，比上年增長 7.3%”，

4、如果“十？五”期間(2001年2005年)每年的國內(nèi)生產(chǎn) 總值都按此年增長率增長，那么到“十？五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為(A) 115000 億元(B) 120000 億元(C) 127000 億元(D)135000 億元第II卷(非選擇題共90分)、填空題：本大題共 4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線.(13)函數(shù)y ax在0,1上的最大值與最小值這和為3,則a=(14)橢圓5x2 ky2 5的一個焦點(diǎn)是(0,2),那么k 273(15) (x 1)(x 2)展開式中x3的系數(shù)是. x2一111(16)已知 f(x) 那么 f(1) f(2) f(一) f (3) f (-)

5、 f (4)f(一) =1 x234三、解答題:本大題共 6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)已知 sin22 sin 2 cos cos2 1,(。,萬)，求 sin 、tg 的值.(18)如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直.點(diǎn)EM在AC上移動，點(diǎn)N在BF上移動，若CM BN(0 a 隹)(1)求MN的長；(2) a為何值時(shí)，MN的長最??；(3)當(dāng)MN的長最小時(shí)，求面 MNA與面MNB所成二面角 大小*(19)設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)(1,0)、(1,0)距離之差為2m,到x、 y軸的距離之比為2,求m的取值范圍.(20)某城市2

6、001年末汽車保有量為 30萬輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%,并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛,那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛？(21)設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) X2 | x a | 1 , x R(1)討論f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值.2(22)僅數(shù)列an滿足：an 1 annan 1, n 1,2,3,(I)當(dāng)q 2時(shí)，求a2,a3,a4并由此猜測an的一個通項(xiàng)公式；(II)當(dāng)a13時(shí)，證明對所的n 1,有 an n 2,.、11111(11) 1 a11a21a31 an 2參考答案一、選擇題題號123

7、456789101112答案ACDCBBCBABBC二、填空題(13) 2(14) 1(15) 1008(16) 72三、解答題(17)解：由 sin 2 2 sin 2 cos cos2 1,得22-224sin cos 2sin cos 2cos 0 2 cos2 (2sin2 sin 1) 02 cos2 (2sin 1)(sin 1) 0(0,-)2sin 1 0, cos2012sin 1 0,即 sin 2(18)解(I )作 MP / AB 交 BC 于點(diǎn) P ,NQ / AB交BE于點(diǎn)Q ,連結(jié)PQ ,依題意可得MP / NQ ,且MP NQ ,即MNQP是平行四邊形.MN P

8、Q由已知 CM BN a, CB AB BE 1 AC BF J2, CP BQ -a2MN PQ . (1 CP)2 BQ2(II )由(I)所以，當(dāng)a 二時(shí)，MN2八，2即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長最小，最小值為 三(III )取MN的中點(diǎn)G ,連結(jié)AG、BG , AM AN,BM BN, G 為 MN 的中點(diǎn)AG MN , BG MN ,即 AGB即為二面角的平面角又AG6BG ，所以,4由余弦定理有cos二 J 6 26 2()()14426644故所求二面角為1 arccos-3(19)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),依題設(shè)得3 2,即y 2x, x 0|x|因此，點(diǎn)

9、P(x, y)、M ( 1,0)、N(1,0)三點(diǎn)不共線，得| PM | | PN | | MN | 2 |PM | | PN | 2| m| 00 | m| 1因此，點(diǎn)P在以M、N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為 2 | m|的雙曲線上，故2 x2 m2- 11 m2x代入三m2 2 x2 m (1 m2 )，因 1 m201 5m所以1 5m2 0 - 5解得0 |m| 5即m的取值范圍為(15,0) (0,5) 55(20)解：設(shè)2001年末汽車保有量為 b1萬輛,以后各年末汽車保有量依次為 b2萬輛，b3萬輛，每年新增汽車 x萬輛，則b1 30, b2b1 0.94 x對于n 1,有bn 1bn 0.

10、94 x_ 2=bn 1 0.94(1 0.94)x所以bn 1b1 0.94n x(1 0.94 0.9420.94n)b1 0.94n0.06(30 ) 0.94n0.060.06x 一當(dāng) 300,即 x 1.8時(shí)0.06bn 1bnb1 30 ,x 一當(dāng)30 0,即x 1.8時(shí)0.06x數(shù)列bn逐項(xiàng)增加，可以任意靠近 x0.060.06lim bn lim (30 -) 0.94n 1n n 0.060.06因此，如果要求汽車保有量不超過60萬輛，即bn 60 ( n 1,2,3,)x 一 一 一則60,即x 3.6萬輛0.06綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過3.6萬輛.(21)解：(I)當(dāng)

11、a0時(shí)，函數(shù) f( x) ( x)2 | x| 1f(x)此時(shí)，f(x)為偶函數(shù)當(dāng) a 0時(shí)，f (a) a2 1, f ( a)2_a 2|a| 1,f(a) f( a)，f(a) f( a)此時(shí)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)01 0(II)當(dāng) x a時(shí)，f(x) x x a 1 (x -).1 當(dāng)a -,則函數(shù)f (x)在(，a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)3 a4f(x)在(,a上的最小值為1 一 13 一 1 一若a a，則函數(shù)f(x)在(，a上的最小值為f%) - a,且f%)f (a).1 9(ii)當(dāng) x a時(shí)，函數(shù) f(x) x x a 1 (x -)41一 .一.， 1右a2 ,則

12、函數(shù)f (x)在(，a上的最小值為f ( 2)1若a 萬，則函數(shù)f (x)在a,)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)3a431-a,且 f(萬)f(a)f (x)在a,)上的最小值為_2f(a) a2 1.13綜上，當(dāng)a時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為一a24.11一 一 2當(dāng) 一a 時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為a2 122.1一一3當(dāng)a 2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為-a .2.(22)解(I)由 a1 2 ,得 a2a1 a1 1 32由 a23,得a3a22a2142由 a34,得出a33a315由此猜想an的一個通項(xiàng)公式： an n 1 (n 1)(II) (i)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n 1時(shí)，a13 1 2,不等式成立.假設(shè)當(dāng)n k時(shí)不等式成立，即akk 2,那么ak 1ak(a