多元函數(shù)極限連續(xù)

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程腳本編寫：王利平課件制作：王利平第一章 多元函數(shù)微分學(xué) 重極限重極限 累次極限累次極限 連續(xù)性連續(xù)性 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性一. 多元函數(shù)的極限及極限的運(yùn)算請(qǐng)點(diǎn)擊請(qǐng)點(diǎn)擊二. 多元函數(shù)的連續(xù)性三. 多元函數(shù)的間斷點(diǎn)1. 回憶與推廣請(qǐng)點(diǎn)擊請(qǐng)點(diǎn)擊一、多元函數(shù)的極限及其運(yùn)算2.二元函數(shù)極限的定義3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理4. 累次極限回憶一元函數(shù)的情形回憶一元函數(shù)的情形推廣到多元函數(shù)中推廣到多元函數(shù)中驗(yàn)證可行性驗(yàn)證可行性1.1.回憶與推廣回憶與推廣x0 xyay ay ay().()

2、a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx.x0 xyay ay ay().()a)(xf.xO. )(lim 0的幾何意義axfxx. . I I, , )( 0的聚點(diǎn)為設(shè)xxxfy , ),(U , 0 , 0 0時(shí)當(dāng)點(diǎn)若xx , |)(| ),U()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxx . I I, , )( 0的聚點(diǎn)為設(shè)xxxfy , ),(U , 0 , 0 0時(shí)當(dāng)點(diǎn)若xx , |)(| ),U()(則稱即axfaxf . )(lim 0axfxxXXfu )( 的聚

3、點(diǎn)的聚點(diǎn)為為 0X),(U0XX ),U()( aXf |)(| aXf )(lim 0aXfXX 進(jìn)行整理 . , )( 0的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)為為設(shè)設(shè)XXXfu , ),(U , 0 , 0 0時(shí)時(shí)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)若若XX , |)(| ),U()(則稱則稱即即aXfaXf . )(lim 0aXfXX （重極限）（重極限） , D),(U , 0 , 0 0時(shí)時(shí)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)若若XX 時(shí)的極限時(shí)的極限( (二重極限二重極限), ), 記為記為 .),(lim)(lim000ayxfXfyyxxXX0 )( XXXfza當(dāng)當(dāng)為為則稱則稱 ),U()( aXf有有 ,D),( , )( 2RyxXXfz設(shè)設(shè) .

4、D ),(000的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)為為yxX 2.2.二元函數(shù)極限的定義二元函數(shù)極限的定義幾點(diǎn)注意. ), U( 00的某些點(diǎn)可無定義內(nèi)及函數(shù)在點(diǎn)XX. ,),( U 00行向進(jìn)可以任意方式沿任何方內(nèi)的鄰域落在點(diǎn)點(diǎn)XXX . | ),(U , |)(| ),U()(azazaXfaXf亦即亦即即即 . , )3( 的類似極限的定義與二元函數(shù)時(shí)nRXn . )( )()(0 D,),(U20200處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)且且即即XXfyyxxXX)(Xfz 多元函數(shù)的極限如果存在多元函數(shù)的極限如果存在, , 則必唯一則必唯一. . . )( , 0)(lim 00時(shí)的無窮小量時(shí)的無窮小量為為則稱則稱若

5、若XXXXXXaXfaXfXX)( )(lim0應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)應(yīng)用這個(gè)性質(zhì), , 可將一元函數(shù)的可將一元函數(shù)的極限運(yùn)算法則和極限運(yùn)算法則和性質(zhì)推廣到多元性質(zhì)推廣到多元函數(shù)中來函數(shù)中來. . 0lim ),(U ,00XXXX其中其中3.3.多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理多元函數(shù)極限的性質(zhì)、定理例(夾逼定理)由于由于. |lim 2200yxyxyx求求|022yxyx|)|(|2yxyxyx而而, 0) | (lim00yxyx故由夾逼定理故由夾逼定理, , 得得0|lim2200yxyxyx夾逼定理夾逼定理 例例解解例(無窮小性質(zhì))又又( (有界量有界量) )( (無窮小量無窮小量) )無窮小量的性

6、質(zhì)無窮小量的性質(zhì). 1sin)(lim 222200yxyxyx求求由于由于1 1sin 22 yx0)(lim2200yxyx. 01sin)(lim 222200yxyxyx故故 例例解解例(有理化)有理化有理化 ( (平方差公式平方差公式) ). 11 lim 222200yxyxyx求求1)1 () 11 )(lim22222200yxyxyxyx原式原式2) 11 (lim2200yxyx 例例解解例(等價(jià)無窮小)等價(jià)無窮小替代等價(jià)無窮小替代.sinlim 20 xyxyx求求xxyxxyyxyx2020limsinlim . 2lim20yyx 例例解解 0)( sin2sinli

7、mlimsinlimsinlim20202020 xyxyyxyxyyxxyyxyxyxyx利用重要極限利用重要極限例(重要極限) .11lim 25yxxyxx求求 例例解解 , 11lim 15eexyxxxyx原式原式 . 1lim , 11lim 55yxxexyxxyx其中其中利用重要極限利用重要極限例(極限不存在) 例例解解 , 則取kxy . 0lim),(lim22420000 xkxkxxyxfyxyx )0 , 0(),(yx由于極限存在應(yīng)與的方式和方向無關(guān), 故原極限不存在. . ),(lim 00yxfyx求求),( yxf設(shè)設(shè), 0 ,22242yxyxyx, 0 ,

8、 022 yx , 2則若取kxy . 1lim),(lim2424220000kkxkxkxxyxfyxyx該例還說明一個(gè)問題 對(duì)此你有什么想法 ?, xky 雖然沿?zé)o窮多個(gè)方向：, 0 , 函數(shù)極限均為時(shí)當(dāng))0 , 0(),(yx . ),( lim 00不存在不存在但函數(shù)的極限但函數(shù)的極限yxfyx多元函數(shù)的極限不存在.“無窮多個(gè)方向”不等于“任意方向”.可利用方向性來判別 累次極限是指的下列極限 一般說來, 這兩個(gè)極限不一定相等. 在高等數(shù)學(xué)中, 運(yùn)算順序不能隨便交換.),(limlimyxfbyax) ),(lim (limyxfbyax),(limlimyxfaxby) ),(li

9、m (limyxfaxby4. 累次極限若兩個(gè)累次極限存在, 但不相等：),(limlim),(limlimyxfyxfaxbybyax. ),( lim 不存在則二重極限yxbyax例.lim 2200yxyxyxyx求1limlimlim202200 xxxyxyxyxxyx1limlimlim202200yyyyxyxyxyxy由于兩個(gè)累次極限不相等, 故. lim2200不存在yxyxyxyx 例例解解例 二重極限存在不一定能推出累次極限存在.則有設(shè) , 0 ,1sin),( 22yxyxyxf) 1|1sin| ( 01sinlim00yyxyx但. )1sinlim(lim1sin

10、limlim0000不存在yxyxyxyx 例例即算兩個(gè)累次極限存在且相等,也不一定能推出二重極限存在.請(qǐng)同學(xué)們課后討論函數(shù)22),(yxxyyxf時(shí)的兩類極限.)0,0(),(yx當(dāng)二.多元函數(shù)的連續(xù)性1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義請(qǐng)點(diǎn)擊請(qǐng)點(diǎn)擊2.二元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算3.多元初等函數(shù)4.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) , ),U( , 0 , 0 0時(shí)當(dāng)點(diǎn)若DXX在在則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù)有有 ),( ),),(U()( 0yxfXfXf . , ),( 02DXRDXXfz設(shè)設(shè) . 0處連續(xù)處連續(xù)點(diǎn)點(diǎn) X . 0稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn) X 0則函數(shù)在點(diǎn)則函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)定義域的聚點(diǎn)，為函

11、數(shù)定義域的聚點(diǎn)，若若 X 0處的連續(xù)性等價(jià)于處的連續(xù)性等價(jià)于X . )()(lim00XfXfXX. , )U( )( 00的聚點(diǎn)為則內(nèi)有定義在若DXXXf1.1.二元函數(shù)連續(xù)性的定義二元函數(shù)連續(xù)性的定義若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上的每一點(diǎn)上的每一點(diǎn)都連續(xù)都連續(xù), , 則稱函數(shù)則稱函數(shù)在區(qū)域在區(qū)域 上連續(xù)上連續(xù), ,記為記為. )()(CXf)(Xf)(Xf數(shù)中討論區(qū)間端點(diǎn)處連續(xù)性的情形數(shù)中討論區(qū)間端點(diǎn)處連續(xù)性的情形. .如果點(diǎn)如果點(diǎn)為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn), ,則只需討論則只需討論X點(diǎn)點(diǎn)的鄰域中屬于的鄰域中屬于 的那一部分的那一部分, ,類似于一元函類似于一元函X連續(xù)的多元函數(shù)的連續(xù)的

12、多元函數(shù)的和、差、積、和、差、積、 商商( (分母不能為零分母不能為零) )仍是仍是連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)；連續(xù)的多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù)連續(xù)的多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍連續(xù). .在一定的條件下在一定的條件下, , 2.二元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與一元函數(shù)類似 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的多元函數(shù), 稱為多元初等函數(shù). 由基本初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則可知: 多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.3.多元初等函數(shù) 一元連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì), 推廣到多元函數(shù)中應(yīng)是連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上的性質(zhì).在空間)2( nRn中, 閉區(qū)域不一定有界.在一維空間中, 閉區(qū)間一定是有界的.4.

13、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) . 為有界閉區(qū)域?yàn)橛薪玳]區(qū)域設(shè)設(shè)nR使使則則若若 , ),()( 2, 1XXCXf , )(max)(1XfXfX . )(min)(2XfXfX 性質(zhì)1 (最大、最小值定理)推 論 )()( , CXfRn為有界閉區(qū)域. )( 內(nèi)有界在Xf設(shè)nR為有界閉區(qū)域. 任意一個(gè)值, 至少存在一點(diǎn)0X使得.)(0Xf, )()(CXf且)(Xf在上取兩個(gè)若函數(shù)值與, )(則對(duì)于與間的性質(zhì)2(介值定理)從定理可看出：)(maxXfX)(minXfX則至少存在一點(diǎn)0X使得.)(0Xf若取 由連續(xù)性根存在定理能否由介值定理得出?設(shè)nR為有界閉區(qū)域.存在一點(diǎn)0X使得.0)(0Xf

14、兩個(gè)函數(shù)值與0, 且, 則至少, )()(CXf又)(Xf在上取若 該定理實(shí)際上是介值定理的推論.性質(zhì)3(根存在定理)通常說：通常說：0X如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn))(Xf處處不連續(xù)不連續(xù), , 則稱函數(shù)在點(diǎn)則稱函數(shù)在點(diǎn)0X處間斷處間斷點(diǎn)點(diǎn)0X稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn). .三.多元函數(shù)的間斷點(diǎn) 尋找間斷點(diǎn)的方法與一元函數(shù)的情況類似函數(shù)無定義的點(diǎn);極限存在但不等于函數(shù)例如：極限不存在的點(diǎn);在該點(diǎn)的函數(shù)值的點(diǎn)等等.例 . 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)yxxyz由分母不能為零由分母不能為零, ,的一切點(diǎn)均為函的一切點(diǎn)均為函數(shù)的間斷點(diǎn)數(shù)的間斷點(diǎn). .Oxy 例例解解直線直線上上0 yx多元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以構(gòu)成直線、曲線、曲面等, 也可以是某些點(diǎn)的集合.例 . 1 22的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)yxz由分母不能為零由分母不能為零, , . , 0 22函數(shù)無定義函數(shù)無定義時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx 例例解解故點(diǎn)故點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn). .)0 , 0(例由三角函數(shù)知識(shí)可知由三角函數(shù)知識(shí)可知, ,所求間斷點(diǎn)為所求間斷點(diǎn)為222kyx),2, 1,0(kOxy同心圓同心圓 . )tan( 22的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)yxz 例例解解例(極坐標(biāo))根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義根據(jù)函數(shù)連續(xù)的定義, ,只需證明只需證明 . 0),(lim00yxfy