匯編《因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問(wèn)題》含答案

1、例1如圖1 ,邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的兩邊在坐標(biāo)軸上， 以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò) 點(diǎn)A,點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作PF丄BC于點(diǎn)F .點(diǎn) D、E 的坐標(biāo)分別為(0, 6)、(-4, 0)，聯(lián)結(jié) PD、PE、DE .(1) 直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式；(2) 小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值.進(jìn) 而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn) P, PD與PF的差為定值.請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；(3) 小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使 PDE的面積為整數(shù)” 的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”, 則存在多個(gè)“好點(diǎn)”，且使 PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.

2、請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出厶PDE周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).如圖1，邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A, 點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上A、C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過(guò)點(diǎn)P作PF丄BC于點(diǎn)F .點(diǎn)D、E 的坐標(biāo)分別為(0, 6)、(-4, 0)，聯(lián)結(jié)PD、PE、DE .(1) 直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式；(2) 小明探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)C重合時(shí)，PD與PF的差為定值.進(jìn) 而猜想：對(duì)于任意一點(diǎn) P, PD與PF的差為定值.請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由；(3) 小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使 PDE的面積為整數(shù)” 的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”, 則存在

3、多個(gè)“好點(diǎn)”，且使 PDE的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P也是一個(gè)“好點(diǎn)”.請(qǐng)直接寫(xiě)出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)，并求出厶PDE周長(zhǎng)最小時(shí)“好點(diǎn)”的坐標(biāo).B圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 15河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在A、C兩點(diǎn)間的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，觀察S隨P變化的圖像，可以體驗(yàn)到，“使 PDE的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P共有11個(gè).思路點(diǎn)撥1第(2)題通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)理設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間的距離公式表示 PD、PF的長(zhǎng).2.第(3)題用第(2)題的結(jié)論，把 PDE的周長(zhǎng)最小值轉(zhuǎn)化為求 PE + PF的最小值.滿(mǎn)分解答(1) 拋物線(xiàn)的解析式為 y1 X2 8 .8(2) 小明的判斷正確，對(duì)于任意一點(diǎn)P, PD PF = 2.說(shuō)理

4、如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, lx2 8)，那么PF = yF yp= x2 .8 8而 FD2= x2+( x2 8 6)2 x2+(】x2 2)2 (丄 x2 2)2，所以 FD = x2 2 .8 8 8 8因此PD PF = 2為定值.(3) “好點(diǎn)”共有11個(gè).在厶PDE中，DE為定值，因此周長(zhǎng)的最小值取決于FD + PE的最小值.而 PD + PE= (PF + 2) + PE = (PF + PE) + 2,因此當(dāng) P、E、F 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)， PDE 的周 長(zhǎng)最小(如圖2).此時(shí)EF丄x軸，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為一4.所以 PDE周長(zhǎng)最小時(shí)，“好點(diǎn)” P的坐標(biāo)為（4, 6）.考點(diǎn)伸展第（3）

5、題的 如圖3,聯(lián)結(jié)11個(gè)“好點(diǎn)”是這樣求的:OP,那么 Sa PDE= Sa POD +POE SDOE .1 -OD 2GPDE = 3x - X2164因?yàn)?amp; POD =1（Xp）3x , SpOE = OE yp21 2 1212 =-x 3x 4 =（x 6）441 2x216 , Sdoe = 12,所以413 .x= 6.因此S是x的二次函數(shù)，拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)如圖4,當(dāng)一8W xw 0時(shí)，4W SW 13所以面積的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)為10.當(dāng)S= 12時(shí)，方程 l（x 6）2 13 12的兩個(gè)解一8, 4都在一8< x< 0范圍內(nèi).4所以“使厶PDE的

6、面積為整數(shù)”的“好點(diǎn)” P共有11個(gè).例2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中， 拋物線(xiàn)y= ax2 + bx 3(0 )與x軸交于A( 2, 0)、B(4, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1) 求拋物線(xiàn)的解析式；(2) 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段 AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn) 時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)當(dāng) PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí) PBQ的面積最大，最大面 積是多少？(3) 當(dāng)厶PBQ的面積最大時(shí)，在 BC下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn) K，使Sacbk : Spbq = 5 : 2,求點(diǎn)K的坐標(biāo).ypr圖1如圖

7、1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y= ax2 + bx 3 (0)與x軸交于A( 2, 0)、B(4, 0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.(1) 求拋物線(xiàn)的解析式；(2) 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線(xiàn)段 AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線(xiàn)段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) C運(yùn)動(dòng).其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn) 時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)當(dāng) PBQ存在時(shí)，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí) PBQ的面積最大，最大面 積是多少？(3) 當(dāng)厶PBQ的面積最大時(shí)，在 BC下方的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn) K，使cbk : Smbq = 5 : 2,求點(diǎn)K的坐標(biāo).動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 14昆明23”，拖動(dòng)點(diǎn)P從A向B運(yùn)

8、動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng) P運(yùn) 動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)， PBQ的面積最大.雙擊按鈕“ PBQ面積最大”，再拖動(dòng)點(diǎn)K在BC 下方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，觀察度量值，可以體驗(yàn)到，有兩個(gè)時(shí)刻面積比為2.5 .思路點(diǎn)撥PBQ的面積可以表示為t的二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最小值.2. PBQ與厶PBC是同高三角形， PBC與厶CBK是同底三角形，把厶CBK與厶PBQ 的比轉(zhuǎn)化為 CBK與厶PBC的比.滿(mǎn)分解答(1) 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與 x軸交于A( 2, 0)、B(4, 0)兩點(diǎn)，所以y= a(x+ 2)(x 4).所以一 8a= 3.解得a 3 .8所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為y 3 (x 2)(x 4) 3x2 x 3.884(2)

9、如圖2，過(guò)點(diǎn)Q作QH丄x軸，垂足為 H .3在 Rt BCO 中，OB = 4, OC= 3,所以 BC= 5, sinB =3QH = BQsinB= 9 t.5392_93t)-t(t1)51010所以12(65在 Rt BQH 中，BQ = t,1所以 SaPBQ = BP QH因?yàn)镺Wt<2，所以當(dāng)t= 1時(shí)， PBQ的面積最大，最大面積是2 。10(3) 當(dāng)厶PBQ的面積最大時(shí)，t = 1,此時(shí)P是AB的中點(diǎn)，P(1,0), BQ = 1。 如圖3,因?yàn)?PBC與厶PBQ是同高三角形， &pbc： pbq= BC : BQ= 5 ： 1。 當(dāng) SCBK : Sa PBQ

10、= 5 : 2 時(shí)，Sa PBC : SCBK = 2 : 1。因?yàn)?PBC與厶CBK是同底三角形，所以對(duì)應(yīng)高的比為2： 1。如圖4,過(guò)x軸上的點(diǎn)D畫(huà)CB的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 K，那么PB : DB = 2： 1。 因?yàn)辄c(diǎn)K在BC的下方，所以點(diǎn) D在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(匕,0).2過(guò)點(diǎn)K作KE丄x軸于E.設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(x,3(x 2)(x 4).8由KEDEC0，得BO3Jx 2)( x 4)3-.整理，得 x2 4x+ 3= 0.47).由 SacbK : Sa pbq= 5 : 2, Sapbq =，得SCBK = 910 TP _ H圖2圖3A圖4解得x= 1,或x= 3.所以點(diǎn)K

11、的坐標(biāo)為(1, 7)或(3,8考點(diǎn)伸展第(3)題也可以這樣思考:如圖5,過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線(xiàn)交BC于F .設(shè)點(diǎn)K的坐標(biāo)為(x-x2-x 3).84由于點(diǎn)F在直線(xiàn)BC： y3x 3上.所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,4x 3).所以 KF = (3x 3) (3x2 3x 3)4843 23xx82 CBK被KF分割為 CKF和厶BKF，他們的高的和為 OB = 4.所以 SaCBK = 4( 3 x22 8圖51例3如圖1 ,已知拋物線(xiàn)yx2 bx c （b、c是常數(shù)，且cv 0 ）與x軸交于A、B2兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一1,0）.（1） b=，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

12、 （上述結(jié)果均用含 c的代數(shù)式表示）；（2） 連結(jié)BC,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AE/BC，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) E.點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo) 為（2,0），當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式；（3） 在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC.設(shè)厶PBC 的面積為S. 求S的取值范圍； 若 PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的 PBC共有個(gè).1如圖1,已知拋物線(xiàn)yx2 bx c (b、c是常數(shù)，且cv 0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)2(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一1,0).(1) b=，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為 (上述結(jié)果均用含 c的代數(shù)式表示)；(2) 連結(jié)

13、BC,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)AE/BC，與拋物線(xiàn)交于點(diǎn) E.點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，坐標(biāo) 為(2,0)，當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，求拋物線(xiàn)的解析式；(3) 在(2)的條件下，點(diǎn)P是x軸下方的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PB、PC.設(shè)厶PBC 的面積為S. 求S的取值范圍； 若 PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的 PBC共有個(gè).動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 13蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， EHA與厶COB保持相似.點(diǎn)擊按鈕“ C、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)”，此時(shí) EHD COD .拖動(dòng)點(diǎn)P從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個(gè).請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“ 13蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半

14、軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到， EHA與厶COB保持相似.點(diǎn)擊按鈕“ C、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)”，此時(shí) EHD COD .拖動(dòng)點(diǎn)P從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B，數(shù)一數(shù)面積的正整數(shù)值共有11個(gè).思路點(diǎn)撥1用c表示b以后，把拋物線(xiàn)的一般式改寫(xiě)為兩點(diǎn)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)OB = 2OC.2. 當(dāng) C、D、E 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)， EHACOB, EHDCOD .3求 PBC面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，P在BC上方或下方.4.求得了 S的取值范圍，然后羅列P從A經(jīng)過(guò)C運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，面積的正整數(shù)值， 再數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù).注意排除點(diǎn)A、C、B三個(gè)時(shí)刻的值.滿(mǎn)分解答1 一(1) b= c，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一2c.2(2) 由 yx2 (c )x c

15、 (x 1)(x 2c)，設(shè) E(x, (x 1)(x 2c).過(guò)點(diǎn)E作EH丄x軸于H.由于 OB = 2OC，當(dāng) AE/BC 時(shí)，AH = 2EH .所以 x 1 (x 1)(x 2c) 因此 x 1 2c 所以 E(1 2c,1 c).當(dāng)C、D、E三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上時(shí)，CO .所以 A_ccDH DO2c 12整理，得2c2+ 3c 2 = 0.解得c =- 2或c 1 (舍去).21x2 3x 2.所以?huà)佄锞€(xiàn)的解析式為(3)當(dāng)P在BC下方時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn)BC的解析式為y丄x 2 .2BC 于 F.、r 1231設(shè) P(m, m m 2)，那么 F(m, m 2), FP2 2

16、2-m2 2m.21所以Sa PBC= S"BF+ Sa PCF = PBC的最大值為SA ABC = 5，所以2FPm2 4m (m2)2因此當(dāng)P在BC下方時(shí)， 當(dāng)P在BC上方時(shí)，因?yàn)?綜上所述，0 V SV 5.若 PBC的面積S為正整數(shù)，則這樣的4.SAPBC V 5.PBC共有11個(gè).考點(diǎn)伸展點(diǎn)P沿拋物線(xiàn)從A經(jīng)過(guò)C到達(dá)B的過(guò)程中， PBC的面積為整數(shù)，依次為 (5) , 4, 3,2, 1 , (0), 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, (0).當(dāng)P在BC下方，S= 4時(shí)，點(diǎn)P在BC的中點(diǎn)的正下方，F(xiàn)是BC的中點(diǎn).例4如圖1 ,在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂

17、點(diǎn)為A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0),將此三角板繞原點(diǎn) O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到三角形 ABO.(1 )一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A'、B'、B,求該拋物線(xiàn)的解析式；(2) 設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PB A B的面積是 A B 0面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在(2)的條件下，試指出四邊形 PB 'A B是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出它的兩條性質(zhì)./A' O|B如圖1在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A(0, 1)、B(2, 0)、0(0, 0),將此三角板繞原點(diǎn) O逆

18、時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到三角形 ABO.(1 )一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) A'、B'、B,求該拋物線(xiàn)的解析式；(2) 設(shè)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P,使四邊形PB A B的面積是 A B 0面積的4倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3) 在(2)的條件下，試指出四邊形PB 'A B是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出它的兩條性質(zhì).圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 12荷澤21 ”，拖動(dòng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，可以 體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形 PB A B是等腰梯形時(shí)，四邊形 PB A B的面積是厶A B 0面積的4倍.請(qǐng)打開(kāi)超級(jí)畫(huà)板文件名“ 1

19、2荷澤21 ”，拖動(dòng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，可以 體驗(yàn)到，當(dāng)四邊形 PB A B是等腰梯形時(shí)，四邊形 PB A B的面積是厶A B 0面積的4倍.思路點(diǎn)撥1四邊形PB 'A 'B的面積是厶A B 0面積的4倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形PB OB的面積是 A B 0面積的3倍.2.聯(lián)結(jié)P0,四邊形PB 0B可以分割為兩個(gè)三角形.3過(guò)點(diǎn)向x軸作垂線(xiàn)，四邊形 PB 0B也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形.滿(mǎn)分解答(A0B繞著原點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,點(diǎn)A '、B的坐標(biāo)分別為(一1,0)、(0, 2). 因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與x軸交于A '( 1,0)、B(2, 0

20、)，設(shè)解析式為y= a(x+ 1)(x 2),代入 B (0, 2)，得 a = 1.所以該拋物線(xiàn)的解析式為y = (x+ 1)(x 2) = x2 + x+ 2.(2) Sa a b 0= 1.如果S 四邊形PB A B = 4 Saa b 0= 4，那么 S 四邊形PB 0B = 3 Sa a b 0= 3.如圖2,作PD丄0B，垂足為D.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, x2 + x+ 2).1121312S弟形pb'0dD0(B'0 PD) - x(2 x x 2)?x 2x .PDB1DB PD 1(2 x)( x2 x 2) !x3 3 x2 2 -2 2 22所以S四邊形PB

21、'A' DS梯形PB'ODS PDBX2 2x+2 解方程一 x2 + 2x+ 2 = 3,得 Xi= X2= 1 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1 , 2) 圖2圖3圖4(3)如圖3,四邊形PBAB是等腰梯形，它的性質(zhì)有：等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等；等腰 梯形同以底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是經(jīng)過(guò)兩底中點(diǎn)的直線(xiàn).考點(diǎn)伸展第(2)題求四邊形PBOB的面積，也可以如圖4那樣分割圖形,這樣運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)單.PB'O2B'。xP12x x PBO12b。yP2(x 2)x2 x 2 所以S四邊形PB'A'dS PB'OS PBOx22x

22、+2 甚至我們可以更大膽地根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性直接得到點(diǎn)P:作厶A OB '關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的厶BOE ,那么點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1 , 2) 而矩形EB OD與厶A OB '、 BOP是等底等高的，所以四邊形 EB A B的面積是厶A B O 面積的4倍.因此點(diǎn)E就是要探求的點(diǎn) P 例5如圖1在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn) v 1X 1與拋物線(xiàn)y= ax2 + bx 3交于A、B2兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)(不與 點(diǎn)A、B重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn) AB于點(diǎn)C,作PD丄AB于點(diǎn)D .(1) 求 a、b 及 sin / ACP 的值

23、；(2) 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m. 用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段 PD的長(zhǎng)，并求出線(xiàn)段 PD長(zhǎng)的最大值； 連結(jié)PB,線(xiàn)段PC把厶PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9 : 10?若存在，直接寫(xiě)出 m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中， 直線(xiàn)y 1 x 1與拋物線(xiàn)y= ax2 + bx 3交于A、B兩點(diǎn)，2點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交直線(xiàn) AB于點(diǎn)C,作PD丄AB于點(diǎn)D .（1）求 a、b 及 sin / ACP 的值；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m. 用含m的代數(shù)式表示線(xiàn)段 P

24、D的長(zhǎng)，并求出線(xiàn)段 PD長(zhǎng)的最大值； 連結(jié)PB,線(xiàn)段PC把厶PDB分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的m的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為9 : 10?若存在，直接寫(xiě)出 m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.I</Y圖1動(dòng)感體驗(yàn)請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 12河南23”，拖動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AB下方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，可以 體驗(yàn)到，PD隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的圖象是開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)的一部分，當(dāng)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，PD達(dá)到最大值觀察面積比的度量值，可以體驗(yàn)到，左右兩個(gè)三角形的面積比可以是9： 10,也可以是10 : 9.思路點(diǎn)撥1. 第（1）題由于CP/y軸，把/ ACP轉(zhuǎn)化為它的同位角.2. 第（2）題中，PD = PCsin/AC

25、P，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊.DN與BM的比.3. A PCD與厶PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高 4兩個(gè)三角形的面積比為 9 : 10,要分兩種情況討論.滿(mǎn)分解答(1) 設(shè)直線(xiàn) y !x 1 與 y 軸交于點(diǎn) E,那么 A( 2,0), B(4,3), E(0,1).2在 Rt AEO 中，OA = 2, OE = 1,所以 AE 5 .所以 sin AEO 乙5 .5 因?yàn)?PC/EO,所以/ ACP = / AEO.因此 sin ACP 215 .5將 A( 2,0)、B(4,3)分別代入 y= ax2 + bx 3, 得4a 2b 3 0,16a 4b 3 3.(2)

26、由1 2P(m,m1 m23)，C(m11,尹 1)，得 PC (m1) "21 m3)12m m 4 .2222所以PDPC sin ACP25皿PC25/12八( m m 4)丄(m 1)29、59,555255所以PD的最大值為5(3)當(dāng)SaPCD : SaPCB= 9:10 時(shí)，5 ； m；2解得a 2， b 2.當(dāng) S"CDS PCB= 109時(shí)，m329圖2考點(diǎn)伸展第(3)題的思路是： PCD與厶PCB是同底邊PC的兩個(gè)三角形，面積比等于對(duì)應(yīng)高DN與BM的比.而 DN PD cos PDNPD cosACPJ521(丄m2 m 4)15(m 2)(m 4)，52

27、BM = 4 m.當(dāng)Sa PCD :Sa PCB= 9 :10時(shí)，1 ( (m52)(m4)-(410m).解得m52當(dāng)Sa PCD :Sa PCB= 10:9時(shí)，1 ( (m2)(m4)10(4m).解得m32599例6如圖1,直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1, 0)，且與雙曲線(xiàn)y m(x> 0)交于點(diǎn)B(2, 1).過(guò)點(diǎn)xP(p,p 1)(p > 1)作x軸的平行線(xiàn)分別交曲線(xiàn)y m(x > 0)和y - (x< 0)于M、N兩點(diǎn).xx(1) 求m的值及直線(xiàn)I的解析式；(2) 若點(diǎn)P在直線(xiàn)y= 2上，求證： PMBPNA;(3) 是否存在實(shí)數(shù)p,使得Samn = 4S°a

28、mp?若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的p的值; 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1如圖1直線(xiàn)I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)，且與雙曲線(xiàn)y m(x>0)交于點(diǎn)B(2, 1).過(guò)點(diǎn)P(p, p 1)(px> 1)作x軸的平行線(xiàn)分別交曲線(xiàn) y m(x> 0)和y m(XV 0)于M、N兩點(diǎn).Xx(1) 求m的值及直線(xiàn)I的解析式；(2) 若點(diǎn)P在直線(xiàn)y= 2上，求證： PMBPNA;(3) 是否存在實(shí)數(shù)p,使得Ssmn = 4S°amp?若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的p的值； 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)打開(kāi)幾何畫(huà)板文件名“ 11南通28”，拖動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，當(dāng)直 線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)(0,

29、 2)點(diǎn)時(shí)，圖形中的三角形都是等腰直角三角形； AMN和厶AMP是兩 個(gè)同高的三角形，MN = 4MP存在兩種情況.思路點(diǎn)撥1第(2)題準(zhǔn)確畫(huà)圖，點(diǎn)的位置關(guān)系盡在圖形中.2.第(3)題把 & AMN = 4Samp轉(zhuǎn)化為MN = 4MP，按照點(diǎn) M與線(xiàn)段NP的位置關(guān)系分 兩種情況討論.滿(mǎn)分解答(1) 因?yàn)辄c(diǎn)B(2, 1)在雙曲線(xiàn)y m上，所以m = 2.設(shè)直線(xiàn)I的解析式為y kx b ,xk b 0k 1代入點(diǎn)A(1, 0)和點(diǎn)B(2, 1)，得k b 0,解得k 1所以直線(xiàn)|的解析式為y x 1.2k b 1.b 1.(2) 由點(diǎn)P(p, p 1)(p> 1)的坐標(biāo)可知，點(diǎn) P

30、在直線(xiàn)y x 1上 x軸的上方.如圖 2,當(dāng)y= 2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3, 2).此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1 , 2)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一1, 2).由P(3, 2)、M(1 , 2)、B(2, 1)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知 PMB為等腰直角三角形.由P(3, 2)、N(- 1, 2)、A(1, 0)三點(diǎn)的位置關(guān)系，可知PNA為等腰直角三角形.所以 PMB PNA.（3）A AMN和厶AMP是兩個(gè)同高的三角形，底邊 MN和MP在同一條直線(xiàn)上.當(dāng) Saamn = 4Saamp 時(shí)，MN = 4MP .如圖3,當(dāng)M 在 NP 上時(shí)，Xm xn = 4(xp xm).因此113 (此時(shí)點(diǎn)2M在 NPP在X軸下方

31、，舍去）.22-(-)4 (x xx此時(shí)p 113.2的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，xm xn = 4(xm xp).因2(-)x(x1）.解得X15 （此時(shí)點(diǎn)P在x軸下方，舍去）.21.52考點(diǎn)伸展在本題情景下， AMN能否成為直角三角形？情形一，如圖5,Z AMN = 90°,此時(shí)點(diǎn) M的坐標(biāo)為（1 , 2）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3, 2）.情形二，如圖6,/ MAN = 90 °,此時(shí)斜邊 MN上的中線(xiàn)等于斜邊的一半.不存在/ ANM = 90°的情況.11141E亠憶*/AQr圖5圖6例7如圖1四邊形 OABC是矩形，點(diǎn) A、C的坐標(biāo)分別為(3,0), (0,1).點(diǎn)D是線(xiàn)段1BC上的動(dòng)點(diǎn)(與端點(diǎn) B、C不重合)，過(guò)點(diǎn)D作直線(xiàn)y - X b交折線(xiàn)OAB于點(diǎn)E .(1) 記厶O(píng)DE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式；(2) 當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)圖形為四邊形 O1A1B1C1, 試探究四邊形 O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出重疊如圖1，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3,