最新201X版 必考部分 第3章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.(重點(diǎn))2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明.(難點(diǎn))3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.(易錯(cuò)點(diǎn))基礎(chǔ)·初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材P132P133例5以上內(nèi)容，完成下列問題.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的變形3.正弦的二倍角公式的變形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1±sin 2(sin 

2、7;cos )2.1.判斷(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.()(2)存在角，使得sin 22sin 成立.()(3)對于任意的角，cos 22cos 都不成立.()【解析】(1)×.二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且±k(kZ)，故此說法錯(cuò)誤.(2).當(dāng)k(kZ)時(shí)，sin 22sin .(3)×.當(dāng)cos 時(shí)，cos 22cos .【答案】(1)×(2)(3)×2.已知cos ，則cos 2等于_.【解析】由cos ，得cos 22co

3、s212×21.【答案】小組合作型利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式化簡求值.(1)cos4 sin4 ；(2)sin ·cos ·cos ；(3)12sin2 750°；(4)tan 150°.【精彩點(diǎn)撥】靈活運(yùn)用倍角公式轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相消項(xiàng)，然后求得.【自主解答】(1)cos4 sin4 cos .(2)原式·cossin ·cos sin .原式.(3)原式cos(2×750°)cos 1 500°cos(4×360°60°)cos 60°.原式.(4

4、)原式.原式.二倍角公式的靈活運(yùn)用：(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識(shí)的體現(xiàn).主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時(shí)要融會(huì)貫通，有目的地活用公式.主要形式有：1±sin 2sin2 cos2 ±2sin cos (sin ±cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .再練一題1.求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)；(3)；(4)cos 20°cos 40

5、76;cos 80°.【解】(1)原式.(2)原式tan(2×150°)tan 300°tan(360°60°)tan 60°.(3)原式4.(4)原式.利用二倍角公式解決求值問題(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值為()A.2B.2C. D.(2)已知sin，則cos的值等于()A. B.C. D.(3)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值.【精彩點(diǎn)撥】(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22及求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用兩角和

6、的余弦公式求cos(2).【自主解答】(1)因?yàn)閟in 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因?yàn)閏ossinsin，所以cos2cos212×21.【答案】(1)D(2)C(3)因?yàn)槭堑谌笙藿牵琧os ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2××.因?yàn)?，sin ，所以cos ，cos 22cos2 12×1，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin ××.直接應(yīng)用二倍角公式求值的三種類型(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2).(2)sin (或cos )cos

7、212sin2 (或2cos2 1).(3)sin (或cos )再練一題2.(1)已知，sin ，則sin 2_，cos 2_，tan 2_.(2)已知sinsin，且，求tan 4的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：70512043】【解析】(1)因?yàn)?，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2××，cos 212sin2 12×2，tan 2.【答案】(2)因?yàn)閟insincos，則已知條件可化為sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因?yàn)?，所?(，2)，從而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式證明求證：(1)cos2(AB

8、)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.【精彩點(diǎn)撥】(1)可考慮從左向右證的思路：先把左邊降冪擴(kuò)角，再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.(2)證法一：從左向右：切化弦降冪擴(kuò)角化為右邊形式；證法二：從右向左：利用余弦二倍角公式升冪后向左邊形式轉(zhuǎn)化.【自主解答】(1)左邊(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右邊，等式成立.(2)法一：左邊cos2cos2sin2cos 2右邊.法二：右邊cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左邊.證明問題的原則及一

9、般步驟：(1)觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式，一般是從復(fù)雜到簡單，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異，然后本著“復(fù)角化單角”、“異名化同名”、“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.再練一題3.證明：tan . 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00680072】【證明】左邊tan 右邊.所以tan 成立.探究共研型倍角公式的靈活運(yùn)用探究1請利用倍角公式化簡：(2<<3).【提示】2<<3，<<，<<，2sin .探究2如何求函數(shù)f(x)2cos2x12·sin

10、xcos x(xR)的最小正周期？【提示】求函數(shù)f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)×(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期為.求函數(shù)f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其單調(diào)減區(qū)間.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】f(x)5··2sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin.x，2x，sin，當(dāng)2x，即x時(shí)，f(x)取最小值為32.ysin在上單調(diào)遞增，f(x)在上單調(diào)遞減.本題考查二倍角公式，yAsin(x)的形式，再利用函數(shù)圖象解決問題.再練一題4.求函數(shù)ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解】ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.1.sin 22°30·cos 22°30的值為()A. B. C. D.【解析】原式sin 45°.【答案】B2.已知sin x，則cos 2x的值為()A. B. C. D.【解析】因?yàn)?/p>