橢圓與雙曲線常見題型歸納

1、與雙曲線常見題型歸納曲線方程+直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的綜合型試題的分類求解1 ,向量綜合型 例1.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0,3）,（0, .3）的距離之和為4,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C直線y kx 1與C交于A B兩點(diǎn)。UUU UUU（I）寫出C的方程；（U）若OA OB，求k的值例2 設(shè)E、F2分別是橢圓一y241的左、右焦點(diǎn)若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),UULTUULU 求（川）設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PBF的周長(zhǎng)的最大值.的最大值和最小值；（U）設(shè)過定點(diǎn)M（0,2）的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B，且/ AOB為銳角（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線I的斜率k的取值范圍例3.設(shè)巳、F2

2、分別是橢-y21的左、右焦點(diǎn)，b（o, 1）.若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),UJU UUUCF一求的值；求PFi PF2的最大值和最小值；（U ）若C為橢圓上異于B 一點(diǎn)，且BFi例4,已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2,0），右頂點(diǎn)為（，3,0） 求雙曲線C的方程；（2）若直線I : ykx 2與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B,且OA OB 2（其中。為原點(diǎn)），求k的取值范圍。例5 已知橢圓篤 焉（ab0）的離心率e，過點(diǎn)A（0,b）和B（a, 0）的直線與原點(diǎn)ab3的距離為？求橢圓的方程.已知定點(diǎn)E。）,若直線y= kx+ 2 （k工。）與橢圓交于c、D兩點(diǎn)問：是否存在k的值，使以CD為

3、直徑的圓過E點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.2- “中點(diǎn)弦型”22例6,已知橢圓一y 1 ,試確定m的值，使得在此橢圓上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y 4X m對(duì)稱。43例7,已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e , 3，焦距為2.3（I ）求該雙曲線方程.（ll ）是否定存在過點(diǎn)P（1 , 1）的直線與該雙曲線交于A , B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出直線I的方程，若不存在，說明理由.例8 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為R （0,2鳳F2 （0, 2露），且離心率e 4。 3（I）求橢圓的方程；（II ）直線I （與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且線段AB中點(diǎn)的 橫坐標(biāo)為-，求直

4、線傾斜角的取值范圍。23- “弦長(zhǎng)型”2例9 直線y=kx+ b與橢圓 于1交于A、B兩點(diǎn)，記 AOB勺面積為S.4(I)求在k= 0,Ovbv 1的條件下，S的最大值；（U ）當(dāng)I AB|= 2, S= 1時(shí)，求直線AB的方程.urrirr 2例 1。.已知向量 mi= （0，x） ， rii= （1 5 1） 5 m2= （x，0） ri2= （y 7 ）（其中 x，y 是實(shí)數(shù)），又 設(shè)向量m= mi+ .、2 n2，n=m2 .、2 m，且m n，點(diǎn)P （x，y）的軌跡為曲線C. （I）求曲線C的 方程；（U）設(shè)直線I :y kx 1與曲線C交于MN兩點(diǎn)，當(dāng)也護(hù)4運(yùn)時(shí),求直線|的方程.3

5、“基本性質(zhì)型”22例11 設(shè)雙曲線G的方程為篤篇i(a 0,b 0) , A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P是雙曲線Ci上的 a b任一點(diǎn)，弓IQBPB,QAPA , AQ與BQ相交于點(diǎn)Q求Q點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)(1)中所求軌跡為C2 , CiC2的離心率分別為，當(dāng)。.2時(shí)，求的取值范圍22例12. P為橢圓L Z 1上一點(diǎn)，曰、F2為左右焦點(diǎn)，若F1PF26O 259(1)求A RPF2的面積；(2)求P點(diǎn)的坐標(biāo).22例13,已知雙曲線與橢圓一億1共焦點(diǎn)，且以y -x為漸近線，求雙曲線方程.49 243例14. k代表實(shí)數(shù)，討論方程kx2 2y2 80所表示的曲線.例1.解：（I）設(shè)P （x,y

6、）,由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以（0,J3） , （QJ3）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓.它的短半軸b ； 22 C- 3） 21，故曲線c的方程為x2n)設(shè)A%, yi, B(X2, V2),其坐標(biāo)滿足11消去y并整理得1.(k2 4)x2 2kx 3，故 X1 X22kk24，X1X2uuu uuu若OA OB，即X1X2 NN2y / 2 k2XiX2 k(Xi X2)3k2 43k22k21 0，化簡(jiǎn)得4k2 k240,所以k例2.解：（I）解法一：易知2,b1,c.3,0下2設(shè) P x, yuuiuuun-PF23x, y ,.3x,x2 y2 3PFi21 x_48因?yàn)閤2,2uu

7、ix0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí),uunPF2有最小值即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),故當(dāng)umr ujihPF1 PF2 有最大值1解法二：易知a 2,b1,cPF.3 ,所以Fi.3,0,F2.3,0，設(shè) Px,y，則uuir uuuruuir uuuuPF1 PF 2PF1 PF 2 cosF1PF2uuu uuur PF 2PF1uuir 2PF2uuuu2uuuir.F1F22 X y2 X 32 y2 12X2 y23 （以下同解法一）顯然直線0不滿足題設(shè)條 可設(shè)直線 件，消去y，整理得:1 2x 4kx4由4k224k 3 0 得:uuuPF 2kxkx 2,A 為叢，B X2, y?,4k

8、X2 荷X24聯(lián)立AOB 90。 cos AOBuu uur OAOBO,UUU uuu-OA %x yy 0 又 y“2 kA 2 kx2 k2%x2 2k Xi XOB 224斗k24k21k210，即 k2k2 1 4k2 144 2 k 2,故由、得2k2或擰卜2例3.解:（I）易知a2,b h所以FiJ3,O , F2uuir uuuPF1 PF23x,y，x2因?yàn)椋篨2,2，故當(dāng)uurPF12X4uuuP62有最小值2,即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),uur uumPFi PF2有最大值B(0, 1)R.3,0由BFiCF1得yo7(|BF2|值為8.1 0舍去）1X02一，又一 4（川）

9、因?yàn)?yIP Fl所以有+ |PB|2670解得=4 - |PF2|+ |PB|a2 b22橢圓方程為一y2 1.（2）假若存在這樣的k值，由 3(12k)2 36(13k2)0 設(shè) C(Xi , yj、D(X2,2當(dāng)PBF周長(zhǎng)最大，最大2,再由 a 2 b222得 b2 1.3k2)x21 21k23xaxb Fayb6.2kx9 0.由直線1 .2,kx3y22,得(1 3k2)2x12kx 9X212k,3k?而 g1 3k2y. 72 (kXi 2)(kX2 2) k2XiX2 2k(Xi X2) 4 要使以 CD 為直徑的圓過點(diǎn) E(-1 , 0),當(dāng)且僅當(dāng) CE _L DE 時(shí),2

10、X 1 X2 11即y。2偽1 )(X21) 0二(k吹兀2(k 1)儲(chǔ)x2) 5 0將式代入整理解得，使得以CD為直徑的圓過點(diǎn)E.777k.經(jīng)驗(yàn)證，k，使成立.綜上可知，存在 k666例 6.解：設(shè) A%, yj, B(X2,y2), AB 的中點(diǎn) M (x。, y。)Jab2 yiX2 X.2212, 3X2 4y212,222相減得 3(X2 Xi) 4( y22、yi) 0,即 VW? 3偽X2),y。 3xo,3xo 4Xom, Xom, yo 3m而(xo,yo)在橢圓內(nèi)部,則2、空132.3m13例 7. (1) X設(shè) A(Xi, y.), Bg y2)，直線：ykx2代人方程x

11、2(2 k2)x2 2k(i k)xk)2 2 0( 2k2X22k(1占1，解得2卜？此時(shí)方程為 2x2 4x方程沒有實(shí)數(shù)根。所以直線I不存在。例8 .解：(1)設(shè)橢圓方程為22y x 27-2a b由已知c 2 、2，又一a絲解得a=3,所以b=i, 3故所求方程2為一X291 ()設(shè)直線I的方程為kx b(kH 0)代入橢圓方程整理得(k 9)x 2kbxb290由題意得(2kb)2 4(k2 9)(b2 2kB9) 0解得k.3或X1 X2k2 9線I與坐標(biāo)軸不平行故直線I傾斜角的取值范圍是例9(1)解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(兇，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(X2,b)，由1，解得q221b2，所以1S b

12、 | xi X2 |22b.1 b2 b2 1b21當(dāng)且僅當(dāng)b二時(shí)，S取到最大值2(n)解：由x2y kXb得(4 k2 1)x2 8kbx 4b2116(4k2 b21),IABI = J1 k2|x X2I V1 k27k2 4k21又因?yàn)?到AB的距離d嵩1所以b2代人并整理，得4k44 k21 b2 2，b3，代人式檢驗(yàn)2故直線AB的方程是：y-2或y例10解:(I )由已知,m (0,x) 2y2,、.2).Q m / n,（、2y2,x、.2）,即所求曲線的方程 是：Y2,、,2).(n)由2X22y 1 消去 y 得：(1 2k2)x2 4kx0.解得 Xi=0, X2=-1y

13、kx 1.4k一（X*X2分別為 2k2MN的橫坐標(biāo)）.由 |MN| 1 k2 |Xi X2| 1 k2| 企 14.2,解得1 2k 3:k1 ,所以直線I的方程x.y+l=o或x+y-仁0.例 11 .解：(1)設(shè) P(xo, y0), Q(x, y)，： A( a,0),PB, QAPAxo a x a2Y 2 o a x a2X。 紅1, a b22. 2,22y 22b2a化簡(jiǎn)得：a2x2b2經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)(a,0),由(1)2X得C2的方程為一 2 a2e2(a,0) 意42aa b22a不合題占八、2aQ的軌跡方程為2a2 c ab2y a4, (y 0)2彳6211(J2)2 1例12.解析:Ta=5,(1 )設(shè) I PFi | ti,IPF2I10tjtf 2 A2 COS6082，由彳一得卯2 12(2)設(shè) P(X,y)，由 S pg 1 2cly 14 1yl 得 41yl程解得x 45府,p （主旦矩）或p（5屆工）或p（4 ,4,4 4apF2 譏 sin 60 12 12 -33.33 3 1yl 口，將U代入橢圓方44 y 45 133 3、或 r ,？