薛定諤方程的應(yīng)用

1、),(),(2),(22trtrUmttri Etiertr)(),(iiiEH iiipp 能量本征方程能量本征方程動(dòng)量本征方程動(dòng)量本征方程tiH ip 一維無限深勢阱一維無限深勢阱1 一維無限深勢阱中粒子的運(yùn)動(dòng)一維無限深勢阱中粒子的運(yùn)動(dòng)（1） 求解求解. 設(shè)粒子處在勢阱設(shè)粒子處在勢阱U(x)中中0)(2 )( 222xExdxd222Ek令 0)( xU )( xU（定態(tài)問題）（定態(tài)問題） 0ax axx , 0在在 0 x a 的區(qū)域中，粒子的定態(tài)的區(qū)域中，粒子的定態(tài) 薛方程為：薛方程為：0)( )( 222xkxdxd其通解為：其通解為：kxBkxAxcossin)(0aX)(xU0

2、20 xx )()()(222rErrUm解解:顯然在顯然在 的區(qū)域內(nèi)的區(qū)域內(nèi)axx , 00)(x0)0(0)(aikxikxxDeCe)()sin()(kxAxkxBkxAxcossin)(kxBkxAxcossin)(式中式中 A、B、k 可由可由邊界條件、歸一化條件邊界條件、歸一化條件確定確定其通解為：其通解為：代入：代入：Ek20, 0)0()0(Ux0,)()(aaUax邊界條件邊界條件:kxBkxAxcossin)(得:0cos0sin0BAkaBkaAcossin00cos0sin0BAkaBkaAcossin00, 0)0()0(Ux0,)()(aaUax由上述兩式由上述兩式

3、:B=00sinkaA0sinkanka 3 . 2 . 1n3 . 2 . 1n代入通解代入通解xanAxsin)(EtixeanAtxsin),(故波函數(shù)故波函數(shù):0aUE222Ek)9(ank0cos0sin0BAkaBkaAcossin0kxBkxAxcossin)(EtixeanAtxsin),(E0aUx由歸一化條件由歸一化條件:aaxdxaxnAdxdx0202)(21)sin(122aAaA2xanaxnsin2)(Etinxeanaxsin2)(3 . 2 . 1n222EkEtixeanAtxsin),(xanAxsin)(故波函數(shù)故波函數(shù):3 . 2 . 1n本本征征能量

4、能量En本征函數(shù)本征函數(shù)能量公式：能量公式：222)(2anmEk22222)(anEn3 . 2 . 1n222EkEtinxeanaxsin2)(3 . 2 . 1naxnaxn222sin2)(粒子出現(xiàn)粒子出現(xiàn)的幾率：的幾率：ank), 2 , 1( 22222nanEn 能量是量子化的能量是量子化的相鄰兩能級(jí)的間隔：相鄰兩能級(jí)的間隔：2222) 12(anE EaEn , ,當(dāng)勢阱寬度當(dāng)勢阱寬度a小到原子的尺度，小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化顯著很大，能量的量子化顯著當(dāng)勢阱寬度當(dāng)勢阱寬度a大到宏觀的尺度，大到宏觀的尺度， E很小，能量量子化不顯著很小，能量量子化不顯著 可把能

5、量看成連續(xù)，回到了經(jīng)典理論可把能量看成連續(xù)，回到了經(jīng)典理論 一維無限深方勢阱中粒子特點(diǎn)：一維無限深方勢阱中粒子特點(diǎn)：這是解薛方程的必然結(jié)果，這是解薛方程的必然結(jié)果，不是玻爾理論中的人為假設(shè)不是玻爾理論中的人為假設(shè)量子數(shù)量子數(shù)例例. 電子在原子中，電子在原子中，a=10-10m的勢阱中，的勢阱中，其能量為：其能量為：)(238eVnnE )(76eVnnE 量子化顯著量子化顯著若電子在若電子在a=10-2m的宏觀勢阱中的宏觀勢阱中)(141076. 0eVnnE 不可分辨，量子化消失不可分辨，量子化消失粒子的能級(jí)圖粒子的能級(jí)圖2222) 12(manE En ,0122 nnEEn ), 2 ,

6、 1( 22222 nmanEn n當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)經(jīng)典經(jīng)典量子量子等價(jià)等價(jià)玻爾的對(duì)應(yīng)原理玻爾的對(duì)應(yīng)原理（2） 一維無限深方勢阱中粒子特點(diǎn)：一維無限深方勢阱中粒子特點(diǎn)：勢阱中電子最低能量不可能為零勢阱中電子最低能量不可能為零最低能量狀態(tài)稱之為基態(tài)最低能量狀態(tài)稱之為基態(tài),對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于n=1的狀態(tài)的狀態(tài)022221aE 經(jīng)典理論中粒子的能量可以為零，量子理論認(rèn)為勢阱中的粒子經(jīng)典理論中粒子的能量可以為零，量子理論認(rèn)為勢阱中的粒子能量不可能為零能量不可能為零。), 2 , 1( 22222nanEn這是由測不準(zhǔn)關(guān)系決定的這是由測不準(zhǔn)關(guān)系決定的! !此本征值能量稱為零點(diǎn)能此本征值能量稱為零點(diǎn)能,是無限深勢阱內(nèi)

7、粒子所具有的最低是無限深勢阱內(nèi)粒子所具有的最低能量能量.粒子勢阱中各處出現(xiàn)的幾率粒子勢阱中各處出現(xiàn)的幾率xaax sin2)(1 xaax 2sin2)(2 xaax 3sin2)(3 xaax 4sin2)(4 )sin(2)(xanaxn )(xn n+1個(gè)個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)3E1E4E2E3n4n2n1n穩(wěn)定的駐波能級(jí)！穩(wěn)定的駐波能級(jí)！nE4a43a6a2a65a8a83a85a87a 2xn Xax00aa/2例：例：n=80a（4）當(dāng)）當(dāng) n，粒子在各處出現(xiàn)的幾率相同粒子在各處出現(xiàn)的幾率相同量子化消失量子化消失（ 能級(jí)連成一片）能級(jí)連成一片）nnEE 說明說明：1）粒子被限制在勢阱中，它的狀

8、態(tài)稱為粒子被限制在勢阱中，它的狀態(tài)稱為束縛態(tài)束縛態(tài)，從物理意義上理解束縛定態(tài)方程從物理意義上理解束縛定態(tài)方程 的解，是一些的解，是一些駐波駐波。這。這些駐波圖形些駐波圖形,形象地表示出處在某個(gè)能量狀態(tài)的粒形象地表示出處在某個(gè)能量狀態(tài)的粒 子在子在 0 x a 范圍內(nèi)哪些地方出現(xiàn)粒子的范圍內(nèi)哪些地方出現(xiàn)粒子的幾率幾率最大、最小。最大、最小。（3）第）第 n 個(gè)能級(jí)個(gè)能級(jí),波函數(shù)在總區(qū)間內(nèi)有波函數(shù)在總區(qū)間內(nèi)有 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)。個(gè)節(jié)點(diǎn)。 節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零.（2）束縛定態(tài)能級(jí)的高低，由駐波的半波數(shù)來定，）束縛定態(tài)能級(jí)的高低，由駐波的半波數(shù)來定，半波數(shù)越多半波數(shù)越多(駐波波

9、長越短駐波波長越短)，對(duì)應(yīng)粒子的能級(jí)越高。，對(duì)應(yīng)粒子的能級(jí)越高。二二. 勢壘穿透和隧道效應(yīng)勢壘穿透和隧道效應(yīng)xU0)(0UxUaxxax, 00U0薛定諤方程：薛定諤方程：)1 (02)(122)(12xxmEx0)(2)(2202)(22xxUEmxaxx , 0對(duì)應(yīng)的解：對(duì)應(yīng)的解：ax0Em3對(duì)應(yīng)的解：對(duì)應(yīng)的解：xikxikxBeAe11)(1xikxikxDeCe22)(2xikxGe1)(3即使在即使在Ea的地方仍有粒子出現(xiàn)的幾的地方仍有粒子出現(xiàn)的幾率，即粒子仍可穿通方勢壘率，即粒子仍可穿通方勢壘-“隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)”。axaxx,00 xU0)(0UxUaxxax, 00U0Em3

10、例題：例題：一粒子在一維勢場一粒子在一維勢場 axaxxxU，0 00)(中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。txU與)()()()()(2222xExxUxdxdm解：解：無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S方程方程 在各區(qū)域的具體形式為axaxxxU，0 00)( )()()()(2 0111222xExxUxdxdmx )()(2 0 22222xExdxdmax )()()()(2 333222xExxUxdxdmax ： ： ：)(xU0)(1x0)(3x由于由于(1)、(3)方程中，由于方程中，由于要等式成立，必須要等式成立，必須

11、即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢阱以外的地方去。即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢阱以外的地方去。0)(2)(22222xmEdxxd222mEk0)()(22222xkdxxdkxBkxAxcossin)(2方程方程(2)可變?yōu)榭勺優(yōu)?令令得得 其解為其解為 )()(2 22222xExdxdm 根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A，B，由連續(xù)性條件，得，由連續(xù)性條件，得 )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 )()(32aa )0()0(12 0 B0sinkaA), 3 , 2 , 1( 0sin0nnkak

12、aA kxBkxAxcossin)(2xanAxsin)(2 由歸一化條件由歸一化條件1)(2dxx1sin022axdxanAmnabaxdxanxam2sinsin*xanaxaAsin2)(22 由由 1)(2dxx222mEk ), 3 , 2 , 1( 22222nnmaEn 可見可見E是量子化的。是量子化的。 nEaxxaxxeanatxtEinn , 0 , 0 0 ,sin2),(對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 例題例題2 證明無限深方勢阱中，不同能級(jí)的粒子波函數(shù)證明無限深方勢阱中，不同能級(jí)的粒子波函數(shù)具有下面的性具有下面的性質(zhì)質(zhì)02*1d這種性質(zhì)稱為

13、正交性，即不同能級(jí)的波函數(shù)是互相正交的。這種性質(zhì)稱為正交性，即不同能級(jí)的波函數(shù)是互相正交的。解將解將m能級(jí)的波函數(shù)能級(jí)的波函數(shù) 取其復(fù)共軛取其復(fù)共軛 ，與，與n能級(jí)的波函數(shù)能級(jí)的波函數(shù) 相乘并在粒子所能到達(dá)的整個(gè)空間相乘并在粒子所能到達(dá)的整個(gè)空間（在此就是阱區(qū)在此就是阱區(qū)內(nèi)內(nèi))得：得：mn*m0 cos)(1cos)(1 )(cos)(cos1 )sin2)(sin2( )(0)(000-mnmnmaanvdvnmudunmdxanmxanmadxxanaxamad所以，不同能級(jí)的波函數(shù)是正交的。如果把波函所以，不同能級(jí)的波函數(shù)是正交的。如果把波函數(shù)的正交性和歸一性表示在一起，可寫為數(shù)的正交性

14、和歸一性表示在一起，可寫為mnnmd*nmnmmn01定義克羅內(nèi)克符號(hào)：定義克羅內(nèi)克符號(hào)： 分子分子振動(dòng)振動(dòng)光譜是一種重要的分子光譜學(xué)方法，能提供有關(guān)光譜是一種重要的分子光譜學(xué)方法，能提供有關(guān)分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)信息，而分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)信息，而諧振子諧振子為研究原子在分子及晶體中為研究原子在分子及晶體中的的振動(dòng)振動(dòng)提供了一個(gè)模型，在化學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。但是，由提供了一個(gè)模型，在化學(xué)中有廣泛的應(yīng)用。但是，由于其數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜性，這里的討論只是并不給出證明的細(xì)于其數(shù)學(xué)處理的復(fù)雜性，這里的討論只是并不給出證明的細(xì)節(jié)，只是給出結(jié)論。節(jié)，只是給出結(jié)論。16.4一維諧振子一維諧振子 若一質(zhì)量若一質(zhì)量 m 的物體，連在力常數(shù)的物體，連在力常數(shù) k 的彈簧上，對(duì)平衡位置的彈簧上，對(duì)平衡位置 x0 ，產(chǎn)生一位移，產(chǎn)生一位移 x ，由牛頓第二定律：，由牛頓第二定律：1. 一維諧振子的經(jīng)典力學(xué)處理一維諧振子的經(jīng)典力學(xué)處理）2. 一維諧振子的量子力學(xué)處理：一維諧振子的量子力學(xué)處理：一維諧振子的哈密頓算符是：一維諧振子的哈密頓算符是：其定