十五講樣本及抽分布

1、1 / 1第六章樣本及抽樣分布概率論和數(shù)理統(tǒng)計都是研 究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的學(xué)科， 但是它們在研究問題的方法上 乂有其自身的特點.在許多實際 問題中，要想全面地了解所研究 的對象的整體情況往往是不現(xiàn) 實的，只能通過試驗得到它的局 部信息，由于局部和整體是密切 相聯(lián)系的,還是可以利用這局部 信息來推斷整體特性的，這就是 數(shù)理統(tǒng)計方法的基本思想.第十五講樣本及抽樣分布數(shù)理統(tǒng)計討論問題的出發(fā)點是試驗數(shù) 據(jù)，它的基本任務(wù)是研究如何對隨機現(xiàn)象進 行觀察或試驗以獲得具有代表性的局部數(shù) 據(jù)，以及如何對收集到的局部數(shù)據(jù)進行整理、 分析，并對所研究的對象的整體特性做出盡 可能準確的推測和判斷.數(shù)理統(tǒng)計的內(nèi)容十分

2、豐富，大體上可分 為收集數(shù)據(jù)和統(tǒng)計推斷兩個方面：(1)收集數(shù)據(jù)研究如何對隨機現(xiàn)象進 行觀察或試驗，以便獲得能夠很好地反映整 體情況的局部數(shù)據(jù).其內(nèi)容包括抽樣技術(shù)、 試驗設(shè)計等.(2)統(tǒng)計推斷研究如何對收集到的局 部數(shù)據(jù)進行整理、分析，并對所考察的對象 的整體特性做出盡可能準確可信的推測和判 斷.其內(nèi)容包括參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差 分析和回歸分析等.統(tǒng)計推斷是數(shù)理統(tǒng)計的 主體.統(tǒng)計推斷問題舉例:某公司要采購一批產(chǎn)品, 每件產(chǎn)品不是合格品就是不合格品，但該批 產(chǎn)品總有一個不合格品率P。由此，若從該 批產(chǎn)品中隨機抽取一件，用X表示該產(chǎn)品是 否合格，不難看出X服從(0-1),但分布中 的參數(shù)P是不知道

3、的。一些問題：(1)P的大小如何；(2) P大概落在什么范 圍內(nèi)；(3)能否認為p滿足設(shè)定要求(如 p <0. 05)o1 .隨機樣本總體:試驗全部可能的觀察值（或研究對象的 全體）；個體：每一個可能觀察值（或組成總體的每 一個元素）；容量：總體中所包含的個體個數(shù)；總體中的每一個個體是隨機試驗的一個 觀察值,可理解為它是某一隨機變量X的值, 研究所有個體的觀察值出現(xiàn)的概率，就是研 究隨機變量X的分布問題。因此，一個總體 對應(yīng)于一個隨機變量Xo對一個總體的研究 就是對一個隨機變量X的研究，X的分布函 數(shù)和數(shù)字特征就稱為總體的分布函數(shù)和數(shù)字 特征。今后將不區(qū)分總體與相應(yīng)的隨機變量, 籠統(tǒng)地稱

4、為總體Xo例如，假設(shè)一射擊手的射擊水平穩(wěn)定， 則射擊手的所有射擊成績（從前、現(xiàn)在和未 來）可稱為“總體”，而一次射擊的成績稱為 “個體”。顯然，一次射擊的成績好壞由射擊 手的射擊水平即射擊成績這一隨機變量的分 布決定，而射擊手成績的“總體”服從同一 隨機變量分布。在數(shù)理統(tǒng)計中，人們都是通過從總體中 抽取一部分個體，根據(jù)獲得的數(shù)據(jù)來對總體 的分布得出推斷的。被抽出的部分個體叫做 總體的一個樣本。樣本：從總體中抽取的部分個體； 樣品：樣本中的每個個體；§1隨機樣本當(dāng)總體的容量有限時，稱為 有限總體；否則，稱為無限總體.應(yīng)當(dāng)指出，樣本是具有二重 性的.一方面，抽樣前樣本中的 每個樣品的取值

5、都具有隨機性， 即每個樣品都是隨機變量；另一 方面，抽樣后樣本中的樣品都是 確定的數(shù)值.在理論研究中，我 們把樣本中的每個樣品都看作 隨機變量，總體X的一個容量為 n的樣本通常是用n個隨機變量 （X“X2,X”）來表示,進行一 次具體的抽樣之后得到n個確 定的數(shù)值（為,42,稱為樣本 的一個觀測值，簡稱為樣本值.一般，對有限總體，放回抽 樣所得到的樣本為簡單隨機樣 本,但使用不方便，常用不放回 抽樣代替.而代替的條件是樣本容量：一個樣本中所含樣品的個數(shù)。為對總體分布得出合理的推斷，人們常采用 簡單隨機樣本進行分析。簡單隨機樣本：設(shè)XI,X2,X”是來自總體 x的一個樣本，若,x相互獨立， 且X

6、”X,X”都與X有相同的概率分布， 則稱,X.為總體X的一個簡單隨 機樣本，簡稱樣本。也可以將樣本看稱是一個隨機向量，寫成 (XPX2, -,Xn)o由定義得,若(X,X2,X”)為具有分布函 數(shù)尸的總體X的一個樣本,則xpx2,% 相互獨立，且它們的分布函數(shù)都是尸，所以 (xx”,X”)的聯(lián)合分布函數(shù)為尸”(再,孫，/)=立尸(即乂若X具有概率密度了,則(XrX?,X”) 的概率密度為n/(再”2，一，匕)=1/區(qū))-J-12 .統(tǒng)計量樣本是進行統(tǒng)計推斷的依據(jù)。在應(yīng)用時，往 往不是直接使用樣本本身，而是針對不同的 問題構(gòu)造樣本的適當(dāng)函數(shù)，利用這些函數(shù)進 行統(tǒng)計推斷?？傮w、樣本、樣本觀察值的關(guān)

7、系：統(tǒng)計是從手中已有的資料一一 樣本觀察值，去推斷總體的情況一一 總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁。 總體分布決定了樣本取值的概率規(guī) 律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī) 律，因而可以用樣本觀察值去推斷總 體。§ 2抽樣分布因為X,X2,.”Xn都是隨機 變量，而統(tǒng)計量g(Xl,X2，,Xn) 是隨機變量的函數(shù)，因此統(tǒng)計 量也是一個隨機變量.設(shè)Xi, X2, . . . , Xn是相應(yīng)于樣 本X,X2，,Xn的樣本值，則稱 g(xn x2,., xa)S g(X|,X2, .» Xn)的觀察值。定義：設(shè)Xhx2，,Xn是來自總體X的一個樣 本，g(Xl,X2，,Xn)是 Xi,X

8、2,.,Xn 的函數(shù)，若 g中不含未知參數(shù)，則稱g(X,X2,Xn)是一 統(tǒng)計量。特別注意：樣本方差與樣本二階 中心矩是不同的。常用的統(tǒng)計量：設(shè)(X1,X2,X”)是來自總體X的容量為的樣本，稱統(tǒng)計量1 (1)x = iyxf為樣本均值;(2) 52=-£卜-幻2為樣本方差;"1寸Z(X,M)2/-I= £(X/2X* + /)r-1= ±X-2X±Xi + ±X2r-1/-I1-= £x：-r-!=£xr-lS =一£(Xj-引 為樣本標準差；1 (3)4為樣本的k階(原點)矩;(4) Bkf(Xj -

9、田為樣本的k階中心 /-I矩。樣本方差的計算式：s'伐X；耳)-13=1)3.經(jīng)驗分布函數(shù)設(shè)(XX2,X“)是總體F的一個樣本 用S(x)表示X'X2,X.中不大于x的隨機變 量的個數(shù)，-8<工<8,定義經(jīng)驗分布函數(shù) Fn(x)為7,(x) = S(x), -CO<X<00.n一般，設(shè)為,，覆是總體F的一個容量1/1為n的樣本值.先將3,與，當(dāng)按自小到大 的次序排列，并重新編號，設(shè)為則經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(x)的觀察值為0, W平.n1,若，若X. “XV'%川, 若XN %!).例如(1)設(shè)總體F具有一個樣本值1,23則經(jīng)驗分布函數(shù)F3(x)的觀察

10、值為0,£21,若XV 1,若 1 < x < 2,若2 < x < 3, 若xN 3.設(shè)總體F具有一個樣本值1,12則經(jīng)驗分 布函數(shù)F3(X)的觀察值為0,若x < 1,F3(x)= < 若I<xv2,1,若x > 2. *對于經(jīng)驗分布函數(shù)Fn(X),格里汶科 (Glivenko)在1933年證明了以下的結(jié)果：對 于任一實數(shù)x,當(dāng) f 8時Fn(x)以概率1 一 致收斂于分布函數(shù)F(x),即數(shù)學(xué)上用Sup這個記號表示“上 確界”，即最小上界。Ps lim sup |Fn(x)-F(x)| = 0 = 1n-x-»<x&

11、lt;oc因此，對于任一實數(shù)x,當(dāng)n充分大時，經(jīng)驗 分布函數(shù)的任一個觀察值Fn(X)與總體分布 函數(shù)F(x)只有微小的差別，從而在實際上可 以當(dāng)作F(x)來使用.1/1樣本，則稱統(tǒng)計量/服從自由度為/-I（課間休息）4.統(tǒng)計中常用的三種分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計 中常用到如下三個分布：/分布、t分布和F分布。（1）/分布 定義:設(shè)孫占,X”是來自總體N（O,1）的 n的尸分布，記為/ /（）的概率密度函數(shù)為：n Xc、.H”x>0-0x«08" |其中：LZx,（：）=、垢 2/分布的性質(zhì)： 1）若/2 4伽）,則E（/） = ，D（x2） = 2/1,

12、事實上，因為X, N（O,1）,則：£（Xz2） = D（XJ = 1,D（X：） = E（X；） E（X：）f=l x4e Lbc-1 = 3-1 = 2而Jri = 1,2,所以：e（/）= e（£x；）= £e（x；）= ；oa2） = o（tx：） = £o（x：） = 2 r-1j-12） /分布的可加性：設(shè)婷/（%）,£/（/），且疔與淳相互獨立，貝IJ：+2）。3） X2（n）分布的上。分位數(shù)有表可查。4）當(dāng)n充分大時，近似地有/（）x+ J2" -1）其中，%是標準正態(tài)分布的上。分位點。（2），分布定義:設(shè)x n（oj

13、）, 丫/伽），且x與y相互獨立，則稱統(tǒng)計量：t = 2L所服從的有分布是自由度為的/分布，記為7 «），/ 、分布又稱為學(xué)生氏（Student）分布。/ ，分布的概率密度函數(shù)為：/i2:r（x, n）= :竽）（1 + 二）-竽一-oo<x<-hx）o，分布的特點（性質(zhì)）：1） «X；）關(guān)于K=o對稱"（K"）在x=0達最大值,/*；）的X軸為水平漸近線；2）若7«），則心 1 時，E（T） = O;n> 2時.，D（T）=/一；n-23） /（“）分布的上。分位數(shù)有表可查，且I4) limt(x,n) = ,-e 2 ;即->co時,，分3 而布fN（OJ）, 一般地，當(dāng) >45時，分布與NQ1）非常接近，上a分位數(shù)可用正態(tài)分布近似。（3）尸分布定義：設(shè)乂/（?），y/（），且x與y相互獨立，則稱統(tǒng)計量產(chǎn)=衛(wèi)”服從自由 Y/n度為