含參不等式解法舉例教學(xué)教材

1、含參不等式專題（淮陽中學(xué)）編寫：孫宜俊當(dāng)在一個(gè)不等式中含有了字母，則稱這一不等式為含參數(shù)的不等式，那么此時(shí)的參數(shù)可以從以下兩個(gè)方面來影響不等式的求解，首先是對不等式的類型（即是那一種不等式）的影響， 其次是字母對這個(gè)不等式的解的大小的影響。我們必須通過分類討論才可解決上述兩個(gè)問題，同時(shí)還要注意是參數(shù)的選取確定了不等式的解， 而不是不等式的解來區(qū)分參數(shù)的討論。解參數(shù)不等式一直是高考所考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是同學(xué)們在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到但又難以順利解決的問題。下面舉例說明，以供同學(xué)們學(xué)習(xí)。解含參的一元二次方程的解法，在具體問題里面，按分類的需要有討論如下四種情況：（ 1） 二次項(xiàng)的系數(shù)；（ 2）判別式；（

2、3）不等號方向（4）根的大小。一、含參數(shù)的一元二次不等式的解法：1二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)（能分解因式先分解因式，不能得先考慮0 ）例1、解關(guān)于X的不等式x2 （a 1）x a 0。解： （x2 a）（x 1） 0令 （x a）（x 1） 0 x a,x 1 為方程的兩個(gè)根（因?yàn)?a 與 1 的大小關(guān)系不知，所以要分類討論）（1）當(dāng)a1 時(shí)，不等式的解集為 x | x1或x a（2）當(dāng)a 1時(shí)，不等式的解集為x|x a或x 1（3）當(dāng)a1 時(shí)，不等式的解集為 x | x1綜上所述：（1）當(dāng)a1 時(shí)，不等式的解集為 x | x1或x a（2）當(dāng)a 1時(shí)，不等式的解集為x|x a或x 1（3）當(dāng)a1 時(shí)，

3、不等式的解集為 x | x1變題 1、解不等式x2 （a 1）x a 0；2、解不等式x2 （a2 a）x a3 0。小結(jié)： 討論兩個(gè)根的大小關(guān)系，尤其是變題2 中 2 個(gè)根都有參數(shù)的要加強(qiáng)討1 / 56 / 5例2、解關(guān)于x的不等式2x2 kx k 0分析 此不等式為含參數(shù)k的不等式，當(dāng)k值不同時(shí)相應(yīng)的二次方程的判別 式的值也不同，故應(yīng)先從討論判別式入手.解 k2 8k k(k 8)(1)當(dāng) 0,既k8或k 0時(shí)，方程2x2 kx k 0有兩個(gè)不相等的實(shí)根。所以不等式2x2 kx k 0的解集是：k k(k 8)4kk(k-8)x 48或k 01,方程2x2 kx k 0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所

4、以不等式2x2 kx k 0的解集是-，即2,0;4(3)當(dāng) 0,即8 k 01,方程2x2 kx k 0無實(shí)根所以不等式2x2 kx k 0的解集為 。說明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數(shù)有著密切的聯(lián)系，要 注意數(shù)形結(jié)合研究問題。小結(jié)：討論，即討論方程根的情況。2.二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)(先對二次項(xiàng)系數(shù)討論，分大于、等于或小于0,然后能分解因式先分解因式，不能得先考慮0)例3、解關(guān)于x的不等式：ax2 (a 1)x 1 0.解：若a 0,原不等式x 1 0 x 1.11右a 0,原不等式(x -)(x 1) 0 x 或x 1.aa1右a 0,原不等式 (x -)(x 1) 0.()a其

5、解的情況應(yīng)由1與1的大小關(guān)系決定，故 a(1)當(dāng)a 1時(shí)，式()的解集為；(2)當(dāng) a 1時(shí)，式()-x 1 ;a一一1(3)當(dāng) 0 a 1時(shí)，式()1 x 一.a.、.一、, _1綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，解集為xx ,或x 1；a當(dāng)a 0時(shí)，解集為xx 1；當(dāng)0 a 1時(shí)，解集為x1 x -； a當(dāng)a 1時(shí)，解集為當(dāng)a 1時(shí)，解集為x - x 1. a例4、解關(guān)于x的不等式:2 axax0.解：ax2ax 10.(1) a0時(shí),R.(2) a0時(shí),4a4,此時(shí)兩根為x1a2 4a2ax2a2 4a2a當(dāng)a 0時(shí),0,a2 4a2aaa2 4a2a ，a 0時(shí),0,1當(dāng)a4時(shí)，0,()xR且x1

6、 ;a . a2 4aa . a2 4a當(dāng)a4時(shí)，0,( )x或x .2a2a綜上，可知當(dāng)a 0時(shí)，解集為(a a2 4a , a a2 4a);2a2a當(dāng)4 a 0時(shí)，解集為R;1 1當(dāng)a 4時(shí)，解集為(，)();2 2當(dāng) a4 時(shí)，解集為(,a、a2 4a) ( a a2 4a,).2a2a例5、解關(guān)于的x不等式(m 1)x2 4x 1 0(m R)分析：當(dāng)m+1=0時(shí),它是一個(gè)關(guān)于x的一元一次不等式；當(dāng)m+1 1時(shí)，還需 對m+10及m+10來分類討論，并結(jié)合判別式及圖象的開口方向進(jìn)行分類討論： 當(dāng)m0,圖象開口向下，與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不 等式的解集取兩邊。當(dāng)一1m0,圖象開口向上，

7、與 x 軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，不等式的解集取中間。當(dāng) m=3時(shí)，=4 (3-m) =0,圖 象開口向上，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，不等式的解為方程 4x2 4x 1 0的根。當(dāng)m3時(shí)，=4 (3-m) 3時(shí)，原不等式的解集為。小結(jié)：解含參數(shù)的一元二次不等式可先分解因式再討論求解，若不易分解,也可對判別式分類討論。利用函數(shù)圖象必須明確：圖象開口方向，判別式確定解的存在范圍，兩根大小。二次項(xiàng)的取值(如取0、取正值、取負(fù)值)對不等式實(shí)際解的影響。牛刀小試：解關(guān)于x的不等式ax2 2(a 1)x 4 0, (a 0)思路點(diǎn)撥：先將左邊分解因式，找出兩根，然后就兩根的大小關(guān)系寫出解集。 具體解答請同學(xué)們自己完成

8、。二、含參數(shù)的分式不等式的解法：例1:解關(guān)于x的不等式2ax 10x x 2分析：解此分式不等式先要等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，再對ax-1中的a進(jìn)行分類討論求解，還需用到序軸標(biāo)根法。解：原不等式等價(jià)于(ax 1)(x 2)(x 1) 0當(dāng)a=0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x 2)(x 1) 0解得1x2,此時(shí)原不等式得解集為x| 1 x 2;1當(dāng)a0時(shí)，原不等式等價(jià)于(x -)(x 2)(x 1) 0, a則：當(dāng)a 1時(shí)，原不等式的解集為x|x1且x 2；2當(dāng)0 a時(shí)，原不等式的解集為x |x 或1x2；2a當(dāng)a2時(shí)，原不等式的解集為x| 1 x 1或x 2 ;2a1當(dāng)a1和a1分為兩類，再在a1的情況下，又要按兩根-2與2的大小關(guān)系分為 a 1a 0,a 0和0 a 1三種情況。有很多同學(xué)找不到分類的依據(jù)， 缺乏分類討論的 意識，通過練習(xí)可能會(huì)