空間平面與直線方程教學(xué)設(shè)計(jì)

1、空間平面與直線方程教學(xué)設(shè)計(jì)公共教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室 余黎1. 教材內(nèi)容分析 ：本教學(xué)設(shè)計(jì)所使用的教材是高等數(shù)學(xué)應(yīng)用教程許艾珍、黃麗萍、李明主編，航空工業(yè)出版社 2010 年 8 月第一版。本節(jié)是第七章空間解析幾何與向量代數(shù)中的第三節(jié)內(nèi)容。前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的相關(guān)知識(shí)并已經(jīng)建立了空間直角坐標(biāo)系，本節(jié)內(nèi)容是向量和立體幾何的第一次“結(jié)合”，同時(shí)也為下面繼續(xù)學(xué)習(xí)曲面曲線方程等打下基礎(chǔ)。因此，本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。2. 學(xué)情分析：目前數(shù)學(xué)都是大班上課，相對(duì)小班上課學(xué)生注意力不容易集中，需要教學(xué)更加“跌宕起伏”來(lái)吸引學(xué)生的注意力。目前教材內(nèi)容多課時(shí)少，每節(jié)課的容量巨大，而本校的學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性較差，很

2、少有學(xué)生會(huì)課后預(yù)習(xí)或復(fù)習(xí)，甚至不能獨(dú)立完成作業(yè)。這就要求教師充分利用好課堂45 分鐘，合理安排每個(gè)環(huán)節(jié)，增加學(xué)生課堂練習(xí)鞏固的時(shí)間。3. 設(shè)計(jì)思想結(jié)合學(xué)生學(xué)情和本教材的特點(diǎn)使用情景教學(xué)的方法。首先構(gòu)造數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的情節(jié)，以探索啟發(fā)為主，運(yùn)用合理的推理和擬真推理進(jìn)行教學(xué)；設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程聯(lián)系學(xué)生的情感、意志、水平，使學(xué)生在興奮狀態(tài)下經(jīng)歷潛伏存疑豁然開(kāi)朗的過(guò)程，也就是提出問(wèn)題試一試不斷嘗試中增強(qiáng)信心下決心證明得到正確結(jié)果的過(guò)程。在新課一開(kāi)始就提出了富有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的濃厚興趣和積極的求知態(tài)度。但情景只是手段、不是目的，是開(kāi)端、不是終點(diǎn)；良好的開(kāi)端是成功的一半，情景的創(chuàng)設(shè)不應(yīng)只在課的開(kāi)始階段

3、，而是存在于整個(gè)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、規(guī)律的揭示、形成和應(yīng)用過(guò)程中，也就是說(shuō)在整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程中，都根據(jù)具體情況創(chuàng)設(shè)合理的情景來(lái)進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的參與熱情。4. 教學(xué)目標(biāo)：我確定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)有以下三條：（ 1 ）教學(xué)大綱、考試大綱的要求（2）教材的特點(diǎn)：例題簡(jiǎn)單，練習(xí)有一定難度（3）所教學(xué)生的實(shí)際情況已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)及心理特征：學(xué)生觀察力已具有一定的目的性、精細(xì)性、持久性，有意識(shí)記占主導(dǎo)地位、意義識(shí)記以占重要地位，同時(shí)概念理解能力、推理能力有所提高，具有一定的掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力，但由于認(rèn)知水平的不同，學(xué)生掌握和運(yùn)用邏輯法則的能力存在不平衡性?；A(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：掌握平面方程的三種形式，能利用它們解決

4、相關(guān)的問(wèn)題。能力訓(xùn)練目標(biāo)：逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合和類(lèi)比能力，會(huì)準(zhǔn)確地闡述自己的思路和觀點(diǎn)，通過(guò)轉(zhuǎn)化問(wèn)題探究公式條件的過(guò)程， 培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題的精神， 提高學(xué)生化歸的意識(shí)和轉(zhuǎn)化的能力個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)，獨(dú)立的意識(shí)，不斷超越自我的創(chuàng)新品質(zhì)。5. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：點(diǎn)法式的推導(dǎo)證明及平面的一般方程的幾種特殊情形的推導(dǎo)應(yīng)用難點(diǎn)：靈活應(yīng)用各種形式平面方程進(jìn)行解題。6. 教學(xué)程序第一課時(shí)空間平面方程環(huán)節(jié)教學(xué)程序及設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖及效果1 .給出定義分析定義法向量：垂直于平面的任意非零向量稱(chēng)為該平面的法向量。問(wèn)(1)平面有多少法向量？他們之間的關(guān)系怎樣？(2)法向量與平面內(nèi)的向量

5、有什么關(guān)系？教師通過(guò)兩個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生深刻理解法向量的定義.并為下面推導(dǎo)點(diǎn)法式方程作 鋪墊.2 .設(shè)置問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情平面的點(diǎn)法式方程在空間中給定一點(diǎn) Mo和向量n,要求 平面 過(guò)Mo、且以n為法向量，那么平面 就唯一被確定了.如果已經(jīng)建立了空間直角 坐標(biāo)系，就可以具體描述構(gòu)成平面的點(diǎn)的條件，這就是平面在該坐標(biāo)系中的方程.如圖7.16,設(shè)點(diǎn) Mo坐標(biāo)為(xo,yo,zo), n=(A,BC), 把n平移到以Mo為始點(diǎn).點(diǎn) M(x,y,z) 平 面M 0 M n M 0 M n=0,M 0M =(x-xo,y-yo,z-zo),據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)公式得點(diǎn)M(x,y,z)在平面上的充分必要條件是1 .提出問(wèn)

6、題：已知平面過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)和法 向量，如何求平面方程.2 .畫(huà)出圖形，標(biāo)出字母，邊問(wèn)邊答推導(dǎo)點(diǎn) 法式方程我們知道，學(xué)習(xí)總與一定知識(shí)背景即情景 相聯(lián)系，在實(shí)際情境下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使 學(xué)生利用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)同化和索引出當(dāng) 前學(xué)習(xí)的新知識(shí)，這樣獲取的知識(shí)，不但 便于保持，而且易于遷移到陌生的問(wèn)題情 境中。A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O.(7-12)稱(chēng)方程(7-12)為平面的點(diǎn)法式方程16(normal form equation)3.趁熱打鐵，完成練習(xí)口答滿足卜列條件的平卸方程 一r 一一 一 一一、一過(guò)點(diǎn)（2,-3,0） ,n 1, 2,3的平卸力程r 一一 過(guò)點(diǎn)（1,2,-1）

7、 ,n 1,0,3的平卸力程 一r _ _ _ . 一一、一過(guò)點(diǎn)（2,1,-3） ,n 0,0,3的平卸力程歸納思考：這些方程有什么特點(diǎn)？4.艾式延伸，進(jìn)行重構(gòu)1 .教師引導(dǎo)：當(dāng)一般方程缺了杲些項(xiàng)后他的圖象用什么特點(diǎn)？2 .和二維平面中的情況進(jìn)行類(lèi)比得到什么結(jié)論.1程一陽(yáng),包!>=(3'It + B +L'z =限帙£林修過(guò)慘口|腕手料ahiBr + t + D = 00=0r-iT + 1 =+ £： = 0 jj 壟 )于1L ,時(shí)c=oAr ¥ i. * r n峨T ti 1 :捕A=0二 0心訓(xùn)10=UT"十U4"

8、1/事加過(guò)同1c=o.Ir+fh = II «*»*過(guò)市1D H D.r L ：c-+£y= i*事 vw； i . gu：,一 ,：a f ；l = 11 - a-Hii口 h mlTi. ,5.主動(dòng)嘗試根據(jù)以上知識(shí)填空做兩個(gè)練習(xí)值收下面加外G1 1 3.（ + 4pV + 了二=外 ，i i0 3x-2=0/皿丑巾的T尸2二+ 3 = 0.門(mén)，3向的中+- 6 = （）, i jin j.南力3 V z =（1*卡帕,門(mén)通過(guò)練習(xí)一方面鞏固點(diǎn)法式，另一方面讓 學(xué)生自己歸納出一般式方程。學(xué)生在這個(gè) 過(guò)程中自然的融入教師創(chuàng)設(shè)的情景中。1 .學(xué)生在教師引導(dǎo)下，在積累了

9、已有探索經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論交流，相互評(píng)價(jià)，共同總結(jié)完成了表格。2 .這一問(wèn)題設(shè)計(jì)試圖讓學(xué)生自己得到結(jié)論,這個(gè)過(guò)程可以提高學(xué)生思維能力 ，得到的結(jié)果也不必死記硬背，卻能讓知識(shí)深刻的印在腦海中。這兩個(gè)練習(xí)都應(yīng)用了上面的表格中的知識(shí)，設(shè)計(jì)練習(xí)一是讓學(xué)生掌握觀察方程特 點(diǎn)說(shuō)出圖象特點(diǎn)。而練習(xí)二正相反，讓學(xué) 生練習(xí)的是由圖象特點(diǎn)說(shuō)出方程一般式4 平打芷二曲的甲忖.心-十D = 0E'由抑向T印r 仃的而 By +U= + I) = O過(guò)啦點(diǎn)的平而出+班+C二0例1 求平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A (1, -2, 3)B (2, 1, 2)的平面方程。練習(xí)1求通過(guò)z軸且過(guò)點(diǎn)M (2, 4, -3) 的平面

10、方程。應(yīng)用知識(shí)求過(guò)點(diǎn)(-2,1,r2, 2,3 , b3)且平行于向量1,3, 5的平面方進(jìn)行解題7.學(xué)生小結(jié)教師點(diǎn)評(píng)選取這四個(gè)題目難度逐漸加深，目標(biāo)是讓學(xué)生真正理解和應(yīng)用平面的點(diǎn)法式和一般程。練習(xí)已知一平面過(guò)三點(diǎn)(-2, -2, 2) C (1, -1, 方程。A (1, 1, -1), B2),求這個(gè)平面的本節(jié)課小結(jié)主要由學(xué)生完成知識(shí)總結(jié)，通過(guò)學(xué)習(xí)知識(shí)所體驗(yàn)到的數(shù)學(xué)思想方法，由學(xué)生總結(jié)和相互補(bǔ)充，教師適當(dāng)點(diǎn)評(píng),加以經(jīng)驗(yàn)總結(jié).第二課時(shí)空間直線方程1.引入新在空間直角坐標(biāo)系中：一個(gè)三元一次方程表示一個(gè)平面; 一個(gè)三元二次方程表示一個(gè)曲面; 兩個(gè)曲面交線是空間曲線， 兩個(gè)平面的交線(？)式。并歸

11、納總結(jié)出什么場(chǎng)合用哪種方程。通過(guò)師生共同小結(jié)，鞏固所學(xué)知識(shí)，提煉用到的解決問(wèn)題的方法，其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力.通過(guò)圖形給學(xué)生直觀的創(chuàng)設(shè)情景，用平面、曲面、曲線、直線與方程進(jìn)行類(lèi)比。2.給出定義分析定義師生共同歸納出直線的一般方程由于空間的每一條直線都可以看作是兩個(gè)平 面的交線，故我們可以直接從平面的一般方 程得到空間直線方程.Aix Biy Gz D 0,Ax B2y C2Z D 0稱(chēng)為空間直線的一般方程.設(shè)直線L的方向向量為 s= m, n, p,3.設(shè)置問(wèn)題，創(chuàng)設(shè)情景x x° y y° Z Z0m n p(7-16)M 0(x0, yo, Zo)為

12、直線L上的一定點(diǎn)(如圖),求L的方程.在L上任取一點(diǎn)M (x, y, z),則向量uuuuurM0M x x0, y y0,z 4與$平行.由兩個(gè)向量平行的充分必要條件，有顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) M在直線L上時(shí)，方程組(7-16)成立.方程組(7-16)叫做直線的 點(diǎn)向提問(wèn)：那么和平面一樣如何求空間直線的方程呢？給出基本條件：已知 方向向量為s = m, n, p ,直線L上的一定點(diǎn)M0(x0,y0,z°),這又給學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景。學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖，討論，推導(dǎo)，教師進(jìn)行指導(dǎo)。最終給出結(jié)論，求出方程，教師給出命名一一點(diǎn)向式方程式方程或?qū)ΨQ(chēng)式方程4.變 式延伸， 進(jìn)行重構(gòu)由直線的點(diǎn)向式方程容易導(dǎo)出直線

13、的參 數(shù)方程，如設(shè)mnpx x0 mt,則有yy°nt,zz0pt方程組叫做直線的參數(shù)方程» J = t(t為參數(shù)),教師講解5.繼續(xù)變 式延 伸例 1 求過(guò)M1(,y1,z1)和M2(X2, 丫2二2)兩點(diǎn)的直線方程.解 所求直線的方向向量可取為ULUUUIDs= M1M 2x2 x1,y2 y1, z2 4 ,因此，直線的方程可寫(xiě)為點(diǎn)向式XX1yy1zZ1X2Xy2y1Z2Z1方程稱(chēng)為直線的兩點(diǎn)式方程(two points equation)教師繼續(xù)給出直線的不同條件， 讓學(xué)生探索 直線方程的第三種類(lèi)型。盡管該問(wèn)題是新知 識(shí)，但可當(dāng)做例題，讓學(xué)生利用已有的知識(shí)(直線的點(diǎn)

14、向式)進(jìn)行求解，這樣學(xué)生不僅 的到了新的知識(shí)，也鞏固了已學(xué)的知識(shí)。例2設(shè)一直線過(guò)點(diǎn) A(2,-3,4),且與y軸6.趁熱打 鐵，再舉一例垂直相交，求此直線方程.解因?yàn)樗笾本€與 y軸垂直相交，故在y軸上的交點(diǎn)為 B (0,-3,0),由此得方向向Lur量s= BA = 2,0,4,根據(jù)(7-16)得所求直線方程為x 2 y 3 z 4204即y 3 0,z 2x本例可由學(xué)生在黑板上書(shū)寫(xiě)求解過(guò)程，除了掌握直線方程的求法，更練習(xí)了解析幾何解 答題的書(shū)寫(xiě)方法。教師和其余同學(xué)幫助共同 訂正。7.小練習(xí)讓學(xué)生分組討論，三個(gè)聯(lián)系，得出解決的方組合1 .求過(guò)點(diǎn)P(4,-1,3)且平行于直線法。最終的出結(jié)論這

15、三種類(lèi)型均要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)作，x 1 y 3 z 1向式。321開(kāi)展探究活動(dòng)2 .求過(guò)點(diǎn)P(4,-1,3)且平行于直線x y z 1, y z 43 .求過(guò)點(diǎn)P(4,-1,3)且平行于兩平面x 2z 1 和 y 3z 22x 4y z 0.例3化一般式方程y ，3x y 2z 9 0為點(diǎn)向式方程和參數(shù)方程解 先在直線上找一點(diǎn)，令x 0,得到8.鞏固 拓 展， 應(yīng)用知識(shí)4yz 3,解得 y 1, z 4, y 2z 9即(0,1,4)是直線上的一點(diǎn).再求直線的方向向量 s. s=5沏2=(9,7,10)，因此，所給直線的點(diǎn)向式方程為 xy 1z 4,9710令上式各比彳1為參數(shù)t,得所給直線的參數(shù)方程

16、為x 9t,y 1 7t,z 4 10t通過(guò)這個(gè)例子和配套練習(xí)讓學(xué)生掌握三種基本的直線方程之間的互化， 從而把整節(jié)課 的知識(shí)內(nèi)容融會(huì)貫通起來(lái)。具體處理是，例 子可由學(xué)生講解，教師板書(shū)，練習(xí)由學(xué)生分 組討論，每組派代表在黑板上板書(shū)結(jié)果，然后大家一起討論，訂正，老師給每組打分。這樣可已加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也可激發(fā) 興趣。練習(xí)：將方程生幺z化為一般式141和參數(shù)式點(diǎn)向式方程U J 一生小m n p結(jié)教師般方程Ax B1y C1z D 0,A2x B2y C2z D 0教師要求學(xué)生不僅要記住三種形式，而且要 引導(dǎo)學(xué)生要掌握三種形式之間的互化， 以及 他們的適用范圍。點(diǎn)評(píng)xx0mt,參數(shù)式方程yy0n

17、t,ZZoPt7.教學(xué)小結(jié)與反思我這節(jié)課的特點(diǎn)是讓學(xué)生“動(dòng)”起來(lái)?！皠?dòng)”體現(xiàn)在各個(gè)方面：即嘴動(dòng)，眼動(dòng)，耳動(dòng)，手動(dòng)，腦動(dòng)。嘴動(dòng)。嘴巴是表情達(dá)意的器官，所有得人心思想，觀念，感情都要通過(guò)它來(lái)傳送。課堂上我讓學(xué)生盡情地讀，說(shuō)，議，問(wèn)。要?jiǎng)?chuàng)造讓學(xué)生發(fā)問(wèn)的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)對(duì)問(wèn)題尋根究底的精神。耳動(dòng)。學(xué)會(huì)傾聽(tīng)別人的發(fā)言，領(lǐng)會(huì)教師的意圖。眼動(dòng)。學(xué)會(huì)觀察，能有順序地觀察，發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn)。手動(dòng)。課堂上，我們盡量讓學(xué)生的手動(dòng)起來(lái)，讓他們主動(dòng)地獨(dú)立地獲取知識(shí)，自己獨(dú)立的完成練習(xí)。腦動(dòng)。也就是讓學(xué)生的充分思考。無(wú)論是推導(dǎo)還是解題過(guò)程都讓學(xué)生有充分的思考過(guò)程。附：教學(xué)PPT（A,B,C不全為零）是它的一個(gè)法向量, 求此平面的

18、方程。設(shè)M （x, y, z）是平面兀上任一點(diǎn)，那么向量Muu.uuun,所以它們的數(shù)uuuu un r量積為零，即 McM ?n 0由于 n=A, B, C,并且 M0M如下圖所示,x x0,y y0,z zJ一、平面的方程法向量：垂直于平面的任意非零向量稱(chēng)為該平面的法向量基本結(jié)論：（1） 一個(gè)平面有無(wú)數(shù)多個(gè)法向量，并且所 有法向量互相平行。（2）平面上任意向量都與該平面的法向量 垂直。r設(shè)平面兀過(guò)點(diǎn) M0（x0, y°,），向量n=A, B, C故有 A(x x°) B(y y°) C(z z°) 0練習(xí)寫(xiě)出滿足下列條件的平面方程。r過(guò)點(diǎn)（2,-3,0） , n1, 2,3的平面萬(wàn)程為1(x 2) 2(y 3) 3( z 0) 0即 x 2y 3z 8 0r過(guò)點(diǎn)(1,2,-1) , n 1,0,3的平面萬(wàn)程為1(x 1) 0(y 2) 3(z 1) 0即 x 3z 2 0r,_、一，(3)過(guò)點(diǎn)(2,1,-3) , n0,0,3 的平面萬(wàn)程為0(x 2) 0(y 1) 3(z 3) 0練習(xí)方程特點(diǎn)圖象特點(diǎn)D=0Ax By Cz 0 （缺常數(shù)項(xiàng)）過(guò)原點(diǎn)（0,0,0）D 0A=0By Cz D 0 (缺 x項(xiàng))平行于x軸B=0Ax Cz D 0 (