區(qū)間估計ppt課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程第七章 參數(shù)估計v 理解總體、個體、簡單隨機樣本和統(tǒng)計量的概念，掌握 樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。v 了解卡方分布、t分布和F分布的定義及性質(zhì)，了解分布 分位數(shù)的概念并會查表計算。v 了解正態(tài)總體的某些常用統(tǒng)計量的分布。v 理解點估計的概念。v 掌握矩估計法和極大似然估計法。v 了解估計量的評選標準（無偏性、有效性、一致性）。v 理解區(qū)間估計的概念。v 會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間。v 了解兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間。 第七章 參數(shù)估計第四節(jié) 區(qū)間估計一、區(qū)間估計的方法與步驟二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計四、兩個正態(tài)

2、總體均值差的區(qū)間估計五、兩個正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計 對一個未知量, 人們在測量或計算時, 常不以得到近似值為滿足, 還需估計誤差, 即要求知道近似值的精確程度(亦即所求真值所在的范圍). 類似地, 對于未知參數(shù)q, 除了求出它的點估計 外, 還希望估計出一個范圍, 并希望知道這個范圍包含參數(shù)q真值的可信程度. 這樣的范圍通常以區(qū)間的形式給出, 同時還給出此區(qū)間包含參數(shù)q真值的可信程度. 這種形式的估計稱為區(qū)間估計.q q一、區(qū)間估計的方法與步驟一、區(qū)間估計的方法與步驟置信區(qū)間置信區(qū)間 設總體X的分布函數(shù)F(x;q)含有一個未知參數(shù)q, q(是q的可能取值范圍), 對于給定值a(0a1), 若

3、由樣本X1,X2,.,Xn確定的兩個統(tǒng)計量q = q(X1,X2,.,Xn)和q =q(X1,X2,.,Xn)(q q), 對于任意q 滿足 Pq(X1,X2,.,Xn) q q(X1,X2,.,Xn)1-a (1) 則稱隨機區(qū)間(q ,q)是q的置信水平為1-a的置信區(qū)間, q 和q分別稱為置信水平為1-a的雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限.當X是連續(xù)型隨機變量時, 對于給定的a, 總是按要求P(q q q)=1-a求出置信區(qū)間, 而當X是離散型隨機變量時, 對于給定的a, 常常找不到區(qū)間(q ,q)使得P(q q q)恰為1-a. 此時去找區(qū)間(q ,q)使得P(q q q)至少為1-a,

4、 且盡可能地接近1-a.(1)式的含義為:若反復抽樣多次(各次得到的樣本的容量相等, 都是n), 每個樣本值確定一個區(qū)間(q ,q), 每個這樣的區(qū)間要么包含q的真值, 要么不包含q的真值, 按大數(shù)定律, 包含q真值的約占100(1-a)%, 不包含q真值的約占100a%, 例如, 若a=0.01, 反復抽樣1000次, 則得到的1000個區(qū)間中不包含q真值的約僅為10個. 例 設總體XN(m,s2), s2為已知, m為未知, 設X1,X2,.,Xn是來自X的樣本, 求m的置信水平為1-a的置信區(qū)間.解).,(NnX10sm-且有是的無偏估計,X我們知道參數(shù)1)不依賴于任何未知所服從的分布N

5、(0,nXsm-按標準正態(tài)分布的上a分位點的定義, 有)(,znXP/312asma-0a/2za/2a/2-za/2這樣就得到了m的一個置信水平為1-a的置信區(qū)間( (5 5) ). .z zn nX X, ,z zn nX X/ /2 2/ /2 2-常寫成( (4 4) ). .1 1z zn nX Xz zn nX XP P( (3 3) ), ,1 1z zn nX XP P/ /2 2/ /2 2/ /2 2-( (6 6) ). .z zn nX X/ /2 2如果取a=0.05, 即1-a=0.95, 又若s=1, n=16, 查表得za/2=z0.025=1.96. 于是得到

6、一個置信水平為0.95的置信區(qū)間(7)0.49).X即(,1.96161X 再者, 若由一個觀察值算得樣本均值的觀察值x =5.20, 則得到一個區(qū)間(5.200.49), 即 (4.71, 5.69)(6).znX/2 最后得到的區(qū)間(4.71,5.69)已經(jīng)不是隨機區(qū)間了, 但我們?nèi)苑Q它為置信水平為0.95的置信區(qū)間. 其含義是: 若反復抽樣多次, 每個樣本值(n=16)按(4.7)式確定一個區(qū)間, 按上面的解釋, 在這么多的區(qū)間中, 包含m的約占95%, 不包含m的約僅占5%. 現(xiàn)在抽樣得到區(qū)間(4.71,5.69), 則該區(qū)間屬于那些包含m的區(qū)間的可信程度為95%, 或該區(qū)間包含m這一

7、陳述的可信度為95%.然而, 置信水平為1-a的置信區(qū)間并不是惟一的. 以上例來說, 若給定a=0.05, 則又有(8)znX,znX故0.95.znXznXP0.95,znXzP0.040.010.040.010.010.04-也是置信水平為0.95的置信區(qū)間.而比較兩個置信區(qū)間而比較兩個置信區(qū)間比比前前者者要要大大. ., ,n n為為4 4. .0 08 8后后者者的的區(qū)區(qū)間間長長度度, ,n n9 92 2前前者者的的區(qū)區(qū)間間長長度度為為3 3. .z zn nX X, ,z zn nX X和和z zn nX X, ,z zn nX X0 0. .0 04 40 0. .0 01 10

8、 0. .0 02 25 50 0. .0 02 25 5- 易知, 象N(0,1)分布那樣其概率密度的圖形是單峰且對稱的情況, 當n固定時, 以形如(5)那樣的區(qū)間其長度為最短. 我們自然選用它.通過上例, 可看到求未知參數(shù)q的置信區(qū)間的具體做法如下(1)尋求一個樣本X1,X2,.,Xn的函數(shù):W=W(X1,X2,.,Xn;q),它包含待估的參數(shù)q, 而不含其它未知參數(shù), 并且W的分布已知且不依賴于任何未知參數(shù)(當然不依賴于待估參數(shù)q);(2) 對于給定的置信水平1-a, 定出兩個常數(shù)a,b, 使PaW(X1,X2,.,Xn;q)b)1-a;(3) 若能從aW(X1,X2,.,Xn;q)b得

9、到等價的不等式q q q, 其中q=q(X1,X2,.,Xn), q =q(X1,X2,.,Xn)都是統(tǒng)計量, 那么(q,q)就是q的一個置信水平為1-a的置信區(qū)間.函數(shù)W(X1,X2,.,Xn;q)的構(gòu)造, 通?？梢詮膓的點估計著手考慮. 常用的正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間可以用上述步驟推得.二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計 設已給定置信水平為1-a, 并設X1,X2,.,Xn為總體N(m,s2)的樣本. X, S2分別是樣本均值和樣本方差.1,均值m的置信區(qū)間(a) s2為已知, 此時由例1采用(2)的函數(shù), 已得到m的置信水平1-a為的置信區(qū)間為(1)znX/2(b) s2

10、為未知, 由第六章定理三, 知(2),n( tnSX1-m(3)11)(ntnSX1)(ntP/2/2-右邊的分布t(n-1)不依賴于任何未知參數(shù), 可得(3)amaa-11122)n(tnSX)n(tP/0a/2a/2-ta/2(n-1)ta/2(n-1)于是得m的一個置信水平為1-a的置信區(qū)間( (4 4) ). .1 1) )( (n nt tn nS SX X/ /2 2-.11)(ntnSX1)(ntnSXP即(3)11)(ntnSX1)(ntP/2/2/2/2-例1 從一大批糖果中隨機取16袋, 稱得重量(克)為:506,508,499,503,504,510,497,512,51

11、4, 505,493,496,506,502,509,496 設袋裝糖果重量近似服從正態(tài)分布, 求總體均值m的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, t0.025(15)=2.1315, 算得x=503.75, s=6.2022. 由(4)式算得置信區(qū)間為,2.1315166.2022503.75即 (500.4, 507.1).2, 方差方差s s2的置信區(qū)間的置信區(qū)間(m m未知未知) s s2的無偏估計為S2, 由第六章2定理二知),1n(S)1n(222-s-(6)11)(n1)S(n1)(n1)S(nP即(6)11)(n1)S(n1

12、)(nP2/21222/222/2222/21-上式右端分布不依賴任何參數(shù), 故有a-s-aa-1) 1n(S) 1n() 1n(P22/2222/1a/2)1(22/- -na a )1(22/1- - -na a a/2得到方差s2的一個置信水平為a的置信區(qū)間(7)(7). .1)1)(n(n1)S1)S(n(n, ,1)1)(n(n1)S1)S(n(n2 2/2/21 12 22 2/2/22 2-)6(1)1n(S)1n()1n(S)1n(P1)1n(S)1n()1n(P22/12222/222/2222/1a-s-a-s-a-aaa-即由(6)式還可得到標準差s的1-a置信區(qū)間為)

13、8 (1n(S1n,1n(S1n22/122/-a-a 在密度函數(shù)不對稱時, 如2分布和F分布, 習慣上仍是取對稱的分位點來確定置信區(qū)間的.(6)11)(n1)S(n1)(n1)S(nP2/21222/22-例2 求例1中總體標準差s的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 現(xiàn)在a/2=0.025, 1-a/2=0.975, n-1=15, 查表得,262. 6)15(,488.27)15(2975. 02025. 0 又s=6.2022, 由(5.8)式得所求的標準差s的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為(4.58, 9.60)三、單側(cè)置信區(qū)間三、單側(cè)置信區(qū)間在上述討論中, 對于未知參數(shù)q, 我們

14、給出兩個統(tǒng)計量q,q, 得到q的雙側(cè)置信區(qū)間(q,q). 但在一些實際問題中, 例如, 對于設備, 元件的壽命來說, 平均壽命長是我們所希望的, 我們關心的是平均壽命q的下限, 與此相反, 在考慮化學藥品中雜質(zhì)含量的均值m時, 我們常關心參數(shù)m的上限. 這就引出了單側(cè)置信區(qū)間的概念.對于給定值a(0aq q 1- -a a,(1)稱隨機區(qū)間(q, )是q的置信水平為1-a的單側(cè)置信區(qū)間, q 稱為q的置信水平為1-a的單側(cè)置信下限.又若統(tǒng)計量q =q(X1,X2,.,Xn), 對于任意q滿足Pq q q q 1- -a a,(2)稱隨機區(qū)間(-,q )是q 的置信水平為1-a的單側(cè)置信區(qū)間,

15、q 稱為q 的置信水平為1-a的單側(cè)置信上限.例如對于正態(tài)總體X, 若均值m, 方差s2均為未知, 設X1,X2,.,Xn是一個樣本, 由) 1n( tnSX-m-.1) 1n(tnSXP,1) 1n(tnSXPa-ma-m-aa有即即于是得到于是得到m m的一個置信水平為的一個置信水平為1-a-a的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間)3(.),1n(tnSX-a)4().1n(tnSX-mam m的置信水平為的置信水平為1-a-a的單側(cè)置信下限為的單側(cè)置信下限為又由又由),1()1(222- - -nSn s s.1)1()1(,1)1()1(21222122a a s sa a s sa aa a

16、- - - - - - - - - - - - -nSnPnSnP有有即即于是得于是得s s2的一個置信水平為的一個置信水平為1-a-a的單側(cè)置信區(qū)間的單側(cè)置信區(qū)間)5(.) 1n(S) 1n(, 0212-a-)6(.) 1n(S) 1n(2122-sa-s s2的置信水平為的置信水平為1-a-a的單側(cè)置信上限為的單側(cè)置信上限為例 從一批燈泡中隨機地取5只做壽命試驗, 測得壽命(以小時計)為1050, 1100, 1120, 1250, 1280設燈泡壽命服從正態(tài)分布. 求燈泡壽命平均值的置信水平為0.95的置信下限.解 1-a=0.95, n=5, ta(n-1)=t0.05(4)=2.1

17、318,x=1160, s2=9950. 由(7.4)式得所求單側(cè)置信下限為.1065) 1n(tnsx-ma(二)兩個總體N(m1,s12), N(m2,s22)的情況個總體的樣本方差.二分別是第一,S,S二個總體的樣本均值,分別為第一,Y,X且設這兩個樣本相互獨立,本,是來自第二個總體的樣Y,Y,Y本;是來自第一個總體的樣X,X,X并設,設已給定置信水平為12221n21n2121-1,兩個總體均值差兩個總體均值差m m1- -m m2的置信區(qū)間的置信區(qū)間-2221212122221121212221nn,NYX)得n,N(Y),n,N(X的獨立性以及Y,X由的無偏估計,是YX故偏估計,的

18、無,分別為Y,X因均為已知.,(a)或)9 . 5(),1 , 0()()(22212121NnnYXs ss sm mm m - - - -)10. 5(.2221212/ - -nnzYXs ss sa a即得m1-m2的一個置信度為1-a的置信區(qū)間(b) s12=s22=s2, 但s2為未知. 此時)11. 5().2(11)()(212121- - - - - -nntnnSYXwm mm m221222211221212/,2)1()1()12. 5( .11)2(wwwwSSnnSnSnSnnSnntYX - - - - - - - - - -此此處處a a從而可得m1-m2的一個

19、置信水平為1-a的置信區(qū)間為(5.13)例3 為比較I,II兩種型號步槍子彈的槍口速度, 隨機地取I型子彈10發(fā), 得到槍口速度的平均值為x1=500(m/s), 標準差s1=1.10(m/s), 隨機地取II型子彈20發(fā), 得到槍口速度的平均值為x2=496(m/s), 標準差s2=1.20(m/s). 假設兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布, 且由生產(chǎn)過程可以認為方差相等. 求兩總體均值差m1-m2的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 用(5.12)式求均值差的置信區(qū)間. 1-a=0.95, a/2=0.025, n1=10, n2=20, n1+n2-2=28, t0.025(28)=2

20、.0484. sw2=(91.102+191.202)/28, sw=1.1688, 故所求均值差m1-m2的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間是),93. 04(201101)28(025. 021 - -tsxxw即 (3.07, 4.93).本題中得到的置信區(qū)間的下限大于零, 我們就認為m1比m2大.例4 為提高某一化學生產(chǎn)過程的得率, 試圖采用一種新的催化劑, 為慎重起見, 在實驗工廠先進行試驗. 設采用原來的催化劑進行了n1=8次試驗, 得到得率的平均值x1=91.73. 樣本方差s12=3.89; 又采用新的催化劑進行了n2=8次試驗, 得到的得率的均值x2=93.75, 樣本方差s

21、22=4.02. 假設兩總體都可認為服從正態(tài)分布, 且方差相等, 兩樣本獨立. 試求兩總體均值差m1-m2的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 現(xiàn)在.96. 3,96. 32)1()1(212222112 - - - - - - wwsnnsnsns),13. 202. 2(8181)14(025. 021 - - - -wstxx由(5.12)式得所求的置信區(qū)間為即即 (-4.15, 0.11).(-4.15, 0.11).由于所得置信區(qū)間包含零由于所得置信區(qū)間包含零, , 認為兩種均值沒有顯認為兩種均值沒有顯著差別著差別. .2, 兩個總體方差比s12/s22的置信區(qū)間僅討論總體均值m1,m2為未知的情況, 由第六章2定理四)14. 5(),1, 1(2122212221- - -nnFSSs ss s)15. 5(,1)1, 1()1, 1(212/22212221212/1a as ss sa aa a- - -