知識(shí)要點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系

1、百度文庫(kù)讓每個(gè)人平等地提升自我第5講空間直角坐標(biāo)系知識(shí)梳理1.右手直角坐標(biāo)系右手直角坐標(biāo)系的建立規(guī)則：工軸、y軸、z軸互相垂直，分別指向右手的拇指、食指、 中指：己知點(diǎn)的坐標(biāo)尸（x,y,z）作點(diǎn)的方法與步驟（路徑法）：沿x軸正方向（x>0時(shí)）或負(fù)方向（xvO時(shí)）移動(dòng)1x1個(gè)單位，再沿），軸正方向（y>0 時(shí)）或負(fù)方向（y < 0時(shí)）移動(dòng)I yl個(gè)單位，最后沿x軸正方向（z >0時(shí)）或負(fù)方向（z <0 時(shí)）移動(dòng)Izl個(gè)單位，即可作出點(diǎn)已知點(diǎn)的位置求坐標(biāo)的方法：過(guò)戶(hù)作三個(gè)平而分別與入軸、），軸、z軸垂直于48,C,點(diǎn)A8,C在X軸、y軸、z軸 的坐標(biāo)分別是，則就是點(diǎn)P

2、的坐標(biāo)2、在x軸上的點(diǎn)分別可以表示為（40,0）,（0,。,0）,（0,0,c），在坐標(biāo)平面xOy, xOz，）。2內(nèi)的點(diǎn)分別可以表示為（“慶0），3,0©,（0也。）；3、點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于工軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a-b,-c）點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,c）：點(diǎn)P（a、b,c）關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-a-b.c）：點(diǎn)P（a/,c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（44c）：點(diǎn)P（a、b,c）關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（«,-/7,c）；點(diǎn)P（a,b,c）關(guān)于坐標(biāo)平而yOz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為：點(diǎn)P（a,Z?,c）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。4 .已知空間兩點(diǎn)尸（內(nèi)，

3、%，4）。（超，力，?。?，則線段尸。的中點(diǎn)坐標(biāo)為y + % ） +22）2 ' 2 ' 25 .空間兩點(diǎn)間的距離公式已知空間兩點(diǎn) P(xv)，, Zj )Q(x2 ,y2iz2),則兩點(diǎn)的距離為I PQ= yj(xl-x2)2+(yl-y2)2+(zi-Z2)2 ，特殊地，點(diǎn)A(x, y, z)到原點(diǎn)。的距離為I A01= yjx2 + y2 + z2 ;5.以C(x°,加Z0)為球心，r為半徑的球面方程為(x-小尸+ (y-y0)2 +(z-z0)2= r2特殊地，以原點(diǎn)為球心，r為半徑的球而方程為x2 +)，2 + z2 = r2重難點(diǎn)突破重點(diǎn)：了解空間直角坐標(biāo)系

4、，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系表示點(diǎn)的位置，會(huì)推導(dǎo)和使用空間兩點(diǎn)間 的距離公式難點(diǎn):借助空間想象和通過(guò)與平面直角坐標(biāo)系的類(lèi)比，認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)及坐標(biāo)間的關(guān)系 重難點(diǎn)：在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置關(guān)系及空間兩點(diǎn)間的距離公式的使用1 .借助空間幾何模型進(jìn)行想象，理解空間點(diǎn)的位置關(guān)系及坐標(biāo)關(guān)系問(wèn)題L點(diǎn)P(ahc)到)，軸的距離為解析借助長(zhǎng)方體來(lái)思考，以點(diǎn)O,尸為長(zhǎng)方體對(duì)角線的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P(a,4c)到y(tǒng)軸的距 離為長(zhǎng)方體一條面對(duì)角線的長(zhǎng)度，其值為jL+d2 .將平面直角坐標(biāo)系類(lèi)比到空間直角坐標(biāo)系問(wèn)題2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,z,求+ 丁 + / + 7*+1)2 +(),2/+ (z -的最小 值解析在空間直

5、角坐標(biāo)系中，M +在+ z? + J(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2表示空間點(diǎn) (x,y,z)到點(diǎn)(0,0,0)的距離與到點(diǎn)(1,2,1)的距離之和，它的最小值就是點(diǎn)(0,0,0)與點(diǎn) (-1,2,1)之間的線段長(zhǎng)，所以+ ),2 +刈+ J(x + 1)2 + (y - 2)2 +(Z 1)2的最小值為 瓜3 .利用空間兩點(diǎn)間的距離公式，可以解決的幾類(lèi)問(wèn)題(1)判斷兩條相交直線是否垂直(2)判斷空間三點(diǎn)是否共線1百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升白我(3)得到一些簡(jiǎn)單的空間軌跡方程熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析考點(diǎn)1：空間直角坐標(biāo)系題型1：認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系例1 (1)在空間直角坐標(biāo)

6、系中，表示()A. y軸上的點(diǎn)B.過(guò)y軸的平面C.垂直于y軸的平而D.平行于)，軸的直線(2)在空間直角坐標(biāo)系中，方程)，=x表示A.在坐標(biāo)平而入0V中，1, 3象限的平分線B.平行于z軸的一條直線C.經(jīng)過(guò)z軸的一個(gè)平而D.平行于z軸的一個(gè)平面【解題思路】認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系,可以類(lèi)比平而直角坐標(biāo)系，如在平面直角坐標(biāo)系坐標(biāo)系中，方程x = 1表示所有橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的集合解析(1) y =。表示所有在y軸上的投影是點(diǎn)(0,a,0)的點(diǎn)的集合，所以y = ”表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,4,0)且垂直于y軸的平面(2)方程y = x表示在任何一個(gè)垂直于z軸的一個(gè)平面內(nèi)，1, 3象限的平分線組成的集合【名師指引】(

7、1)類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系,可以幫助我們認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系(2)要從滿(mǎn)足某些特殊條件的點(diǎn)的坐標(biāo)特征去思考問(wèn)題。如：經(jīng)過(guò)點(diǎn)伍,0,0)且垂直于x軸的平而上的點(diǎn)都可表示為(a, y, z)題型2:空間中點(diǎn)坐標(biāo)公式與點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題例2 點(diǎn)尸(,4c)關(guān)于z軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)R關(guān)于平而X。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P：則P?的坐標(biāo)為【解題思路】類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，得到空間直角坐標(biāo)系中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系解析因點(diǎn)P和6關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)。和R的豎坐標(biāo)相同，且在平面xOy的射影關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故點(diǎn)P、的坐標(biāo)為(4-,。)，又因點(diǎn) < 和P關(guān)于平而xOy對(duì)稱(chēng)，所以點(diǎn)，坐標(biāo)為(”,4)【名師指引】解決空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,一要借助

8、空間想象,二要從它們?cè)谧鴺?biāo)平面的射影找 關(guān)系，如借助空間想象,在例2中可以直接得出點(diǎn)P2為點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),故坐 標(biāo)為(一。，-b,-c)【新題導(dǎo)練】1.已知正四棱柱48CQ A81GA的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),A (O, o, 5),則G的坐標(biāo)為。解析正四棱柱ABCD - a81GA過(guò)點(diǎn)A的三條棱恰好是坐標(biāo)軸，q的坐標(biāo)為(2, 2, 5)2 .平行四邊形A8C。的兩個(gè)頂點(diǎn)的的坐標(biāo)為4一1,3),8(3,2,-3),對(duì)角線的交點(diǎn)為M(l,0,4),則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為解析由已知得線段AC的中點(diǎn)為線段80的中點(diǎn)也是由中點(diǎn)

9、坐標(biāo)公式易得C(3-1,5), 0(-1,-2,11)3 .已知M(4,3,1),記例到x軸的距離為。，"到y(tǒng)軸的距離為，"到z軸的距離 為c,則()A. a>b>c B. c>h>a C. c> a>bD. b>c>a解析借助長(zhǎng)方體來(lái)思考，。、c分別是三條面對(duì)角線的長(zhǎng)度。a =yc = 5 ,選 C考點(diǎn)2：空間兩點(diǎn)間的距離公式題型：利用空間兩點(diǎn)間的距離公式解決有關(guān)問(wèn)題例3如圖：已知點(diǎn)41,。)，對(duì)于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn)尸，在Oy軸上是否存在一 點(diǎn)8,使得恒成立？若存在，求出8點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由;【解題思路】轉(zhuǎn)化為

10、距離問(wèn)題，即證明尸加+4序二尸層解析設(shè) P(OQc) 8(0也0),對(duì)于Oz軸正半軸上任意一點(diǎn)尸，假設(shè)在Oy軸上存在一點(diǎn)3,使得。4)期恒成金，則 pT + a8 =0&3百度文庫(kù)-讓每個(gè)人平等地提升白我/. (0-1)2 +(0-1)2 + (c _ 0)2 + (1-0)2+(1-/?)2 + (0 _ 0)2 = (0- 0)2 + (0 _ b)2 + (c _ 0)2即3 + 3-1)2=，解得：b = 2 所以存在這樣的點(diǎn)8,當(dāng)點(diǎn)B為(0,2,0)時(shí)，A4_LA3恒成立【名師指引】在空間直角坐標(biāo)系中，利用距離可以證明垂直問(wèn)題。此外，用距離還可以解決空間三點(diǎn)共線問(wèn)題和求簡(jiǎn)單的

11、點(diǎn)的軌跡?！拘骂}導(dǎo)練】4 .已知A(x,5 x,2x l),8(l,x + 2,2 x),當(dāng)A,3兩點(diǎn)間距離取得最小值時(shí)，x的值為A.198B. 一78 C.719D.14解析I AB 1=- I) + (3 2x)2 +(34- 32=V14x2-12x + 19 = J14(a - 1)2 +18當(dāng)x=,時(shí)，IA8I取得最小值5 .已知球而*-1)2+()，+ 2尸+-3)2=9,與點(diǎn)4一3,2,5),則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)A距離的最大值與最小值分別是 解析球心。(1,一2,3),力。=6,球面上的點(diǎn)與點(diǎn)4距離的最大值與最小值分別是9和36 .已知三點(diǎn)4(一1/，2),8(1,2,-1),C(4

12、,0,3),是否存在實(shí)數(shù),使A、B、C共線？若存在, 求出。的值；若不存在，說(shuō)明理由。解析AB = 7(-1-02+(1-2)2+(2 + 1)2 = V14 ,AC =+(_0尸 +q_3)，= (a + l)2 +2 ,BC = 7(1-«)2+(2-0)2+(-1-3)2 = yl(a -1)2 + 20 ,因?yàn)?C>AB,所以，若三點(diǎn)共線，有=+ 或AC = 8C + A8,若8C = AC + AB,整理得：5a2+18。+ 19 = 0,此方程無(wú)解；若AC = 8C + A8,整理得：5/+18 + 19 = 0,此方程也無(wú)解。所以不存在實(shí)數(shù)。，使A、B、C共線。搶

13、分頻道基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1 .將空間直角坐標(biāo)系(右手系)畫(huà)在紙上時(shí)，我們通常將X軸與y軸，4軸與z軸所成的角 畫(huà)成()A. 90° B. 135° C. 45° D. 75°解析：選B2 .點(diǎn)尸(3,4,5)在丁以平而上的投影點(diǎn)R的坐標(biāo)是()A. (3,0,0) B. (0,4,5)C. (3,0,5)D. (3,4,0)解析：兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，選B3 .三棱錐。一 ABC中，0(0,0,0),A(2,0,0),8(0,l,0),C(0,0,3)此三棱錐的體積為()A. 1B. 2C. 3D. 6解析0AoaOC兩兩垂直，Vo_abc = L1.1.2

14、-3 = 3 24 . (2007山東濟(jì)寧模擬)設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A(2, -3, 5)關(guān)于平面xOy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則AB等于()A. 10B. MC. V38D. 38解析A點(diǎn)A(2, -3, 5)關(guān)于平面xQy的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為8(2,3,5),AB = 7(2 - 2)2 + -3 - (-3)2 + 5 - (-5)2 = 105 . (2007年湛江模擬)點(diǎn)P(l,2,3)關(guān)于)，軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，P關(guān)于平而工Oz的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P1,則1勺61二解析R(1,2,3),鳥(niǎo)(12,3), .坨g 1=7'存6 .正方體不在同一表面上的兩頂點(diǎn)P (-1, 2, -1), Q (3, -2, 3),則正方體的體

15、積是解析不共而，.尸。為正方體的一條對(duì)角線，PQ = 4B 正方體的棱長(zhǎng)為4,體積為64綜合提高訓(xùn)練7 .空間直角坐標(biāo)系中，到坐標(biāo)平面xOy, xOz., yOz的距離分別為2, 2, 3的點(diǎn)有 個(gè)個(gè) 個(gè)個(gè)解析：8 個(gè)。分別為(3, 2, 2)、(3, 2, 2)、(3, -2, 2)、(3, -2, 一2)、(-3, 2, 2)、 (-3, 2, -2)、(-3, -2, 2)、(-3, -2, -2)8 .(2007山東昌樂(lè)模擬)三角形A8C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(l,211),8(4,2,3),。(6,1,4), 則A48C的形狀為()A.正三角形 B.銳角三角形 C.直角三角形 D.鈍角

16、三角形解析CI AB= 7(1-4)2+(-2-2)2 + (11-3)2 =廊AC= /(4-6)2+(-2 + 1)2+(11-4)2 = <75I BC1= J(4-6:+(2 + 1尸+(3-4)2 =舊:.AC2 +BC1 =AB19 . (2008年佛岡一中模擬)已知空間直角坐標(biāo)系O qz中有一點(diǎn)4一1,一1,2),點(diǎn)8是平 而xQy內(nèi)的直線x+y = l上的動(dòng)點(diǎn)，則A8兩點(diǎn)的最短距離是()/7V34V17A. J6B.C. 3D.22解析因?yàn)辄c(diǎn)B在xoy平面內(nèi)的直線x + y = 1上，故可設(shè)點(diǎn)B為(x-x + 1,0), 所以 A8 = yj(x +1)2 + (-X + 2)2 + (0 - 2)2 = j2/-2x + 9 = ,2(x 一;.,所以當(dāng)L時(shí)，AB取得最小值斗，此時(shí)點(diǎn)B為d - ,0)。222 2(1)當(dāng)點(diǎn)尸為對(duì)角線A8的中點(diǎn),7點(diǎn)。在棱CO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，/ / D1 、；p;Q卜C；/A10.如圖，以棱長(zhǎng)為。的正方體的三條棱為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-QZ，點(diǎn)尸在 正方體的對(duì)角線A3上，點(diǎn)。在正方體的棱CO上。Z-探究尸0的最小值：(2)當(dāng)點(diǎn)尸在對(duì)角線A8上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。為棱CO的中點(diǎn)時(shí)，探究尸。的最小值：解析由已知 A3,a