數(shù)理統(tǒng)計(jì)參考答案

1、習(xí)題一1 設(shè)總體的樣本容量，寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布. 1）； 2）； 3）； 4）.解 設(shè)總體的樣本為，1）對(duì)總體，其中：2）對(duì)總體其中：3）對(duì)總體4）對(duì)總體2 為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運(yùn)過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取20個(gè)集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的件數(shù)，記錄結(jié)果為：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)并畫出圖形.解 設(shè)代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù)，由題意可統(tǒng)計(jì)出如下的樣本頻率分布表1.1：表1.1 頻率分布表i0 1 2 3 4個(gè)數(shù)6 7 3 2 20.3 0.35 0.15 0.1 0.1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

2、的定義式為：，據(jù)此得出樣本分布函數(shù)：圖1.1 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)3 某地區(qū)測(cè)量了95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù)(單位：cm)如下： 組下限165 167 169 171 173 175 177組上限167 169 171 173 175 177 179人 數(shù)3 10 21 23 22 11 5試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.解圖1.2 數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為172，方差為5.64的正態(tài)分布，即.4 設(shè)總體X的方差為4，均值為，現(xiàn)抽取容量為100的樣本，試確定常數(shù)k，使得滿足.解 因k較大，由中心極限定理,：所以：查表得：，.5 從總體中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落

3、在50.8到53.8之間的概率.解 6 從總體中分別抽取容量為10與15的兩個(gè)獨(dú)立的樣本，求它們的均值之差的絕對(duì)值大于0.3的概率.解 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立的樣本分別為：與，其對(duì)應(yīng)的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨(dú)立，且： ， 7 設(shè)是總體的樣本，試確定C，使得. 解 因，則，且各樣本相互獨(dú)立，則有：所以： 查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31，則c=73.24.8 設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)，是來自總體X的樣本，且，定義隨機(jī)變量：試確定統(tǒng)計(jì)量的分布.解 由已知條件得：，其中.因?yàn)榛ハ嗒?dú)立，所以也互相獨(dú)立，再根據(jù)二項(xiàng)分布的可加性，有，.9 設(shè)是來自總體X的樣本，試求。假設(shè)總體的分布為：1） 2) 3)

4、4) 解 1) 2) 3) 4) 10 設(shè)為總體的樣本，求與。解又因?yàn)?,所以：11 設(shè)來自正態(tài)總體，定義：，計(jì)算.解 由題意知，令：，則 12 設(shè)是總體的樣本，為樣本均值，試問樣本容量應(yīng)分別取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解 1)， 所以：2) 令： 所以： 計(jì)算可得：3) 查表可得： ，而取整數(shù)，.13 設(shè)和是兩個(gè)樣本，且有關(guān)系式：（均為常數(shù)，），試求兩樣本均值和之間的關(guān)系，兩樣本方差和之間的關(guān)系.解 因： 所以：即：14 設(shè)是總體的樣本.1) 試確定常數(shù)，使得，并求出；2) 試確定常數(shù)，使得，并求出和.解 1）因：，標(biāo)準(zhǔn)化得：，且兩式相互獨(dú)立故：可得：，.2） 因：， 所以

5、：， 可得：.15 設(shè)分別是分布和分布的分位數(shù)，求證.證明 設(shè)，則： 所以： 故：.16 設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本，求常數(shù)，使： . 解 易知，則； 同理，則 又因：，所以與相互獨(dú)立. 所以：計(jì)算得：c = 0.976.17 設(shè)為總體的容量的樣本，為樣本的樣本均值和樣本方差，求證： 1）； 2）； 3）.解 1）因：， 所以：， 又： 且：與相互獨(dú)立 所以： 2） 由1）可得：3） 因：，所以：18 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值，求，使得. 解 所以：查表可得：，即.19 設(shè)為總體的樣本，試求：1）的密度函數(shù)； 2）的密度函數(shù)；解 因：， 所以的密度函數(shù)為：， 由定理： 20 設(shè)為總體的樣本，試求

6、：1）； 2）解 21 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，試確定下列統(tǒng)計(jì)量的分布：1）； 2）；3）解 1）因?yàn)椋核裕?，且與相互獨(dú)立，由抽樣定理可得：2）因?yàn)椋?，且與相互獨(dú)立，所以：3）因?yàn)椋?，所以：，且與相互獨(dú)立，由卡方分布可加性得：.22 設(shè)總體服從正態(tài)分布，樣本來自總體，是樣本方差，問樣本容量取多大能滿足？解 由抽樣分布定理：,查表可得：，.23 從兩個(gè)正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨(dú)立的樣本，設(shè)總體方差相等，分別為兩樣本方差，求.解 設(shè)分別為兩樣本的容量，為總體方差，由題意，又因分別為兩獨(dú)立的樣本方差：所以：. 24 設(shè)總體，抽取容量為20的樣本，求概率1）；2）.解 1）因，且各樣本間相

7、互獨(dú)立，所以：故：2）因：, 所以：25 設(shè)總體，從中抽取一容量為25的樣本，試在下列兩種情況下的值：1） 已知；2） 未知，但已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差.解 1） 2）26 設(shè)為總體的樣本，為樣本均值和樣本方差，當(dāng)時(shí)，求：1） 2）3）確定C，使.解 1） 2）其中,則 3）其中，則所以： ,計(jì)算得：. 27 設(shè)總體的均值與方差存在，若為它的一個(gè)樣本，是樣本均值，試證明對(duì)，相關(guān)系數(shù). 證明 所以：.28. 設(shè)總體，從該總體中抽取簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，是它的樣本均值，求統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望.解 因，為該總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令，則有 可得：習(xí)題二1 設(shè)總體的分布密度為：為其樣本，求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量 .現(xiàn)測(cè)

8、得樣本觀測(cè)值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù)的估計(jì)值 .解 計(jì)算其最大似然估計(jì)： 其矩估計(jì)為： 所以：，.2 設(shè)總體X服從區(qū)間0, 上的均勻分布，即，為其樣本，1)求參數(shù)的矩估計(jì)量和極大似然估計(jì)量；2)現(xiàn)測(cè)得一組樣本觀測(cè)值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計(jì)值.解 1）矩估計(jì)量： 最大似然估計(jì)量：無解 .此時(shí)，依定義可得：2）矩法： 極大似然估計(jì)：.3 設(shè)是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量 .已知總體X的分布密度為：1）未知2）未知3）未知4) 未知5），其中參數(shù)未知6），

9、其中參數(shù)未知 7）未知8）解 1） 矩法估計(jì)：最大似然估計(jì)：.2) 矩估計(jì)： 最大似然估計(jì)：.3） 矩估計(jì)： 聯(lián)立方程： 最大似然估計(jì)： ,無解，當(dāng)時(shí)，使得似然函數(shù)最大，依照定義，同理可得.4) 矩估計(jì)：，不存在 最大似然估計(jì)：，無解；依照定義，.5) 矩估計(jì)： 即最大似然估計(jì)：，無解依定義有：.6) 矩估計(jì)： 解方程組可得：最大似然估計(jì)： 無解，依定義得， 解得 .7) 矩估計(jì)：最大似然估計(jì)：.8)矩估計(jì)：最大似然估計(jì)： .4. 設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為，其中參數(shù)已知，記，樣本來自于總體X，則求參數(shù)的最大似然估計(jì)量 .解 記則；.5 設(shè)元件無故障工作時(shí)間X具有指數(shù)分布，取1000個(gè)元件工

10、作時(shí)間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為： 組中值 5 15 25 35 45 55 65頻 數(shù) 365 245 150 100 70 45 25如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點(diǎn)估計(jì).解 最大似然估計(jì)：.6 已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機(jī)抽取10只，測(cè)得其壽命(單位：小時(shí))為： 1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計(jì)這個(gè)星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時(shí)以上的概率.解 設(shè)燈泡的壽命為,極大似然估計(jì)為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到： .經(jīng)計(jì)算得，這個(gè)星期生產(chǎn)的燈泡能使用1

11、300小時(shí)的概率為0.0075.7. 為檢驗(yàn)?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機(jī)抽取50升，化驗(yàn)每升水中大腸桿 菌的個(gè)數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)服從Poisson分布)，其化驗(yàn)結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升 0 1 2 3 4 5 6 升 數(shù) 17 20 10 2 1 0 0試問平均每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)為多少時(shí)，才能使上述情況的概率為最大？解 設(shè)為每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)，由3題（2）問知，的最大似然估計(jì)為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個(gè)數(shù)為1時(shí)，出現(xiàn)上述情況的概率最大 .8 設(shè)總體，試?yán)萌萘繛閚的樣本，分別就以下兩種情況，求出使的點(diǎn)A的最大似然估計(jì)量 .1）若時(shí)； 2）若均未知時(shí) .解

12、1） ，的最大似然估計(jì)量為，所以 .2） 的最大似然估計(jì)量為，最大似然估計(jì)為，由極大似然估計(jì)的不變性，直接推出.9 設(shè)總體X具有以下概率分布： x01/31/4011/31/40201/41/431/61/41/241/601/4求參數(shù)的極大似然估計(jì)量 .若給定樣本觀測(cè)值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估計(jì)值 .解 分別計(jì)算 ，時(shí)樣本觀測(cè)值出現(xiàn)的概率：由最大似然估計(jì)可得：.10 設(shè)總體X具有以下概率分布：， 求參數(shù)的最大似然估計(jì)量 .解 最大似然估計(jì)應(yīng)該滿足：結(jié)果取決于樣本觀測(cè)值.11 設(shè)是總體X的樣本，設(shè)有下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量： 指出中哪幾個(gè)是總體均值a=EX的無偏估計(jì)量，并指出哪一個(gè)

13、方差最小？解，所以 無偏，方差最小.12 設(shè)總體，為其樣本，1）求常數(shù)，使為的無偏估計(jì)量；2）求常數(shù)，使為的無偏估計(jì)量 .解 1） 令 得 .2）令 .13 設(shè)是來自總體X的樣本，并且EX =，DX = ，是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)，使是的無偏估計(jì)量 .解所以 .14 設(shè)有二元總體，為其樣本，證明：是協(xié)方差的無偏估計(jì)量 .證明 由于所以：，證畢 .15 設(shè)總體，樣本為，是樣本方差，定義，試比較估計(jì)量,哪一個(gè)是參數(shù)的無偏估計(jì)量？哪一個(gè)對(duì) 的均方誤差最?。拷?1）所以 是的無偏估計(jì)2） 所以，可以看出最小 .16 設(shè)總體，為樣本，試證：與都是參數(shù)的無偏估計(jì)量，問哪一個(gè)較有效？解所以 比較有效

14、.17 設(shè)，是的兩個(gè)獨(dú)立的無偏估計(jì)量，并且的方差是的方差的兩倍 .試確定常數(shù)c1, c2，使得為的線性最小方差無偏估計(jì)量 .解： 設(shè) 當(dāng)，上式達(dá)到最小，此時(shí) .18. 設(shè)樣本來自于總體X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，證明估計(jì)量是參數(shù)的有效估計(jì)量 .解 所以其C-R方差下界為 所以 是參數(shù)有效估計(jì)量.19 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，對(duì)可估計(jì)函數(shù)，求的有效估計(jì)量，并確定R-C下界 .解 因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以取統(tǒng)計(jì)量得=，所以是無偏估計(jì)量令 由定理2.3.2知 T是有效估計(jì)量，由所以 C-R方差下界為.20 設(shè)總體X服從幾何分布：，對(duì)可估計(jì)函數(shù)，則1）求的有效估計(jì)量；

15、2）求；3）驗(yàn)證的相合性 .解 1）因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以取統(tǒng)計(jì)量 .又因?yàn)?所以是的無偏估計(jì)量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計(jì)量2）所以 是相合估計(jì)量 .21 設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，是否存在可估計(jì)函數(shù)以及與之對(duì)應(yīng)的有效估計(jì)量？如果存在和，請(qǐng)具體找出，若不存在，請(qǐng)說明為什么 .解 因?yàn)樗迫缓瘮?shù)所以令 所以是的無偏估計(jì)量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計(jì)量所以：是有效估計(jì)量.22 設(shè)是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1） 求參數(shù)的極大似然估計(jì)量；2） 試問極大似然估計(jì)是否是有效估計(jì)量？如果是，請(qǐng)求它的方差和信息量；3） 試問是否是相合估計(jì)量？解 1）得到最大

16、似然估計(jì)量2）所以所以是無偏估計(jì)量，由定理2.3.2得到是有效估計(jì)量信息量3）所以，T也是相合估計(jì)量 .23 設(shè)樣本來自總體，并且的區(qū)間估計(jì)為，問以多大的概率推斷參數(shù)取值于此區(qū)間 .解 設(shè)以概率推斷參數(shù)取值于，在已知方差為1條件下，推斷參數(shù) 的置信度為的置信區(qū)間為所以 ，得到 即以概率推斷參數(shù)取值于.24 從一批螺釘中隨機(jī)地取16枚，測(cè)得其長度(單位：cm)為： 2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1）若已知

17、=0.01cm； 2）若未知；解 因?yàn)?） 計(jì)算所以 置信區(qū)間為2） 計(jì)算所以 置信區(qū)間為.25 測(cè)量鋁的密度16次，測(cè)得試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間(假設(shè)鋁的比重服從正態(tài)分布) .解 這是正態(tài)分布下，方差未知，對(duì)于均值的區(qū)間估計(jì)：因?yàn)橛?jì)算 所以 置信區(qū)間為 .26 在方差已知的正態(tài)總體下，問抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為的置信區(qū)間長度不大于l？解 均值的置信度為的置信區(qū)間為要使即 .27 從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4, 5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解，所以.28假設(shè)0.5, 1.25, 0.8, 2.0

18、是總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本值 .已知 .1） 求參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間；2） 求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間 .解 1） 服從正態(tài)分布，按照正態(tài)分布均值的區(qū)間估計(jì)，其置信區(qū)間為 ，由題意，從總體X中抽取的四個(gè)樣本為：其中，代入公式，得到置信區(qū)間為2），由1）知道的置信區(qū)間為，所以置信區(qū)間為.29 隨機(jī)地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根，測(cè)得其電阻()為： A批導(dǎo)線：0.143，0.142，0.143，0.137 B批導(dǎo)線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)測(cè)試數(shù)據(jù)分別服從和，并且它們相互獨(dú)立，又均未知，求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由

19、題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對(duì)總體均值差的估計(jì)： 置信區(qū)間為計(jì)算得 所以.30 有兩位化驗(yàn)員A、B，他們獨(dú)立地對(duì)某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測(cè)定，其測(cè)定值的方差依次為0.5419和0.6065，設(shè)與分別為A、B所測(cè)量數(shù)據(jù)的總體的方差(正態(tài)總體)，求方差比/的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意，這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計(jì)： 置信區(qū)間為計(jì)算得 所以置信為 .31 隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn)，測(cè)得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11(m/s)，設(shè)炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為95%的置信區(qū)間 .解 由題意標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間為

20、計(jì)算得所以 置信區(qū)間為 .32 在一批貨物的容量為100的樣本中，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)16個(gè)次品，試求這批貨物次品率的置信度為95%的置信區(qū)間解 設(shè)表示來自總體的樣本，樣本為次品時(shí),樣本為正品時(shí)，表示次品率，則，的置信區(qū)間為計(jì)算得： 所以 置信區(qū)間為.33 設(shè)總體，參數(shù)，是來自于總體X的樣本，并且，求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量 .解 設(shè)，先驗(yàn)分布密度，當(dāng)時(shí)，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分布為的后驗(yàn)分部為 ，所以關(guān)于的Bayes估計(jì)量.34 設(shè)總體，參數(shù)具有指數(shù)分布，即，并且損失函數(shù)為平方差函數(shù)形式，求 參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量 .解 設(shè)，先驗(yàn)分布密度當(dāng)時(shí)，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分布為的后驗(yàn)分部為 ，

21、關(guān)于的Bayes估計(jì)量.35 設(shè)總體X服從幾何分布：，并且參數(shù)，其中為已知參數(shù) .在平方差損失下，求參數(shù)的貝葉斯估計(jì)量T .解 設(shè)，先驗(yàn)分布密度 當(dāng)時(shí)，樣本的概率密度分布為：關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分部為的后驗(yàn)分部為 關(guān)于的Bayes估計(jì)量.36 設(shè)為總體的樣本，1） 求參數(shù)p是有效估計(jì)量T1與相應(yīng)的信息量；2） 如果，在平方差損失下，求參數(shù)p的貝葉斯估計(jì)量T2 .3） 試比較兩個(gè)估計(jì)量T1和T2 .解 1）因?yàn)樗迫缓瘮?shù)為： 所以 又因?yàn)樗匀?，有定?.3.2得 是的有效估計(jì)量2）設(shè)先驗(yàn)分布密度 當(dāng)時(shí)，樣本的概率密度分布為關(guān)于參數(shù)的后驗(yàn)分部為 的后驗(yàn)分部為 ，關(guān)于的Bayes估計(jì)量（3）比較估計(jì)量,有

22、： 所以，優(yōu)于.習(xí)題三1 正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量.現(xiàn)在測(cè)試了5爐鐵水，其含碳量分別為4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差沒有改變，問總體的均值有無顯著變化？如果總體均值沒有改變，問總體方差是否有顯著變化（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 拒絕域?yàn)?，臨界值 ， 由于 ，所以拒絕，總體的均值有顯著性變化.設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 由于，所以當(dāng)時(shí) 拒絕域?yàn)?由于，所以拒絕，總體的方差有顯著性變化.2 一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h .現(xiàn)抽測(cè)25件，得其均值為=950h .已知該種元件壽命，問這批元件是否合格（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè)拒絕域?yàn)?臨界值為

23、 由于 ，所以拒絕，元件不合格.3 某食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)裝罐頭食品，每罐標(biāo)準(zhǔn)重量為500g，現(xiàn)從某天生產(chǎn)的罐頭中隨機(jī)抽測(cè)9罐，其重量分別為510，505，498，503，492，502，497，506，495（g），假定罐頭重量服從正態(tài)分布. 問 (1)機(jī)器工作是否正常（）？ 2）能否認(rèn)為這批罐頭重量的方差為5.52（）？解 （1）設(shè)X表示罐頭的重量(單位：g). 由題意知,已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) ,拒絕域 當(dāng)時(shí)，臨界值 ，由于，所以接受，機(jī)器工作正常.（2）設(shè)X表示罐頭的重量(單位：g). 由題意知，已知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 拒絕域?yàn)?當(dāng)=0.05時(shí)，可得由于,所以接受，可以認(rèn)為方差為.4 某部門對(duì)當(dāng)

24、前市場(chǎng)的雞蛋價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查，抽查某市20個(gè)集市上雞蛋的平均售價(jià)為3.399（元/500克），標(biāo)準(zhǔn)差為0.269（元/500克）.已知往年的平均售價(jià)一直穩(wěn)定在3.25（元/500克）左右， 問該市當(dāng)前的雞蛋售價(jià)是否明顯高于往年？（）解 設(shè)X表示市場(chǎng)雞蛋的價(jià)格（單位：元/克），由題意知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) , 拒絕域?yàn)?當(dāng)=0.05時(shí)，由于所以拒絕，當(dāng)前的雞蛋售價(jià)明顯高于往年.5 已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度，某日抽測(cè)8根纖維，其纖度分別為1.32，1.41，1.55，1.36，1.40，1.50，1.44，1.39，問這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了（）？解 由題意知 ，設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 拒絕域?yàn)?/p>

25、， 當(dāng)時(shí)， 由于，所以拒絕，認(rèn)為強(qiáng)度的方差明顯變大.6 某種電子元件,要求平均壽命不得低于2000，標(biāo)準(zhǔn)差不得超過130.現(xiàn)從一批該種元件中抽取25只,測(cè)得壽命均值,標(biāo)準(zhǔn)差.設(shè)元件壽命服從正態(tài)分布，試在顯著水平 =0.05下, 確定這批元件是否合格.解 設(shè)X表示電子元件的平均壽命（單位：），由題意知設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 拒絕域?yàn)?當(dāng)時(shí)，由于 ，所以接受，即這批電子元件的壽命是合格的.7 設(shè)為來自總體的樣本，已知對(duì)統(tǒng)計(jì)假 的拒絕域?yàn)?1）當(dāng)時(shí)，求犯兩類錯(cuò)的概率與；2）證明：當(dāng)時(shí)，0，0.解 （1）由題意知 犯第一類錯(cuò)誤的概率為犯第二類錯(cuò)誤的概率為（2）若成立，則 當(dāng)，所以同理 8 設(shè)需要對(duì)某一正態(tài)總體

26、的均值進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)H0：= 15，H1： 15取檢驗(yàn)水平=0.05，試寫出檢驗(yàn)H0的統(tǒng)計(jì)量和拒絕域.若要求當(dāng)H1中的=13時(shí)犯第二類錯(cuò)誤的概率不超過=0.05，估計(jì)所需的樣本容量n.解 由題意知 ,已知, 設(shè)立統(tǒng)計(jì)原假設(shè) 則拒絕域?yàn)椋渲信R界值犯第二類錯(cuò)誤的概率即 , 化簡(jiǎn)得 .9 設(shè)為來自總體的樣本，為已知, 對(duì)假設(shè)： 其中，試證明：解 （1）,由題意知 犯第一，二類錯(cuò)誤分別為，則有 （2）由題意知 ，犯第一，二類錯(cuò)誤分別為，則有10 設(shè)為總體樣本，對(duì)假設(shè)：的拒絕域?yàn)?. 求犯第類錯(cuò)誤的概率和犯第類錯(cuò)的概率.解 由題意知 , 統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 . 拒絕域?yàn)?則犯第一，二類錯(cuò)誤的概率分別是11 設(shè)總

27、體是密度函數(shù)是 統(tǒng)計(jì)假設(shè) .現(xiàn)從總體中抽取樣本,拒絕域，求：兩類錯(cuò)誤的概率解 由題意知當(dāng)此時(shí) 當(dāng)此時(shí) 12 設(shè)總體，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)： ；，試分析其拒絕域.解 由題意知 ,當(dāng)成立時(shí)所以拒絕域?yàn)?當(dāng)成立時(shí)所以拒絕域?yàn)?3 設(shè)總體根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，對(duì)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：（1）；（2）試分析其拒絕域.解 由題意知 （1）假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 其中已知當(dāng)成立時(shí)，拒絕域形式為 由 ，可得所以 ，由此可得拒絕域形式為（2）假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 其中未知當(dāng)成立時(shí)，選擇拒絕域?yàn)?，由得 所以，由此可得拒絕域形式為14 從甲、乙兩煤礦各取若干樣品，得其含灰率（%）為,甲:24.3, 20.8, 23.7, 2

28、1.3, 17.4, 乙:18.2, 16.9, 20.2, 16.7 .假定含灰率均服從正態(tài)分布且，問甲、乙兩煤礦的含灰率有無顯著差異 （）？ 解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 其中當(dāng)時(shí)臨界值 拒絕域?yàn)槎?15 設(shè)甲、乙兩種零件彼此可以代替，但乙零件比甲零件制造簡(jiǎn)單，造價(jià)也低.經(jīng)過試驗(yàn)獲得它們的抗拉強(qiáng)度分別為（單位：kg/cm）：甲：88，87，92，90，91 乙：89，89，90，84，88假定兩種零件的抗拉強(qiáng)度都服從正態(tài)分布，且 =.問甲種零件的抗拉強(qiáng)度是否比乙種的高（）？解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中當(dāng)時(shí)臨界值 拒絕域?yàn)槎?，所以接受，認(rèn)為甲的抗拉強(qiáng)度比乙的要高.16 甲、乙兩車床生產(chǎn)

29、同一種零件.現(xiàn)從這兩車床產(chǎn)生的產(chǎn)品中分別抽取8個(gè)和9個(gè)，測(cè)得其外徑（單位：mm）為：甲：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8乙：15.2，15.0，14.8，15.2，15.0，15.0，14.8，15.1，14.8假定其外徑都服從正態(tài)分布，問乙車床的加工精度是否比甲車床的高（）？解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中當(dāng)時(shí) ，臨界值 拒絕域?yàn)?，而，接受，認(rèn)為乙的精度高.17 要比較甲、乙兩種輪胎的耐磨性，現(xiàn)從甲、乙兩種輪胎中各取8個(gè)，各取一個(gè)組成一對(duì)，再隨機(jī)選取8架飛機(jī)，將8對(duì)輪胎磨損量（單位：mg）數(shù)據(jù)列表如下：（甲）490052205500602063

30、40766086504870（乙）49304900514057006110688079305010 試問這兩種輪胎的耐磨性有無顯著差異？(). 假定甲、乙兩種輪胎的磨損量分別滿足且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立.解 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中當(dāng)時(shí)，令 拒絕域?yàn)椋R界值 而，所以接受，認(rèn)為兩種輪胎耐磨性無顯著差異.18 設(shè)總體, 由兩總體分別抽取樣本：4.4，4.0，2.0，4.8 ：6.0，1.0，3.2，0.4 1）能否認(rèn)為 ()? 2）能否認(rèn)為 ()？解 (1) 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中令，則有，當(dāng)時(shí)，拒絕域?yàn)?，而，所?2) 由題意知 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中其中，拒絕域?yàn)榕R界值 而19 從過去

31、幾年收集的大量記錄發(fā)現(xiàn)，某種癌癥用外科方法治療只有2%的治愈率.一個(gè)主張化學(xué)療法的醫(yī)生認(rèn)為他的非外科方法比外科方法更有效.為了用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證 實(shí)他的看法，他用他的方法治療200個(gè)癌癥病人，其中有6個(gè)治好了.這個(gè)醫(yī)生斷 言這種樣本中的3%治愈率足夠證實(shí)他的看法.（1）試用假設(shè)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)這個(gè)醫(yī)生的看法；（2）如果該醫(yī)生實(shí)際得到了4.5%治愈率，問檢驗(yàn)將證實(shí)化學(xué)療法比外科方法更有效的概率是多少？解 (1) 記每個(gè)病人的治愈情況為，則有設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 ，其中 拒絕域?yàn)?，臨界值 而 (2) 不犯第二類錯(cuò)誤的概率 由，可得 由中心極限定理得 20 在某公路上，50min之間，觀察每15s內(nèi)通過的汽車數(shù)，得下

32、表通過的汽車數(shù)量0 1 2 3 4 5次數(shù)f92 68 28 11 1 0問能否認(rèn)為通過的汽車輛數(shù)服從泊松分布（）？解 設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 記 則有檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為21 對(duì)某廠生產(chǎn)的汽缸螺栓口徑進(jìn)行100次抽樣檢驗(yàn)，測(cè)得100數(shù)據(jù)分組列表如下：組限10.9310.9510.9510.9710.9710.9910.9911.01頻數(shù)582034組限11.0111.0311.0311.0511.0511.0711.0711.09頻數(shù)17664試對(duì)螺栓的口徑的分布做假設(shè)檢驗(yàn)（）.解 設(shè)表示螺栓的口徑，分布函數(shù)為，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為，其中在成立的情況下，計(jì)算得由得所以檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為由此應(yīng)該22 檢查產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，每

33、次抽取10個(gè)產(chǎn)品檢驗(yàn)，共抽取100次，得下表：次品數(shù)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10頻數(shù)35 40 18 5 1 1 0 0 0 0 0問次品數(shù)是否服從二項(xiàng)分布（）？解 設(shè)表示抽取的次品數(shù)，分布函數(shù)為，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為，其中在成立的情況下， 計(jì)算得 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值為因此23 請(qǐng)71人比較A、B兩種型號(hào)電視機(jī)的畫面好壞，認(rèn)為A好的有23人，認(rèn)為B好的有45人，拿不定主意的有3人，是否可以認(rèn)為B的畫面比A的好（）？解 設(shè)表示A種型號(hào)電視機(jī)的畫面要好些，表示B中型號(hào)電視機(jī)畫面要好些分布函數(shù)分別為，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為由題意知 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 而，所以24 為比較兩車間（生產(chǎn)同一種產(chǎn)品）的產(chǎn)品某項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)情

34、況，各依次抽取12個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行測(cè)量，得下表甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.34乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.84問這兩車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)分布是否相同（）？解 設(shè)分別表示甲乙兩車間所生產(chǎn)產(chǎn)品的指標(biāo)分布，分布函數(shù)分別，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和，易知的樣本值為且拒絕域?yàn)槎?，所?5 觀察兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率(件/h)，得下表：第1班組 28 33 39 40 41 42 45 46 47第2班組 34 40 41 42 43 44 46 48 49問兩班組的勞動(dòng)生產(chǎn)率

35、是否相同（=0.05）？解 設(shè)分別表示兩個(gè)組的勞動(dòng)生產(chǎn)率，分布函數(shù)分別為，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和，易知的樣本值為拒絕域形式為而，因此, 所以26 觀觀察得兩樣本值如下： 2.36 3.14 7.52 3.48 2.76 5.43 6.54 7.41 4.38 4.25 6.54 3.28 7.21 6.54問這兩樣本是否來自同一總體（=0.05）？解 設(shè)分別表示，兩個(gè)樣本，分布函數(shù)分別是，統(tǒng)計(jì)假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為秩和，易知的樣本值為拒絕域形式為而，因此, 所以27 某種動(dòng)物配偶的后代按體格的屬性分為三類，各類的數(shù)目是：10，53，46,按照某種遺傳模型其比率之比應(yīng)為：，問數(shù)據(jù)與模型是否相符（

36、）？解 設(shè)體格的屬性為樣本，由題意知其密度函數(shù)為，其中統(tǒng)計(jì)假設(shè)為似然函數(shù)為解得最大似然統(tǒng)計(jì)量為 則 拒絕域?yàn)槎?所以28 在某地區(qū)的人口調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：15729245個(gè)男人中有3497個(gè)是聾啞人.16799031個(gè)女人中有3072個(gè)是聾啞人.試檢驗(yàn)“聾啞人與性別無關(guān)”的假設(shè)（）.解 設(shè)表示男人中聾啞人的個(gè)數(shù)，表示女人中聾啞人的個(gè)數(shù)，其分布函數(shù)分別表示為，. 統(tǒng)計(jì)假設(shè)為拒絕域?yàn)槎?9 下表為某藥治療感冒效果的聯(lián)列表：年齡療效 兒童成年老年一般583832128較差284445117顯著2318145510910091300試問該藥療效是否與年齡有關(guān)（=0.05）？解 設(shè)表示該藥的療效與年齡有關(guān)

37、，表示該藥的療效與年齡無關(guān)，其分布函數(shù)分別表示為. 統(tǒng)計(jì)假設(shè)為拒絕域?yàn)槎?所以30 某電子儀器廠與協(xié)作的電容器廠商定，當(dāng)電容器廠提供的產(chǎn)品批的不合格率不超過3%時(shí)以高于95%的概率接受，當(dāng)不合格率超過12%時(shí)，將以低于10%的概率接受.試為驗(yàn)收者制訂驗(yàn)收抽樣方案.解 由題意知， 代入式子 選用式子計(jì)算求得 ，于是抽查方案是：抽查66件產(chǎn)品，如果抽得的不合格產(chǎn)品，則接受這批產(chǎn)品，否則拒絕這批產(chǎn)品.31 假設(shè)一批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（已知），要求質(zhì)量指標(biāo)值越小越好.試給出檢驗(yàn)抽樣方案（）的計(jì)算公式.若未知，又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案（）？若質(zhì)量高時(shí)指質(zhì)量指標(biāo)在一個(gè)區(qū)間時(shí)，又如何確定檢驗(yàn)抽樣方案（）?解 (1

38、) 解方程組 得 (2) 若未知，用估計(jì)，從而得出公式習(xí)題四1 下表數(shù)據(jù)是退火溫度()對(duì)黃銅延性效應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果，是以延伸率計(jì)算的，且設(shè)為正態(tài)變量，求對(duì)的樣本線性回歸方程.()300 400 500 600 700 800(%)40 50 55 60 67 70解 利用回歸系數(shù)的最小二估計(jì)：其中代入樣本數(shù)據(jù)得到：樣本線性回歸方程為：2 證明線性回歸函數(shù)中(1)回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為；(2)回歸系數(shù)的置信水平為的置信區(qū)間為.證 (1) 由于，所以，所以 易知 ，其中所以的置信水平為的置信區(qū)間為(2) 由，得，與相互獨(dú)立，所以：根據(jù)得到的置信度為的置信區(qū)間.3 某河流溶解氧濃度（以百萬分之

39、一計(jì)）隨著水向下游流動(dòng)時(shí)間加長而下降.現(xiàn)測(cè)得8組數(shù)據(jù)如下表所示.求溶解氧濃度對(duì)流動(dòng)時(shí)間的樣本線性回歸方程，并以=0.05對(duì)回歸顯著性作檢驗(yàn).流動(dòng)時(shí)間t（天）0.51.01.61.82.63.23.84.7溶解氧濃度（百萬分之一）0.280.290.290.180.170.180.100.12解 利用其中代入樣本數(shù)據(jù)得到： 所以，樣本線性回歸方程為：拒絕域形式為：，所以回歸模型不顯著.4 假設(shè)是一可控制變量，是一隨機(jī)變量,服從正態(tài)分布.現(xiàn)在不同的值下分別對(duì) 進(jìn)行觀測(cè)，得如下數(shù)據(jù)0.250.370.440.550.600.620.680.700.732.572.312.121.921.751.71

40、1.601.511.500.750.820.840.870.880.900.951.001.411.331.311.251.201.191.151.00(1)假設(shè)與有線性相關(guān)關(guān)系，求對(duì)樣本回歸直線方程，并求的無偏估計(jì)； (2)求回歸系數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間；(3)檢驗(yàn)和之間的線性關(guān)系是否顯著（）；(4)求 置信度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間；(5)為了把的觀測(cè)值限制在，需把x的值限制在什么范圍？（）解 (1) 利用其中計(jì)算得所以，樣本線性回歸方程為：，(2) 根據(jù)第二題，的置信區(qū)間為，代入值計(jì)算得到：，的置信區(qū)間為，代入數(shù)值計(jì)算得到：.(3) 根據(jù)檢驗(yàn)法，其拒絕域形式為 而 顯然，所以和之間具有顯

41、著的線性關(guān)系.(4) , 則有 (5) 根據(jù)(4)的結(jié)論，令 解得 5 證明對(duì)一元線性回歸系數(shù),相互獨(dú)立的充分必要條件是.證 若要，那么.反之顯然也成立，命題的證.6 設(shè)組觀測(cè)值之間有關(guān)系式：（其中），且相互獨(dú)立.(1) 求系數(shù)的最小二乘估計(jì)量；(2) 證明，其中(3) 求的分布.解 (1) 最小化殘差平方和： (2) 易知 其中，將其代入上式可得所以, (3) ， 同理，易得7 某礦脈中13個(gè)相鄰樣本點(diǎn)處某種金屬的含量與樣本點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)的距離有如下觀測(cè)值23457810106.42108.20109.58109.50110.00109.93110.49111415161819110.59110.

42、60110.90110.76111.00111.20分別按(1)；(2)；(3).建立對(duì)的回歸方程，并用相關(guān)系數(shù)指出其中哪一種相關(guān)最大.解 (1) 令，根據(jù)最小二乘法得到，正規(guī)方程：，最后得到所以：樣本線性回歸方程為：，(2) 令，得到所以：樣本線性回歸方程為：，(3) 令，得到所以：樣本線性回歸方程為：，綜上，,所以第三種模型所表示的的相關(guān)性最大.8 設(shè)線性模型 其中（）且相互獨(dú)立，試求、的LS估計(jì).解 令則線性模型可轉(zhuǎn)化為 根據(jù) ， 令 可得 即 9 養(yǎng)豬場(chǎng)為估算豬的毛重，隨機(jī)抽測(cè)了14頭豬的身長(cm)，肚圍(cm)與體重(kg)，得數(shù)據(jù)如下表所示，試求一個(gè)型的經(jīng)驗(yàn)公式.身長(cm)41

43、 45 51 52 59 62 69 72 78 80 90 92 98 103肚圍(cm)49 58 62 71 62 74 71 74 79 84 85 94 91 95體重(kg)28 39 41 44 43 50 51 57 63 66 70 76 80 84解 由多元線性模型得：代入數(shù)值得到：同樣得到：10 某種商品的需求量，消費(fèi)者的平均收入和商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示.試求對(duì)、的線性回歸方程.10006001200500300400130011001300300576687543910075807050659010011060解 建立回歸模型根據(jù) ，可求得的LS估計(jì)為 代入，得 則回歸方程為：11 設(shè)組觀測(cè)值之間有如下關(guān)系： ，且相互獨(dú)立.(1