橢圓講義及例題

1、7橢圓1、 橢圓的第一定義：平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)Fi、F2的距離之和等于 常數(shù)(PFJ PF? | 2a FE),這個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫 橢圓的 焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作 橢圓的焦距。.注意：若(PFi | | PF Fi F?)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段FiF?；若(PFj |PFj |FiF2 )， 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡無(wú)圖形.2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 21) .當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：篤每1(a b 0)，其中c對(duì)稱性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程篤與1(a b 0):是a b以x軸、y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì) 稱中心的中心對(duì)稱圖形，這個(gè)對(duì)稱中心稱為橢圓的中心。 范圍：橢

2、圓上所有的點(diǎn)都位于直線x a和y b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x a , y b。(3) 頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱軸與橢圓的交點(diǎn)稱為 橢圓的頂點(diǎn)。橢圓1(a b 0)與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為A( a,0) , A2(a,0), BMO, b) , B2(0,b)。線段AA , B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，| AAj 2a,| B1B2 | 2b。a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)(4) 離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做 橢圓的離心率，用e表示，記作e乞C。因?yàn)?a c 0)，所以e的取值范圍是(0 e 1)。e越接近1,則c就 2a a越接近a，從而b

3、 a2 c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)，c 0，這 a2 b2 ；a b2 22) .當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：爲(wèi)冷1(a b 0)，其中a bc2 a2 b2;注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有 a> b> 0,并且橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上；mx2+ny2=1 。兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示:2 23、橢圓：務(wù)每1(a b 0)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)a bb22 2時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為 X2 y2 a、卜 、八注意:b21的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：假設(shè)已知橢圓方程b21 （ a 0,

4、b 0），且已知橢圓的準(zhǔn)線方程為2rX"i<7Ai負(fù) 0X -，試推導(dǎo)出下列式子：（提示：用三c角函數(shù)假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)PF |PF2|PF1 |PF2PM1 |PM 2 |2 X構(gòu)成的圖形。即上圖中有PM 1 |PM 2 |4、橢圓的另一個(gè)定義：至燃點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率的點(diǎn)所e標(biāo)準(zhǔn)方程2 2務(wù)占1 (a b 0)ab2 22 務(wù) 1 (a b 0) ab圖形rIL.¥0h 1Jt性質(zhì)隹占 八、丄、h( c,0) , F2 (c,0)F1(0, c) , F2(0,c)焦距| F1 F2 |2c| F1F22c范圍x a,|y|b1 X 丨 b , Iy|a

5、對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱頂點(diǎn)(a,0), (0, b)(0, a) , ( b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)- 2a，短軸長(zhǎng)- 2b離心率ce -(0 e 1) a準(zhǔn)線方程2 aXc2 ayc焦半徑|PRa ex0,PF2a eX)PF1 a ey。, PF2a ey。2 2 25、橢圓務(wù)書(shū) 1與 2a bab21 （a b 0）的區(qū)別和聯(lián)系一般而言：橢圓有兩條對(duì)稱軸，它們分別是兩焦點(diǎn)的連線及兩焦點(diǎn)連線段的中垂線；橢圓都有四個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是曲線與它本身的對(duì)稱軸的交點(diǎn)；離心率確定了橢圓的形狀（扁圓形狀），當(dāng)離心率越接近于0,橢圓越圓；當(dāng)離心率越接近于 1時(shí)，橢圓越扁。6. 直線與橢圓的位置關(guān)系1將直線方程

6、與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后通過(guò) 判別式來(lái)判斷直線和橢圓是否相交、相切或相離。2消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫(xiě)成兩根之和與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)。7. 橢圓方程的求解方法1要學(xué)會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法 來(lái)求橢圓方程，即設(shè)法建立a,b或者e,c中的方 程組，要善于抓住條件列方程。先定型，再定量，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，2 2 2 2應(yīng)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為篤每1 （ a b 0 ）或篤篤1 （ a b 0 ）；或者a ba b2 2不必考慮焦點(diǎn)的位置，直接把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為 1或者 mx2+ny2=1m n（m 0,n 0,m n），這樣可

7、以避免討論及繁雜的計(jì)算，當(dāng)已知橢圓上的兩點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)這種解題更方便。但是需要注意的是 m和n （或者丄和-）誰(shuí)代表a2，m n誰(shuí)代表b2要分清。不要忘記隱含條件和方程，例如：a2 b2 c2，e 等a等。不同的圓錐曲線有不同的隱含條件和方程，切勿弄混。2求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形分析，即使畫(huà)不出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想圖形，注意數(shù)形結(jié)合法的使用，切勿漏掉一種情況。課上例題：1. 方程x 2 2 y2 x 22 y210化簡(jiǎn)的結(jié)果是2 22. 已知點(diǎn)A （4,0）和B （2, 2）, M是橢圓-丄1上的一動(dòng)點(diǎn)，則259|MA|+|MB|的最大值是3. 求與橢圓4x2 9y2 36共焦點(diǎn)，且

8、過(guò)點(diǎn)（3,2）的橢圓方程。4.已知橢圓9x2 16y2 144，焦點(diǎn)為t、F? , P是橢圓 上一點(diǎn).若RPF2 60，求 PRF2的面積.2 25.已知橢圓1 匕1 ,M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)!為橢圓的左焦點(diǎn)，求線段MF!的2516中點(diǎn)P的軌跡方程。64的內(nèi)部與其相內(nèi)切,求動(dòng)2.已知橢圓方程2古1a b 0,焦點(diǎn)為Fi ,F2 , P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1PF2求:F1PF2的面積（用表示）.2 23以橢圓乞仏1231的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)直線I: x y 90上一點(diǎn)M作橢圓，要使所橢圓課后練習(xí)1.已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A 3,0 ,且在定圓B:x 32 y2圓圓心P的軌跡方程.作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.4.求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過(guò) AC.3, 2）和B（ 2、. 3,1）兩點(diǎn)的橢圓方 程.2當(dāng)1a b 0上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，且BF xb25.已知B是橢圓E:冷a軸，B（ 1，3 ）。2（1）求橢圓E的方程；設(shè)Al和A2是長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，直線I垂直于AA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D , |OD|=4 ， P是I上異于點(diǎn)D的任意一點(diǎn)，直線AP交橢圓E于M （不同于A、A2）設(shè)uuuur u