2021版高考數學一輪復習第三章導數及其應用第1講變化率與導數、導數的計算教學案理北師大版

1、第1講 變化率與導數、導數的計算最新考綱考向預測I.T柳什敢陳忠的文孫訐甘，2迎討南教圖像在現(xiàn)呷靴導我的幾何點,1他出出甘St定義求函？b=川為常城I. 57=.1=.,=五的/就 3r*T-rr-l*4.昨利用基4初的南斷的等ft公式和%ft的四朋運尊法如由葡里南數的力粒, 族求用電的夏令的敷值限于根I的復介廂敢、的導散命理怛勢導數的他念和話中代高號的心T內容. 一恥修通在降股的應用中號育*導收 的幾何意文常號第街幾何中陽n流火 正學壹，0為丞成解靠圖的第n)1|.小科雉度.核心養(yǎng)立觀膽象，敢學運真理軟時夯實唱南HHS? .走進教材、知識梳理1.導數的概念函數y=f(x)在x = x0處的導

2、數稱函數y=f(x)在x=xo處的瞬時變化率lim xT0f (xo+ A x) f (xo)Ay=limAx-0 A x為函數y = f (x)在x=xo處的導數，記作f (xo),r ，A y即 f ( xo) = lim -= lim xo xAxOf (xo+ Ax) f (xo)(2)導數的幾何意義函數f (x)在點x0處的導數的斜率(瞬時速度就是位移函數f ( x0)的幾何意義是在曲線y = f(x)上點Rx, yo)處的切線 s(t)對時間t的導數).相應地，切線方程為y yo = f (xo)( x一xo).f ( x+ A x) f (x)(3)函數f(x)的導函數為f (x

3、)的導函數.稱函數 f (x) = lim - x-0 -2.基本初等函數的導數公式原函數導函數y= c(c為常數)y =Qy=x( a為實數)fa 1y = a xxy= a(a且 awl)y = axln a特別地(e x) = exy = log ax(xs as 且 aw 1)1 y =, xln a一一1特別地(ln x)=- xy= sinxy，= cos xy= cos xy，= sin_ xy= tan xc cos xy= cot xy, sin x3.導數的運算法則(1)f(x)g(x)= f(x) g (x)；f (x)g (x)(2)f(x) g(x)= f(x)g(x

4、) + f (x)g (x);(g(x) W0).f (x) g (x) f (x) g ( x)g (x)4.復合函數的導數復合函數 y = f(g(x)的導數和函數y = f(u), u= g(x)的導數間的關系為丫，=yJ 山，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積.常用結論1 .奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數.2 . af(x)+bg(x) = af (x)+bg (x).3 .函數y=f(x)的導數f (x)反映了函數f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化 的方向，其大小|f (x)|反映了變化的快慢，|f (x)|越大，曲線在

5、這點處的切線越“陡” .二、教材衍化1 .函數y= xcos x sin x的導數為()A. xsin xB. xsin xC. xcos xD. xcos x解析：選 B. y =x cos x+x(cos x) - (sin x) = cos x-xsin x- cos x= xsin x.2 .曲線y= 1x2w在點(1，一 1)處的切線方程為 .2解析：因為y =(x+2)2，所以y鼠一1 = 2.故所求切線方程為 2x-y+1 = 0.答案：2xy+1 = 03 .有一機器人的運動方程為s = t2+3(t是時間，s是位移)，則該機器人在t = 2時的瞬時速度為. o 33解析：因為

6、s = t 所以s =2ty,所以 S | t = 2 = 4 =.44答案：了走出誤區(qū)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“X”)(1) f (X0)是函數y=f(x)在x = X0附近的平均變化率.()(2)求 f ( X0)時，可先求 f (Xo),再求 f ( X0).()(3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.()與曲線只有一個公共點的直線一定是曲線的切線.()(5)曲線y=f(X)在點Rxo, y0)處的切線與過點 P(X0, y0)的切線相同.()答案：(1) X (2) X (3) V (4) X (5) X 二、易錯糾偏| K(1)求導時不能掌握復合函數的求導法

7、則致誤； 誤區(qū),(2)不會用方程法解導數求值.兀1 .已知函數 f (x) = sin 2x+ 三，則 f ( x) =.3兀兀兀兀解析：f (x)=sin 2x + - z = cos 2x + - 2x+ = 2cos 2x+-. 3333兀答案：2cos 2x + 3兀兀2 .設函數 f (x)的導數為 f ( x),且 f (x) = f 萬 sin x+ cos x,則 f _4 =,.一 一，兀解析：因為 f (x) = f - sin x + cos x,兀所以 f (x) = f -cos x- sin x,一一兀兀兀兀所以 f y =f y cosy-sin y,兀即 f 2

8、 = - 1,所以 f(x) = sin x+cos x,f (x) = cos x sin x.上口，兀兀兀廠故 f - = cos sin = - -j2.考點明考向目市考例考法考點El導數的計算(多維探究)角度一根據求導法則求函數的導數 例th求下列函數的導數：(1) y= (3x24x)(2 x+1);小、 ,x2X(2) y=sin 2 1 2cos 4 ;(3) y = 3xex 2x+e；In xx2+ 12x 1 y=1ng.【解】(1)因為 y= (3x24x)(2 x+1)=6x3+ 3x2 8x2 4x= 6x3 5x2 4x,所以 y = 18x2- 10x-4., x

9、 x 1(2)因為 y= sin , cos, =- 2sin x,，1,1,1所以 y = -2sin x = - 2(sin x)=,cos x.(4) y =(3xex) (2x) +e =(3x) ex + 3x(ex) - (2x)= 3xexln 3 +3xex2xln 2= (ln 3 +1) (3 e)x 2xln 2.y(In x)，( x2+ 1) In x (x2+ 1)(x 1)1 (x2+ 1) 2xln x x(x2+1) 2x2+12x2ln xx (x2+ 1) 2(5) y = 1n 2x71ln(2 x-1)-In(2 x+1),1,1,ln(2 x 1)

10、ln(2 x + 1) = (2x1) (2x+1)=2x I2x十 I22x- 124一 .2.2x+ 14x - 1角度二抽象函數的導數計算例亙 已知函數f(x)的導函數為f (x),且滿足關系式f(x) =x2+3xf (2) + In x,【解析】因為 f (x) =x2+3xf (2) + Inx,所以 f (x)=2x+3f (2)+1,所以 f (2) x199= 4+3f (2) + =3f (2) + 2,所以 f (2) = 4.【答案】導數的計算技巧(1)求導之前，應利用代數、三角恒等式等變形對函數進行化簡，然后求導，這樣可以 減少運算量，提高運算速度，減少差錯；遇到函數

11、的商的形式時，如能化簡則化簡，這樣可 避免使用商的求導法則，減少運算量.(2)復合函數求導時，先確定復合關系，由外向內逐層求導，必要時可換元.變式訓練1 .已知 f(x) =x(2 019 +ln x),若 f (x0) =2 020 ,則 x0=()A. e2B. 1C. In 2D. e解析：選 B.因為 f(x)=x(2 019 +ln x),所以 f (x)=2 019+ln x+ 1 = 2 020 +ln x,又 f (x0) = 2 020 ,所以 2 020 + In x0= 2 020 ,所以 x0= 1.2. (2020 宜昌模擬)已知 f (x)是函數 f(x)的導數，f

12、(x) = f (1) 2x + x：則 f (2)=()128ln 22A. 12ln 2B 1 2ln 24D. - 2C.1-2ln 2解析：選 C.因為 f (x) =f (1) 2 xln 2 +2x,所以 f (1) = f (1) 2 In 2 +2,解得 f (1) = 1, 所以 f ( x) =2- 2xln 2+ 2x,所以 f (2) =2 x 221n1 2in 21 2in 21 2in 22+2x2=41 21n 2考點導數的幾何意義(多維探究)角度一求切線方程例 亙1 (1)(2019 高考全國卷I )曲線y=3(x2+x)ex在點(0 , 0)處的切線方程為(

13、2)已知函數f(x) = xln x,若直線l過點(0, 1),并且與曲線y=f(x)相切，則直線 l的方程為.【解析】(1)因為 y = 3(2 x+1)ex+3(x2+x)ex= 3( x2+3x+1)e x,所以曲線在點(0 ,0)處的切線的斜率 k= y |x=0=3,所以所求的切線方程為y=3x.(2)因為點(0 , 1)不在曲線f(x)=xln x上，所以設切點為(xo, yo).又因為f ( x)= 1 + ln x,所以直線l的方程為y+1=(1+ln x0)x.y0= x0ln xo,所以由解得x(0=1, y0= 0.y0+ 1 = (1 + ln x) x,所以直線l的方

14、程為y = x-1,即 x-y- 1 = 0.【答案】 (1) y=3x (2) x-y-1 = 0角度二求切點坐標例叵三)(2019 高考江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=ln x上，且該曲線在點A處的切線經過點(一e, - 1)(e為自然對數的底數)，則點A的坐標是.1【解析】設A(x0,lnx),又y= x,則曲線y=ln x在點A處的切線方程為ylnx0=x(xx0),將(e, 1)代入得，一 1 一 ln x0= x( e xO),化簡得 ln x0=x,解得 x0 = e,則點A的坐標是(e , 1).【答案】(e , 1)角度三求參數例垣)(1)(2019 高考全國

15、卷出)已知曲線y = aex+xln x在點(1 , ae)處的切線方程為 y= 2x + b,貝U ()A. a=e, b=1B. a=e, b= 1C. a=e 1, b= 1D. a= e b=1(2)(2020 鄭州市第一次質量預測)已知函數(刈=皿x ax(aC R)的圖象與直線x+y+ 1 = 0相切，則實數a的值為.【解析】(1)因為y =aex+ln x+ 1,所以y |x=1 = ae + 1,所以曲線在點(1 , ae)ae +1 = 2,處的切線方程為y-ae=(ae+1) - (x-1) , IP y = ( ae+1)x 1 ,所以解得b= - 1,a= e 1,b=

16、- 1.(2)設直線x+y+ 1 = 0與函數f (x) = ln xax的圖象的切點為 P(x, y),因為f ( x)xo+yo+ 1=0Xo= 1yo= - 2.f （X。）= ln xo axo= yoa= 2x-a，所以由題意，得f (X0)=xra=T ,解得【答案】(1)D (2)2角度四導數與函數的圖象例石(1)函數y=f(x)的導函數y= f (x)的圖象如圖所示，則函數 y=f(x)的圖象可能是()(2)已知y=f(x)是可導函數，如圖，直線y=kx+2是曲線y = f(x)在x=3處的切線，令 g(x)=xf(x), g (x)是 g(x)的導函數，則 g (3) =.【

17、解析】(1)不妨設導函數y= f(x)的零點依次為xi,x2,x3,其中xi0x20,排除B,故選D.(2)由題圖可知曲線 y=f(x)在x = 3處切線的斜率等于一1,所以f (3)=； 33因為 g(x) = xf(x),所以 g ( x) =f (x)+xf ( x),所以 g (3) = f(3) +3f (3),又由題圖可知f(3) =1,所以 g (3) = 1 + 3X -1 =0. 3【答案】(1)D(2)0圓回園國導數幾何意義的應用類型及求解思路(1)已知切點A(x, f(x)求斜率k,即求該點處的導數值：k=f (x).yf(xi).(2)若求過點P(X0,y0)的切線方程

18、，可設切點為(xi,yi),由,、，、yo yi = f( Xi)(xo-Xi)求解即可.(3)已知斜率k,求切點A(xi, f(xi),即解方程f (xi)=k.(4)函數圖像在每一點處的切線斜率的變化情況反映函數圖像在相應點處的變化情況， 由切線的傾斜程度可以判斷出函數圖像升降的快慢.EE才1.曲線y=exT+x的一條切線經過坐標原點，則該切線方程為 .解析：設切點坐標為(x0, exL+x。)，因為y =exT+1,所以切線的斜率k=ex0+ 1, 故切線方程為 y- ex0 1-x0= (e x0 1+ 1)( x-x0).因為切線過原點，所以0 ex0 x0=(ex0T+ 1)(0

19、x),解得 x0= 1,將 x0= 1 代入 y-ex0 1-x0 = (ex0 1+ 1)( x-x0),可得切線方程為 y=2x,故答案為y=2x.答案：y=2x1 + cos x兀2 .設曲線y =-在點 ,1處的切線與直線 x-ay+1 = 0平行，則實數 a =sin x21 cos x _兀解析：因為 v =-s|n 2x,所以 y lx=2 = 1.，一一 1，由條件知一=1,所以a=- 1.a答案：1煉好題實做專分艙翻基礎題組練1 .函數 f (x) =(x+2a)( xa)2的導數為()A. 2(x2-a2)b. 2(x2+a2)C. 3( x2 a2)D. 3(x2+a2)

20、解析：選 C.f (x) = (x a)2+(x + 2a) (2 x 2a) = (x a) (xa+2x+4a) = 3(x2 -a2)1 2ln x2 . (2020 安徽江南十校檢測)曲線f (x)=在點R1 , f(1)處的切線l的方程x為()A. x + y-2= 0C. 3x+ y+2=0解析：選D.因為f (x)B. 2x+y-3=0D. 3x+y-4=01 2lnxx一，所以 f (x)-3+2ln2xx一,所以 f (1) = 3,又=1,所以所求切線方程為y 1 = 3( x 1),即3x+ y 4=0.3. (2020安徽宣城八校聯(lián)考)若曲線v= aln x + x2(

21、a0)的切線的傾斜角的取值范圍是a=(1A.24C.4D- 3解析：選B.因為y = aln x + x2(a0),所以y = a+2x22a,因為曲線的切線的傾x兀斜角的取值范圍是 -3兀 .3,所以斜率k43,因此，3=2，石，所以a= 8.故選B.4.如圖所示為函數可能是()y=f(x), y=g(x)的導函數的圖象，那么 y=f(x), y=g(x)的圖象解析：選D.由y=f (x)的圖象知y=f(x)在(0 , +8)上遞減，說明函數y=f(x)的切線的斜率在(0+ oo)上也遞減，故排除 a、C.又由圖象知y=f (*)與y=g (x)的圖象在x=x。處相交，說明y= f (x)與

22、y= g(x)的圖象在x= xo處的切線的斜率相同，故排除B.5.(2020 廣東佛山教學質量檢測(一)若曲線y= ex在x=0處的切線也是曲線 y= ln x+ b的切線，則b=()B. 1A. 1C. 2D. e解析：選C.y=ex的導數為y = ex,則曲線y=ex在x=0處的切線斜率k= 1,則曲線V .一_ .1y=e在x=0處的切線方程為 y- 1 = x,即y = x+1.y=ln x+b的導數為 y =-，設切點 x一- 1為(m n),則m=1,解得mi= 1,則n = 2,即有2=ln 1 +b,解得b=2.故選C.6 .設函數f(x)在(0, +8)內可導，其導函數為f

23、(x),且f(ln x)=x+ln x,則f (1)解析：因為 f(ln x)=x+ln x,所以 f(x)=x+ex,所以 f (x) = 1+ ex,所以 f (1) = 1+e1： 1 + e.答案：1 + e7 . (2020 江西重點中學 4月聯(lián)考)已知曲線y =1+ ln在x=1處的切線l與直線2x x a+ 3y=0垂直，則實數a的值為.解析：y=4+三，當x= 1時，y =- 1 + 1.由于切線l與直線2x+3y=0垂直, x axa所以1+- . -%=1,解得 a=1. a 352答案：工58 .若過點 A(a, 0)作曲線 C： y = xex的切線有且僅有兩條，則實數

24、 a的取值范圍是解析：設切點坐標為(xc, xcexc), v = (x+ 1)ex, y | x= x= (x+1)e x0,所以切線方 程為 yx0ex0= (x0+1)e x(x x),將點 A(a, 0)代入可得一 x0ex0= (x0+1)e x(a x0),化 簡，得x0 ax。一a=0,過點Na, 0)作曲線C的切線有且僅有兩條，即方程x0ax。一a=0有兩個不同的解，則有A = a2+4a0,解得a0或av 4,故實數a的取值范圍是(0,-4) U(0 ,+8).答案：(8, - 4) U (0 , +OO)9 .已知函數 f(x) = x3+(1 - a)x2-a(a+2)x

25、 +b( a, b R).(1)若函數f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為一3,求a, b的值;(2)若曲線y=f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍. 2解：f ( x) = 3x +2(1 - a) x- a( a+2).(1)由題意得f (0) = b=0,f (0)=a( a+ 2) = 3,解得 b=0, a= 3 或 a= 1.(2)因為曲線y=f (x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關于x的方程f (x) = 3x2+2(1 a)x a(a+2) = 0有兩個不相等的實數根,所以 A =4(1 -a)2+ 12a(a+2)0 ,2即 4a + 4a+ 10,一,

26、1所以aw .11所以a的取值范圍為8, 一 2 u 2，+8 .10 .已知函數 f(x) = x3+x16.(1)求曲線y=f(x)在點(2, 6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線y=f(x)的切線，且經過原點，求直線 l的方程及切點坐標；.一 .一 1(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線 y= x+3垂直，求切點坐標與切線的方程.解：(1)可判定點(2, - 6)在曲線y=f(x)上.因為 f (x) = (x3 + x 16) = 3x2+1.所以f(x)在點(2, 6)處的切線的斜率為 k=f (2) = 13.所以切線的方程為 y=13(x 2) + ( 6),即 y=13

27、x- 32.(2)設切點為(x0, y0),則直線l的斜率為f (xo) = 3x0+ 1, 所以直線l的方程為y = (3 x。+1)( x x。) + x。+ x。- 16,又因為直線l過點(0, 0),所以 0=(3x+1)( xo) + x0 + x0 16,整理得，x0=8,所以x0=-2,所以 y0=( -2)3+ (-2) 16= 26, k=3X( 2)2+1 = 13.所以直線l的方程為y=13x,切點坐標為(一2, 26). 1 一，(3)因為切線與直線 y= x+3垂直，所以切線的斜率k=4.設切點的坐標為(x, y), 2貝U f (x0) = 3x0+ 1 = 4,所

28、以x0= 1.所以x0= 1, 或y0= 14x0= 1,y0= 18,即切點坐標為(1, 14)或(一1, 18),切線方程為 y = 4(x1)14 或 y = 4(x+1) 18.即 y = 4x 18 或 y= 4x14.綜合題組練1 .在等比數列an中，ai = 2,a8=4,函數f(x)=x(x ai) (x-a2)(xa8),則 f (0)=()A. 26B. 29C. 212D. 215解析：選 C.因為 f (x)= x - ( x-a1)(x a2) (x -a8)+ ( x a1) ( x %) ( x a8) , x = (x a1)(x a) ( x a8)+ ( x

29、 a1)(x a2) ( x a8) - x,所以 f (0) = (0 a1)(0 a2) (0 a8) + 0= a1a2 as.因為數列an為等比數列，所以a2a7= a3a6= a4a5= aa8= 8,所以f (0) = 84=21?.故選C.2. (2020 湖北武漢 4月調研)設曲線C: y=3x42x39x2+4,在曲線C上一點M(1 , 4)處的切線記為I,則切線l與曲線C的公共點個數為()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選 C.y = 12x3-6x2-18x,則 y | x=1=12Xl 3-6X1 2-18x1 = - 12,所以曲線y=3x4-2x3-9x2+4

30、在點M(1 , 4)處的切線方程為 y + 4=12(x1),即12x+y-8=0, 12x+y8= 0.聯(lián)立 3 4 2 324x = 1解得 或y = 4x=- 2, 或2x = 3，y= 0.故切線與曲線C還有其他的公共點（232), f, 03y = 32所以切線I與曲線C的公共點個數為3.故選C.3. （2020 安徽淮南二模）設直線11, I 2分別是函數f（x）=-In x, 0Vx1P, B處的切線.I1與I2垂直相交于點P,且I1, 12分別與y軸相交于點 A B,則A, B兩點之間的距離是（）A. 1B.C. 3D.解析：選B.設P（x1,f(x1) , P2(x2, f(

31、x2),當 0Vx1 時，f (x)=x,不妨設 XiC (0 , 1), X2C (1 , +8),故 li： y=-(X-X1)-in X1,整理得 11： y=- -x-in X1+1,X1X112：1y=Wx- X2) + inX2,整理得 12： y=x+ in X2 - 1,所以 A(0, 1-ln X1) , B(0, in X21),則 | AB = |2 1n( x-2)| ,因為1112,所以一- - = - 1,所以X1X2=1,所以| AB = 2.故選B. X1 X24 .已知曲線y=x3+x 2在點R)處的切線11平行于直線4xy 1=0,且點Po在第三象限，則P0的坐標為;若直線1，1 1,且1也過切點R,則直線1的方程為 .解析：由 y = x3+x-2,得 y =3x2+1,2由已知得