2019年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練——專題二十二：新定義與閱讀理解題(含答案)

1、2019年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練一一專題二十二：新定義與閱讀理解題1. (2019天水)如圖1,對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.(1)概念理解：如圖 2,在四邊形 ABCD中，AB=AD, CB=CD,問四邊形 ABCD是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說明理由；(2)性質(zhì)探究：如圖1,四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O, AC± BD.試證明：AB2+ CD2=AD 2+ BC2;(3)解決問題：如圖3,分別以RtACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形 ACFG和正方形ABDE ,連結(jié) CE、BG、GE.已知 AC=4, AB=5,求 GE 的長(zhǎng).解：(1)四邊形ABCD是垂美四邊

2、形.理由如下： AB = AD, .點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上，. CB=CD,，點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上， 直線AC是線段BD的垂直平分線，. ACXBD,即四邊形 ABCD是垂美四邊形；(2)如圖1,. ACXBD, ./AOD=/AOB=/BOC=/COD=90 ,由勾股定理得， AB2+ CD2= AO2+ BO2+ DO 2+ CO2= AD2+ BC2, .AD2+BC2=AB2+CD2;ABC圖1（3）連接 CG、BE,Bn尸用三卻Z CAG= ZBAE=90 , / CAG+ / BAC= / BAE+ / BAC,即/ GAB= / CAE,AG AC 在 GAB 和

3、CAE 中，GAB CAE ,AB AE .GAB，CAE （SAS）, ./ABG=/AEC,又/ AEC+/AME=90 , ./ABG+/AME=90 ,即 CEXBG, 四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2,. AC=4, AB=5, . BC=3, CG=4 百，BE=5 6， .GE2=CG2+BE2-CB2=73, .GE=J73.2. （2019白銀）閱讀卜面的例題及點(diǎn)撥，并解決問題：例題：如圖，在等邊 ABC中，M是BC邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn) B,C) , N是 ABC的外角/ ACH的平分線上一點(diǎn)，且 AM=MN .求證：/ AMN =60點(diǎn)撥

4、：如圖，作/ CBE=60 , BE與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E,得等邊 BEC,連接EM.易證： ABMEBM （SAS ,可得 AM = EM, / 1 = /2;又 AM=MN,則 EM=MN,可得/ 3=/4;由/ 3+ / 1=/4+7 5=60° ,進(jìn)一步可得/ 1=/2=/5,又因?yàn)? 2+7 6=120° ,所以/ 5+7 6=120° ,即：/ AMN =60 .問題：如圖，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1邊上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B1, G） , N1是正方形 A1B1C1D1的外角/ D1C1H1的平分線上一點(diǎn)，且 A1M1=M1N1.求證：

5、/ A1M1N1=90 .E 解：延長(zhǎng) A1B1至E,使EB產(chǎn)A1B1,連接EM1、EG,如圖所示：則 EB1 = B1C1, / EB1M1=90 = Z A1B1M1,， EB1C1是等腰直角三角形，. / BEC1= / BGE=45 ,N1是正方形A1B1C1D1的外角/ D1C1H1的平分線上一點(diǎn),MiCiNi=90 +45 ° =135 / B1C1E+ / MiCiNi=180 ,E、C1、N1三點(diǎn)共線，A1B1EB1在 A1BM1 和 EB1M1 中，A1B1M1EB1M1 ,B1M1 B1M1.八自仙田4 EB1M1 (SAS),.A1M1= EM1, / 1=/2

6、, . A1M1=M1N1,EM1 = M1N1,Z 3= Z 4, /2+/3=45° , / 4+/5=45 ° , . . / 1=/2=/5, / 1+7 6=90° , .5+ / 6=90° , 八川網(wǎng)1=180° -90° =90 ° .3. (2019江西)特例感知 .一 2.2 一 .2_.一 一一(1)如圖1,對(duì)于拋物線y x x 1 , y2 x 2x 1 , y3x 3x 1 ,下列結(jié)論正確的序號(hào)拋物線必，y2, y3都經(jīng)過點(diǎn)C(0,1)；1拋物線y2, y3的對(duì)稱軸由拋物線 的對(duì)稱軸依次向左平移 y

7、1,y2,y3的對(duì)稱軸分別是直線x1-, x21, x3 y,y2,y3與y 1交點(diǎn)（除了點(diǎn)C）橫坐標(biāo)分別為-1, ynxi 2 nx 1 n2 42 4令頂點(diǎn) Pn橫坐標(biāo) x - ,縱坐標(biāo) y , y 個(gè)單位得到;2拋物線y1，丫2, y3與直線y 1的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等.形成概念.一一2. (2)把滿足ynx nx 1 (n為正整數(shù))的拋物線稱為“系列平移拋物線”知識(shí)應(yīng)用在(2)中，如圖2.“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為?，P,用含n的代數(shù)式表示頂點(diǎn) Pn的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x之間的關(guān)系式；“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）"

8、：Ci, C2, C3,，Cn,其橫坐標(biāo)分別為：k 1, k 2, k 3,， k n （ k為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說明理由 在中，直線 y 1分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn) A, A2 , A3,，An,連接CnAn , Cn 1Ali，判斷CnAn , Cn 1An 1是否平行？并說明理由3 一. ，2,所以正確;2, - 3,所以距離為1,都相等，正確.理由：根據(jù)題意得;2Cnk n, k nk 1 , Cn 12k n 1, k nk k 1 ,CnCn 1兩點(diǎn)之間的鉛直高度22k nk k 1 k nk 1 k.Cn

9、Cn .1兩點(diǎn)之間的水平距離，由勾股定理得CnCn i2=k2+1 ,CnCn - 1 = k21 .CnA與Cn lA 1不平行.理由:根據(jù)題意得：Cn k n, k2 nk 1 , Cn 1 k n 1, k2 nk k 1 ,A n,1 ,An 1 n 1,1 .過Cn, Cn1分別作直線y=1的垂線，垂足為D, E,所以 D ( - k- n, 1) , E ( - k- n+1 , 1)在 RtDAnCn 中,CD tan / DA nCn= -nDA1D21 k nk 1n ( k n)k2 nkk在 RtEAn-1Cn-1中,k2 nk kkC_ ,E tanZEAn 1Cn 1

10、= n-1EAn1E21 k nk k 1n 1 ( k n 1) .tan/DAnCnWtan/EAn Qn 1, CnA 與 Cn 1Al 1 不平行.4. （2019自貢）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+22017+2 2018的值，采用以下方法:設(shè) S=1+2+2 2+22017+22018,貝U 2S=2+2 2+-+2 2018+2 2019(2),-得 2S- S=S=2 2019 - 1, .S=1+2+2 2+2 2017+22018=22019 1.請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題:(1)1+2+22+29=(2)3+32+ +310(3)求1 + a+a2+an的和（

11、a>0, n是正整數(shù)），請(qǐng)寫出計(jì)算過程.解:(1)設(shè) S=1+2+2 2+-+29,貝U 2S=2+22+210,-得 2S- S=S=210- 1, . S1+2+2 2+ +29=210 1;故答案為：210-1;(2)設(shè) S=3+3+3 2+33+34+310,貝U 3S=32+33+34+35+ +3 11(2),-得 2s=3 11-1,11即 3+32+33+34+310= 3-1;211故答案為：31;2(3)設(shè) S=1+a+a2+a3+a4+ an,則 aS= > 3+a3+m+an+an+1 ，-得：（a- 1） S=aT+1 - 1,a=1時(shí)，不能直接除以 a-

12、 1,此時(shí)原式等于 n+1 ;n 1aw 1時(shí)，a- 1才能做分母，所以 S= a1,a 1n 1即 1 + a+a2+ a3+a4+ + an= a.a 15. （2019隨州）若一個(gè)兩位數(shù)十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為m, n,我們可將這個(gè)兩位數(shù)記為 有，易知mn=10m+n；同理，一個(gè)三位數(shù)、四位數(shù)等均可以用此記法，如abC=100a+10b+c.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）解方程填空：若 2x+ x3=45，貝U x=；若 7y - y8=26,貝U y=；若 t93 +及8 = 131,則 t=；【能力提升】（2）交換任意一個(gè)兩位數(shù)mn的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字，可得到一個(gè)新數(shù)nm,則mn +而一定能被整

13、除，mn - nm 一定能被 整除，mn?nm -mn 一定能被 整除；（請(qǐng)從大于5的整數(shù)中選擇合適的數(shù)填空）【探索發(fā)現(xiàn)】（3）北京時(shí)間2019年4月10日21時(shí)，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛.數(shù)學(xué)中也存在有趣的黑洞現(xiàn)象：任選一個(gè)三位數(shù)，要求個(gè)、十、百位的數(shù)字各不相 同，把這個(gè)三位數(shù)的三個(gè)數(shù)字按大小重新排列，得出一個(gè)最大的數(shù)和一個(gè)最小的數(shù)，用得出的最大的數(shù)減去最小的數(shù)得到一個(gè)新數(shù)(例如若選的數(shù)為 325,則用532- 235=297),再將這個(gè)新數(shù)按上述方式重新排列,再相減，像這樣運(yùn)算若干次后一定會(huì)得到同一個(gè)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，這個(gè)數(shù)稱為“卡普雷卡爾黑

14、洞數(shù)”.該“卡普雷卡爾黑洞數(shù)”為 ;設(shè)任選的三位數(shù)為 詼(不妨設(shè)a> b>c),試說明其均可產(chǎn)生該黑洞數(shù).解：(1): mn =10m+n, 若 2X+X3=45,則 10X2+x+10x+3=45 ,. .x=2 ,故答案為：2.若 77 y8=26,貝U 10x 7+y- (ioy+8) =26,解得y=4 ,故答案為：4.由abC=100a+10b+c,及四位數(shù)的類似公式得若而+ 5t8= 131 ，貝U 100t+10x 9+3+100 x 5+10t+8=1000 x 1+100X 3+10t+1 ,.-100t=700, t=7,故答案為：7. mn + nm =10m

15、+ n+10n+m=11 m+11 n=11 (m+n), .則 mn + nm 一定能被11整除，mn - nm =10m+ n - (10n+ m) =9m - 9n=9 ( m - n),mn - nm '定能被9整除mn ?nm - mn= (10m+n) (10n+m) - mn=100mn+10m2+10n2+mn - mn=10 (10mn+m2+n2)mn ?nm mn 一定能被 10 整除故答案為：11; 9; 10.(3)若選的數(shù)為 325,則用532- 235=297,以下按照上述規(guī)則繼續(xù)計(jì)算，972- 279=693,963- 369=594,954- 459=

16、495,954- 459=495,故答案為：495.當(dāng)任選的三位數(shù)為 abc時(shí)，第一次運(yùn)算后得：100a+10b+c- (10Qc+10b+a) =99 (a-c),結(jié)果為99的倍數(shù)，由于a>b>c,故a>b+l >c+2 , a - c>2,又 9> a>c>0,a - cw 9,.a- c=2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,，第一次運(yùn)算后可能得到：198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891,再讓這些數(shù)字經(jīng)過運(yùn)算，分別可以得到：981 - 189=792, 972- 279=693, 963- 36

17、9=594, 954- 459- 495, 954- 459=495，故都可以得到該黑洞數(shù) 495.6.(2019衢州)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)A(a,b), B (c,d),若點(diǎn)T(x,y)滿足x a_c, y b_d那么稱點(diǎn)T是點(diǎn)A, B的融合點(diǎn).33例如：A ( - 1,8), B (4, -2),當(dāng)點(diǎn) T (x,y)滿足x'41, y-2 時(shí)，則點(diǎn) T (1,332)是點(diǎn)A, B的融合點(diǎn).(1)已知點(diǎn)A ( - 1, 5) , B (7, 7) , C (2, 4),請(qǐng)說明其中一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的融合點(diǎn).(2)如圖，點(diǎn) D (3, 0),點(diǎn)E (t, 2t+3)是

18、直線l上任意一點(diǎn)，點(diǎn) T (x, y)是點(diǎn)D, E的融合點(diǎn).試確定y與x的關(guān)系式.若直線ET交x軸于點(diǎn)H.當(dāng) DTH為直角三角形時(shí)，求點(diǎn) E的坐標(biāo).解：(1)=2, 口=4, 33點(diǎn)C (2, 4)是點(diǎn)A、B的融合點(diǎn);(2)由融合點(diǎn)定義知 x (t+3) , y (2t+3 ),331貝Ut=3x3,貝Uy (6x 6+3) =2x- 1；3要使 DTH為直角三角形，可分三種情況討論:當(dāng)/ DHT=90°時(shí)，如圖1所示,5E1設(shè) T (m, 2m-1),則點(diǎn) E (m, 2m+3),由點(diǎn)T是點(diǎn)D, E的融合點(diǎn)得：m m或2m 1 2m 3 033解得：m 3,即點(diǎn)E ( 3 , 6)

19、;22(ii)當(dāng)/ TDH =90 時(shí)，如圖2所示,則點(diǎn) T (3, 5),由點(diǎn)T是點(diǎn)D, E的融合點(diǎn)得：點(diǎn) E (6, 15);(iii)當(dāng)/ HTD=90°時(shí)，該情況不存在； 3綜上所述，符合題意的點(diǎn)為( 一，6)或(6, 15)27. (2019濟(jì)寧)閱讀下面的材料：如果函數(shù)y=f (x)滿足：對(duì)于自變量 x的取值范圍內(nèi)的任意 xi, X2,(1)若Xi<X2,都有f(Xi)<f(X2),則稱f(x)是增函數(shù);(2)若 x1<x2,都有 f (x1)> f (x2),則稱f (x)是減函數(shù).6例題：證明函數(shù)f (x) = (x>0)是減函數(shù).x證明

20、：設(shè)0<x1<x2,66f (x1)- f (x2)=Xx26x2 6x1x1x26 x2 x1x1x2. 0<x1<x2, 1- x2 - xo 0, x<x2> 0.6 x2 x1>0.即 f (x1) - f (x2)> 0.x1x261 f (Xi) > f(X2),，函數(shù) f (x) (x>0)是減函數(shù).X根據(jù)以上材料，解答下面的問題： 1,、已知函數(shù) f (x) = + x (x<0),Xf (一1171) =-2+ (-1) =0, f ( - 2) =-2+ (-2) = - 7(1)2( 2)24(1)計(jì)算：f

21、 ( - 3) =, f ( - 4) =;一，1猜想：函數(shù)f (x) = +x (x<0)是 函數(shù)(填“增”或“減”)；x(3)請(qǐng)仿照例題證明你的猜想.-11解：(1)f (x) = + x (x<0),xf (- 3)故答案為：1_ 263=(3)29f ( 4)1 一 6394=(4)2162663.9 16'(2)- 4< - 3, f ( - 4) >f ( - 3),1，函數(shù)f (x) = + x (x<0)是增函數(shù),x故答案為：增；(3)設(shè) x1< x2<0 ,1x2= (xx2) X2x1x2X1 x21- f (x1)- f

22、(x2)= x1為- X1<X2<0, X1 - X2<0 , X1+X2<0 ,f (X1)- f (X2)<0, f (X1)<f (X2),1，函數(shù)f (x) = -2 + x (x<0)是增函數(shù).X8. (2019寧波)定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱為鄰余線.(1)如圖1,在 ABC中，AB=AC, AD是 ABC的角平分線，E, F分別是BD, AD上的點(diǎn).求證：四邊形ABEF是鄰余四邊形.(2)如圖2,在5X 4的方格紙中，A, B在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形ABEF,使AB是鄰余線，E, F在

23、格點(diǎn)上.(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點(diǎn)M,連結(jié)DM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)Q,延長(zhǎng)EF交AC于點(diǎn)N.若 N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE, QB=3,求鄰余線 AB的長(zhǎng).園1國(guó)2解：(1) AB=AC, AD是 ABC的角平分線， .ADXBC, ZADB=90 , . Z DAB+/DBA=90 , / FAB 與/ EBA 互余， 四邊形ABEF是鄰余四邊形； (2)如圖所示(答案不唯一)， A 尸H | | |j I| | | | |l圖2 四邊形ABEF即為所求；(3) . AB = AC, AD是 ABC的角平分線， . BD=CD,. DE=2BE, . BD=CD=3BE, .CE=CD+DE=5BE. / EDF=90 , M 為 EF 中點(diǎn)，.DM=ME.MDE=Z MED ,.AB=AC,. ./ B=/C,. DBQA ECN,.QB BD 3NC CE 5 '. QB=3, ., NC=5,. AN = CN, . AC=2CN=10,.AB = AC=10.9. (2019棗莊)對(duì)于實(shí)數(shù) a、b,定義關(guān)于“ ？ ”的一種運(yùn)算：a? b=2s+b,