二次根式復(fù)習(xí)專題講義(補課用)

1、二次根式復(fù)習(xí)專題講義一、二次根式的概念：1. 二次根式：形如,a (a0)的式子叫做二次根式，“，-稱為二次根號。 .式子中，被開方數(shù)(式)必須大于等于零 .(a 0)是一個非負數(shù)。 .(扁)2 = a (a0); Va2=a (a0)2. 二次根式的乘： .一般的，有 掐 7b = Tab . (a0, b0) .反過來，有 vab = Vaa 0 , b 0)3. 二次根式的除：.一般地，對二次根式的除法規(guī)定:-a=.a(a 0,b0),.反過來，(a0, b0)4. 二次根式的加減法則:二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并。典型例題分析：例

2、1.下列式子，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式：V2、V3、1、VX (x0)、屈、V2、- V2、一1-、y (x0,xx y例2當(dāng)x是多少時，.2FP +丄在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?x 1變式題1:當(dāng)x是多少時，、,3n在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?變式題2:.當(dāng)x是多少時，旦衛(wèi)+x2在實數(shù)范圍內(nèi)有x意義？例3.已知y亍+、戸+5，求-的值.y .若-、廠+.尸=0，求a2004+b2004的值. .已知ri+ r=0，求xy的值.例4.計算1. G. 3 ) 22. ( 3 ,5 ) 23 -(,6)24 -( )2例5.計算1.(廠)2 (x0)2. ( .a2 ) 23. (、a2 2a 1 )

3、24. ( 4x2 12x 9) 2變式題：計算1. (-3* ) 22. (2、3 3.2)(2,3 3.2)例6.在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式(1) x2-3(2) x4-4(3) 2x2-3例7.化簡(1) 9(2) ,r4(3) . 25(4).百例8.填空：當(dāng) a 0時，佇=；當(dāng)aa，則a可以是什么數(shù)？例 9.當(dāng) x2，化簡、.廠2)2 - J(廠2x)2 .例10.先化簡再求值：當(dāng) a=9時，求a+j_2a2的值， 甲乙兩人的解答如下：甲的解答為：原式=a+ .(1 a)2 =a+ (1-a ) =1;乙的解答為：原式 =a+.、(1 a)2 =a+ (a-1 ) =2a-1=1 7.

4、兩種解答中， 的解答是錯誤的，錯誤的原因是變式題 1 .若丨 1995-a | +Ja 2000 =a，求 a- 19952 的值.(提示：先由a-200 0 0,判斷1995-a?的值是正數(shù)還是 負數(shù)，去掉絕對值)變式題2.若-3 x 0, b 0)計算即可. 解：(1),5 X . 735(2) 1 X 9=3 9=.3(3) 、9 x、27 = .9 2792 3=9 3(4) 1 X . 6 =冷 6= 3例12 .化簡(1) .916(2) .1681(3)81 100(4)9x2y2(5) . 54例13 .判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：(1) , ( 4)(9)4 .

5、 925(2) 、412 X 25 =4 X . 12 X、25 =4, 12 X , 25 =4 . 12=8 ., 3變式題1:若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15 cm 變式題2:化簡a, 1的結(jié)果是（）.和12cm , ?那么此直角三角形斜邊長是（).變式題 3: 014=. V169X6變式題4: 一個底面為30cm X 30cm長方體玻璃容器中裝滿水，？現(xiàn)將一部分水例入一個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘米?變式題5：探究過程:觀察下列各式及其驗證過程.22 2 _(23(23 2) 23= ： 3：3驗證：2

6、| = 22 X223 2 22彳2122(21 )2 22322123 3霍=3333 33223(31)32 232 132 1驗證：變式題4有一種房梁的截面積是一個矩形，且矩形的長與寬之比為.3 : 1, ?現(xiàn)用直徑為 3,15 cm的一種圓木做原料加工這種房梁，那么加工后的房染的最大截面積是多少?變式題5.計算= 32 X23(31) 3同理可得：4ll4 415524通過上述探究你能猜測出:a(a0),并驗證你的結(jié)論.例14.計算:(1)竺(2)(3)16(4)還例16 .已知i廠如，且x為偶數(shù)，求（1+x ）XL5LJV x 6 yjx 6 x 1的值.變式題1計算打 W -5的結(jié)

7、果是（）.變式題2.閱讀下列運算過程：1737322亦24533-33 5555數(shù)學(xué)上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，那么，化簡+的結(jié)果是（）.變式題3.已知x=3，y=4，z=5，那么yz xy的最后結(jié)果（-m右） m,2m3(m0, n0)2m3(2) -33 m2 3n22a2（3：2n ) X例17.把它們化成最簡二次根式:3 12 ；x?y4x4y2 ; (3) 8x2y3總結(jié)：二次根式有如下兩個特點:1 .被開方數(shù)不含分母;2 .被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.例 18.如圖，在 Rt ABC 中，/ C=9

8、0, AC=2.5cm,BC=6cm 求AB的長.例19.觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:丄二 1(2)AJ-2 -1 ,-2 1 (*2 1)( 2 1) 2 1 才72=才肓浮鬲 弓產(chǎn)=曲-血，同理可得：1 =-,4- 3 ,V4 V3從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算(才? + ； + */3 + 72002 72001)( 72002+1 的值.練習(xí)：一、選擇題1 .如果-(y0)是二次根式，那么，化為最簡二次 y根式是().A .丄(y0) B .石(y0)C .旦(y0)-yyD.以上都不對2 .把(a-1 )al中根號外的(a-1)移入根

9、號內(nèi)得()A . a 1 B . 1 a C . - . a 1 D . - 1 a3.在下列各式中，化簡正確的是(1 = 1 .2C .a4b =a2 、b X3x2 =Xx 14.化簡逬的結(jié)果是- 63、填空題1.化簡,x4 x2y22 . a J 化簡二次根式號后的結(jié)果是 .三、綜合提高題1 .已知a為實數(shù)，化簡：.a3 -a、1，閱讀下面的解答 過程，請判斷是否正確？若不正確，？請寫出正確的解答過程：2 .若x、y為實數(shù)，且y= X2 4* 4 X2 1，求_x y卜y 的值.例20.計算(1)8+18(2)16x + 64x總結(jié)：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，？再

10、將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.例21.計算(1) 3 .48 -9已+3、12(2) ( 48 +. 20 ) + ( .12 - .5 )例 22.已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求(2x 9x+y2,三)3V y-(x 1 -5x 二)的值. x x練習(xí):、選擇題1 .以下二次根式：.12 :.、2三、綜合提高題 .已知、5 - 2.236，求(.80-疋)-(一.31+. 45 )的值.(結(jié)果精確到0.01 ) .先化簡，再求值.(6x 4+27X7) - (4x $+736刃),其中 x=- , y=27. x y y2例23.如圖所示的 Rt ABC中，/ B=90 點

11、P從點 ；，2 :価中，與.3是同類二次根式的是（）.A .和B .和 C .和D .和2 .下列各式：3 3 +3=6 .3 ;1 ,7 =1 ；2+ 6= ,8=2.2 :24=2 2，其中錯誤的有（)A . 3個 B . 2個 C . 1個 D . 0個二、填空題1 .在、8、1 x75a、2 ,9a、2、看、3. 0.2、-2 ,-中，33a8與 岳 是同類二次根式的有 .2 .計算二次根式5 ,a-3 J -7、a +9 ,b的最后結(jié)果是B開始沿BA邊以1厘米/?秒的速度向點 A移動；同時，點 Q 也從點B開始沿BC邊以2厘米/秒的速度向點C移動.問： 幾秒后 PBQ的面積為 35平

12、方厘米？ PQ的距離是多少厘 米？（結(jié)果用最簡二次根式表示）例23.要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精 確到0.1m）？例24.若最簡根式3ab4a3b與根式. 2ab-b6b2是同類二 次根式，求a、b的值.（？同類二次根式就是被開方數(shù)相同 的最簡二次根式）練習(xí)：一、選擇題1 .已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5,那么斜邊的長應(yīng)為（）.（?結(jié)果用最簡二次根式）A . 5 2 B . 50 C . 2,5 D.以上者E不對2 .小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，？為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一根木條，木條的長應(yīng)為（）米.（結(jié)果同最簡

13、二次根式表示）A .13 100 B .一 1300C .10.13 D .5 13二、填空題1 .某地有 長方形魚塘，已知魚塘的長是寬的2倍，它的面積是1600m2, ?魚塘的寬是m.（結(jié)果用最簡二次根式）2.已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為、2 , ?那么這個等腰直角三角形的周長是.（結(jié)果用最簡二次根式）三、綜合提高題1 .若最簡二次根式23m22與n2 14m2 10是同類二次根3式，求m n的值.2 .同學(xué)們，我們以前學(xué)過完全平方公式a2 2ab+b2= （a b）2,你一定熟練掌握了吧！現(xiàn)在，我們又學(xué)習(xí)了二次根式，那么所有的正數(shù)（包括 0）都可以看作是一個數(shù)的平方，如 3= （、3

14、 ） 2, 5= （., 5 ） 2，你知道是誰的二次根式呢？下面我 們觀察：（ 2-1 ） 2= （、2） 2-2 1 2+12=2-2 .2+1=3-2、2 反之，3-2 2=2-2 2+1= （、2-1 ） 23-2 . 2 = （ -、2 -1 ）求：（1） , 32；i ；(3)你會算,12 嗎？( V-1)(4) 若 a 2,b=.m .n，則m n與a、b的關(guān)系是什 么？并說明理由.例25.計算：(1) (一6 + 二8 ) X( 2) (4 6-3 ,2 )+ 2 2例26.計算(1) ( .5+6) (3- .5)(2) ( JT0+ .7 ) ( -,10- .7 )例27

15、.已知 口=2-x a，其中a、b是實數(shù)，且a+b豐0, ab化簡x 1,x + x 1 x，并求值。Vx 1 Jx Jx 1 Vx練習(xí):、選擇題1. ( .24-3 .15+2 .22)X ,2的值是（）.A. 20 3 -3 30B.3 30 - 2 . 333C . 2 30- 2 .3D.20 3 -30332 .計算（，x + -、x1)（x - ； x 1 ）的值是（）A . 2 B . 3 C . 4 D . 1、填空題1（-2丐）求X 1 xp + x 1的值.(結(jié)果x 1 x2 x x 1 x2 x用最簡二次根式表示）課外知識1 .同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后

16、，的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是.化簡.1014 15、,21當(dāng) x=211 時,它們的被開方數(shù)相同，?這些二次根式就稱為同類二次根式，就是本書中所講的被開方數(shù)相同的二次根式.練習(xí)：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（）.A. V2x與 盪7 B . a2. (1-2 .3 ) (1+2 3) - (2 3-1 ) 2的計算結(jié)果(用最簡二次根式表示）是 .若 x=T2-1，貝U x2+2x+1=.b.已知 a=3+2 盪,b=3-2 屈，貝U a2b-ab 2= 與 J9a三、綜合提高題b8C. mn 與n D . m n 與、m n2 .互為有理化因式：？互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積可以運用平方差公式(a+b) (a-b ) =a2-b 2，同時它 們的積是有理數(shù)，不含有二次根式：如X+1- .x2x與X+1+ x_2x就是互為有理化因式;.x與丄也是互為有理化Jx因式.練習(xí)：邁+梔的有理化因式是；