線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)要點(diǎn)第一局部行列式1 .排列的逆序數(shù)2 .行列式按行列展開(kāi)法那么3 .行列式的性質(zhì)及行列式的計(jì)算行列式的定義1 .行列式的計(jì)算:定義法a21Ma22Maa2(j1j2L jn )(1)a1j1 a2j2 L anjnj1j2L jnanian2ann降階法行列式按行展開(kāi)定理:行列式等于它的任一行列的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和推論：行列式某一行列的元素與另一行列的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.化為三角型行列式上三角、下三角、主對(duì)角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.假設(shè)A與B都是方陣不必同階,那么A O O B(1)mn A B關(guān)副1a2n 1a2 nNan1an(n 1

2、)(1) 2 ama2nK an1范德蒙德行列式:x1x2L22x1x2LMMn 1 n 1 Kx2 Lxn2 xnn 1xnx xj1 j i nabbLba b型公式:n 1a (n 1)b(a b)babLbbbaLbMMMOMbbbLa升階法在原行列式中增加一行一列,保持原行列式不變的方法遞推公式法對(duì)n階行列式Dn找出Dn與Dn1或Dn1, Dn 2之間的一種關(guān)系稱為遞推公式,其中Dn, Dn 1, Dn 2等結(jié)構(gòu)相同,再由遞推公式求出 Dn的方法稱為遞推公式法拆分法把某一行或列的元素寫(xiě)成兩數(shù)和的形式,再利用行列式的性質(zhì)將原行列式寫(xiě)成兩行列式之和,使問(wèn)題簡(jiǎn)化以例計(jì)算數(shù)學(xué)歸納法 n2 .

3、對(duì)于n階行列式A|,恒有：| E A n 16 -,其中Sk為k階主子式; k 13 . 證實(shí)A 0的方法：、AA| ;、反證法；、構(gòu)造齊次方程組 Ax 0,證實(shí)其有非零解；、利用秩,證實(shí)rA n ;、證實(shí)0是其特征值.4 .代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj 1i jAijAij 1i jMij第二局部矩陣1 .矩陣的運(yùn)算性質(zhì)2 .矩陣求逆3 .矩陣的秩的性質(zhì)4 .矩陣方程的求解&1012L 即1.矩陣的定義由m n個(gè)數(shù)排成的m行n列的表A矩陣.a2ia22La2 n 二方斗稱為m nM M Mamiam2amn記作：A aj mn或4 n同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等矩陣相等

4、：兩個(gè)矩陣同型,且對(duì)應(yīng)元素相等矩陣運(yùn)算a. 矩陣加(減)法：兩個(gè)同型矩陣,對(duì)應(yīng)元素相加(減)b. 數(shù)與矩陣相乘：數(shù) 與矩陣A的乘積記作 A或A,規(guī)定為 A ( aij).C.矩陣與矩陣相乘：設(shè)A (aj)ms, B (bj)sn,那么C AB ©)mn,其中不成立.0 或 B=0 乘 ：注：矩陣乘法不滿足:交換律、消去律,即公式ABABBAa.A11AA22 ,BB11B22acA1B11ABA22 B22A1n1A2n2b. 用對(duì)角矩陣乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的(II向量；c. 用對(duì)角矩陣跡乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的向量.d.

5、 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘方陣的募的性質(zhì)：AmAn Amn, (Am)n (A)mn 矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣 A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣,叫做 A的轉(zhuǎn)置 矩陣,記作AT .a.對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣：A是對(duì)稱矩陣A at .A是反對(duì)稱矩陣fA AT.T.一A Rb.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣：C DA114伴隨矩陣：A*Aj TA2 A22jM MAin A2n代.AA* A*A AE, A* |An 1, A 1分塊對(duì)角陣的伴收* 一一一 如, .mn _ _A( 1) AR、mnR( 1) RAat ct rt dtL AmL An2 , Aj為A中各個(gè)元素的代數(shù)余MjL

6、AnA1.*A*有矩陣：ARA*RAR矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：矩陣可逆的性質(zhì)：伴隨矩陣的性質(zhì)：AA AA |Ae (無(wú)條件恒成立)2.逆矩陣的求法 方陣A可逆A 0.伴隨矩陣法 A 1AA主L換位副L變號(hào)a b 1 d bc d ad bc c a初等變換法(AME)初等行變換(EMA 1) 分塊A 11a11a21a31a1a2a31a31至1al配方法或者待定系數(shù)法逆矩陣的定義 AB BA E A 1 B3 .行階梯形矩陣 可畫(huà)出一條階梯線,線的下方全為 0；每個(gè)臺(tái)階只有一行,臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素非零.當(dāng)非零行的第一個(gè)非零元為1 ,且這些非零元所在列的其他元素都是0

7、時(shí), 稱為行最簡(jiǎn)形矩陣4 .初等變換與初等矩陣對(duì)換變換、倍乘變換、倍加或消法變換初等變換初等矩陣初等矩陣的逆初等矩陣的行列式rirj ( ciCj )ri k ( g k )rirj k ( q cj k)矩陣的初等變換和初等矩陣的關(guān)系:對(duì)a施行一次初等(0變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣(D乘A；對(duì)A施行一次初等 須變換得到的矩陣,等于用相應(yīng)的初等矩陣 鉆)乘A.注意：初等矩陣是行變換還是列變換,由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣5 .板巨陣的秩關(guān)于A矩陣秩的描述：、r(A) r , A中有r階子式不為0, r 1階子式(存在的話)全部為0;、r(A) r , A的r階子式

8、全部為0;、r(A) r , A中存在r階子式不為0;矩陣的秩的性質(zhì):D A O r(A) > 1; A Or(A) 0; 0< r(Am n) & min( m, n) r( A) r(AT ) r( AT A) r(kA) r(A)其中 k 0W 假設(shè) Amn,Bns,假設(shè) r(AB) 0 r(AB) < min r(A),r(B)r(A) r(B) nB的列向量全部是Ax 0勺解假設(shè)P、Q可逆,那么r(A)r(PA) r(AQ) r(PAQ)；即：可逆矩陣不影響矩陣的秩0 假設(shè) r(Am n) nAx只有零解r(AB) r(B)A 在矩陣乘法中有左消去律AB O

9、 B OAB AC B C假設(shè) r(Bn s) nr(AB) r(B)B在矩陣乘法中有右消去律標(biāo)準(zhǔn)型假設(shè)r(A) rA與唯一的Er 0等價(jià),稱Er 0為矩陣刖勺等價(jià)O 00 09) r(A B)< r(A) r(B), max r(A),r(B) < r(A, B) < r(A) r(B)r(A) r(B),r(A) r(B)求矩陣的秩：定義法和行階梯形陣方法6矩陣方程的解法|A 0:設(shè)法化成I AX B 或II XA B第三局部線性方程組1 .向量組的線性表示2 .向量組的線性相關(guān)性3 .向量組的秩4 .向量空間5 .線性方程組的解的判定6 .線性方程組的解的結(jié)構(gòu)通解1齊次

10、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)根底解系與通解的關(guān)系2非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)通解1 .線性表示：對(duì)于給定向量組,1, 2,L , n ,假設(shè)存在一組數(shù)ki,k2,L,kn使得 k1 1 k2 2 L kn n ,那么稱是1, 2,L , n的線性組合,或稱稱可由1, 2,L , n的線性表 示.線性表示的判別定理：可由1, 2,L , n的線性表示由n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:2.a2iXia22 X2La2nxnb2LL LL LL LL LLLam i Xi am 2 X2La nmXnbnaiia12LainXibia2ia22La2 nX2b2MMOMMMamiam 2Lamn

11、Xmbmaii Xiai2 X2Lain Xnbi有解D、AxXiX2MXna2Lanaiaixia2x2 LanXn、有解的充要條件:r(A)全部按列分塊,其中bb2)；Mbn線性表出rA, n n為未知數(shù)的個(gè)數(shù)或維數(shù)A的列向量為i, 2,B的列向量為貝 1 AB Cm sbi%Lbisb2ib22Lb2sMMMG,Q,L ,Csbnibn2L bnsA i Ci , (i i,2,L ,s)為Ax c的解Ci,C2,L ,Cs可由i, 2, , n線性表示.即：C的列向量能由A的列向量線性表示,B為系數(shù)矩陣.同理：C的行向量能由B的行向量線性表示, A為系數(shù)矩陣aiiai2LainiGai

12、iiai22 Lain 2G即：a2ia22La2n2C2a2iia222 La2n 2C2MMMMMLLLanian2Lamnncmamiiam 22 Lamn 2Cm3.線性相關(guān)性判別方法:法i定義：給定向量組? ".小,如果存在不全為零的實(shí) 數(shù)與,色,心,使得肩勺+舄叫+貴4=0 零向量那么稱向最組彳是線性相關(guān)的,否那么稱它是城性無(wú)美的.向量組髀元齊次線性方程綱a,的,-,嬴Q"=.4_：及胞線性相關(guān)有詐零解法2法3推論線關(guān)于向量組/4,設(shè)矩陣定理3向量組%,心血之2線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.變"到二回出組知%,/

13、次H兀大.性相關(guān)性判別法歸納線性相關(guān)性的性質(zhì)零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).局部相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),局部必?zé)o關(guān).向量個(gè)數(shù)變動(dòng)原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).向量維數(shù)變動(dòng)兩個(gè)向量線性相關(guān)對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).向量組1, 2, , n中任一向量i 10 i & n都是此向量組的線性組合.假設(shè)1,2,n線性無(wú)關(guān),而1,2, n,線性相關(guān),那么可由1,2, ,n線性表示,且表示法唯一4.最大無(wú)關(guān)組相關(guān)知識(shí)向量組的秩|向量組1, 2,L , n的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),

14、稱為這個(gè)向量組的秩.記作r 1, 2 ,L , n 矩陣等價(jià)| A經(jīng)過(guò)有限次初等變最大無(wú)關(guān)組假設(shè)存向蛆W中投到r個(gè)月號(hào)藥.?.% 滿足鼻；,鞏戰(zhàn)性七美,2 A中行一向局都可由小表示一那么何南知也是向吊以/的向量空間的基出/為向帛中間.假設(shè)Tfr個(gè)向M%,敬./E匕口滿足L叫."卻s %線性無(wú)關(guān)；V中任 向T都可力«rr w2t 外線性衣示 那么稱向量組片,也.8就稱為向量空間的一個(gè)基*根底解系；界次線性方程組出口的 加酬向予"、一 一之滿至 馬.之線性無(wú)X;2 ,4m = 口的仃一解都可由毫4, g 線性表示.那么稱外生,./稱為Ax =.的1個(gè)根底解條.換化為B

15、.向量組等價(jià)|1, 2, , n和1,2, , n可以相互線性表示. 記作：1, 2,n%1,2,n矩陣的行向量組的秩列向量組的秩矩陣的秩.行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù). 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行(列)向量間的線性關(guān)系向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , n線性表示,且S n,那么1, 2, , s線性相關(guān).向量組1, 2, , s線性無(wú)關(guān),且可由1, 2, , n線性表示,那么S&n.向量組1, 2, , s可由向量組1, 2, , n線性表示,且r( 1, 2, , s) r( 1, 2, , n),那么兩向量組等價(jià)； 任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組

16、等價(jià).向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià). 向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一,但極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)唯一確定假設(shè)兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),那么它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.設(shè)A是m n矩陣,假設(shè)r(A) m, A的行向量線性無(wú)關(guān)；5.線性方程組理論線性方程組的矩陣式| Ax|向量式X1 1X2加2 L窕xnLnainX11jAa21a22La2 n,XX2,b2其中 j:,j 1,2,L ,nMMMMMjMam1dm2LamnXnbmmj(1)解得判別定理線 性 方 程 組 解 的 性 質(zhì)1, 2是AX的解,12也是它的解齊次方程組是Ax的解,對(duì)任意k,k也是它的解1, 2,L , k是Ax的解,對(duì)任意k個(gè)常

17、數(shù)1, 2,L , k,112 2 k k也是匕的解 是Ax 的解,是其導(dǎo)出組Ax 的解, 是Ax 的解1, 2是Ax的兩個(gè)解,12是其導(dǎo)出組Ax的解(6) 2是Ax的解,那么1也是它的解12是其導(dǎo)出組Ax 的解(7) 1, 2,L , k是Ax 的解,那么I 12 2 L k k也是Ax的解 12 L k 1II 2 2 L k k是 Ax 0 的解12 L k 0判斷1, 2,L , s是Ax的根底解系的條件:1, 2,L , s線性無(wú)關(guān)；1, 2,L,s都是Ax 的解；s n r(A)每個(gè)解向量中自由未知量的個(gè)數(shù)(4)求非齊次線性方程組 Ax = b的通解的步驟(5)其他性質(zhì)一個(gè)齊次線性

18、方程組的根底解系不唯 ,假設(shè) 是Ax 的一個(gè)解,1, ,L , s是Ax 的一個(gè)解 1, ,L , s,線性無(wú)關(guān)AV Ax 與Bx 同斛(A,B列向量個(gè)數(shù)相同)r r(A) r(B),且有結(jié)果:B 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等;它們對(duì)應(yīng)的局部組有一樣的線性相關(guān)性； 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.V 矩陣Am n與Bl n的行向量組等價(jià)齊次方程組 A 與Bx 同解 PA B(左乘可逆矩陣P);矩陣Am n與Bl n的列向量組等價(jià)AQ B (右乘可逆矩陣Q).第四局部 方陣的特征值及特征向量1,施密特正交化過(guò)程2.特征值、特征向量的性質(zhì)及計(jì)算3,矩陣的相似對(duì)角化,尤其是對(duì)稱陣的相似對(duì)角化1 .標(biāo)

19、準(zhǔn)正交基 n個(gè)n維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1.向 量a1,a2,L ,an T 與l,b2,L ,bn T 的 內(nèi) 積n(,) a bi .aibia2b2L anbni 1與正交,0. 記為:向量 a,a2,L ,an T的長(zhǎng)度n,.(,) a2,a2a2 L a；i 1 是單位向量| | VT- 1.即長(zhǎng)度為1的向量.2 .內(nèi)積的性質(zhì)：正定性：,0,且,0對(duì)稱性：,線性性：(12, ) ( 1, ) ( 2,)3.設(shè)A是一個(gè)n階方陣,假設(shè)存在數(shù)和n維非零列向量x,使得那么稱是方陣A的一個(gè)特征值,x為方陣A的對(duì)應(yīng)于特征值 的一個(gè)特征向A的特征矩陣E A 0 或A E 0.A的

20、特征多項(xiàng)F| | E A 或A E 是矩陣A的特征多項(xiàng)式A OtrA, trA稱為矩陣A的園. 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的n各元素.0的線性假設(shè)A 0,那么 0為A的特征值,且Ax的根底解系即為屬于a24,b>, L , bnMan無(wú)關(guān)的特征向量 r(A) 1 A 一定可分解為AA2 (劣匕a2b2 Lanbn)A,從而A的特征值為：1 tr A a1bl a2b2 L anbn,23 L n 0. ai,a2,L ,% T為A各行的公比,h",b為A各列的公比假設(shè)A的全部特征值1, 2,L , n, f (A)是多項(xiàng)式,那么：假設(shè)A滿足f (A) OA

21、的任何一個(gè)特征值必滿足f( i) 0f(A)的全部特征值為f ( 1), f( 2),L , f ( n)；f(A) f( 1)f( 2)L f( n).A與AT有相同的特征值,但特征向量不一定相同4 .特征值與特征向量的求法(1) 寫(xiě)出矩陣A的特征方程|aE| 0,求出特征值i.(2) 根據(jù)(A iE)x 0得到A對(duì)應(yīng)于特征值i的特征向量.設(shè)(A iE)x 0的根底解系為1, 2,L n ri,其中ri r(A iE).那么A對(duì)應(yīng)于特征值i的全部特征向量為k1 1 k2 2 L kn“nri, 其中k1,k2,L ,kn g為任意不全為零的數(shù).5 . |A與B相似|P 1AP B(P為可逆矩

22、陣)A與B正交相似| P 1AP B( P為正交矩陣)A可以相似對(duì)痛心 A與對(duì)角陣相似.(稱 是A的卜目似標(biāo)海兩6 .相似矩陣的性質(zhì)：E A E B ,從而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同. 是A關(guān)于0的特征向量,P1是B關(guān)于0的特征向 量. tr A tr BA |B 從而A, B同時(shí)可逆或不可逆 r(A) r(B)假設(shè)A與B相似,那么A的多項(xiàng)式f (A)與B的多項(xiàng)式f(A)相似.7 .矩陣對(duì)角化的判定方法n階矩陣A可對(duì)角化(即相似于對(duì)角陣)的充分必要條件是 A有n個(gè)線性無(wú) 關(guān)的特征向量.這時(shí),P為A的特征向量拼成的矩陣,p 1AP為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為 A 的特征值.設(shè)為對(duì)

23、應(yīng)于1的線性無(wú)關(guān)的特征向量,那么有：1-1 2P1AP2 on A可相似對(duì)角化 n r( iE A) k-其中K為i的重?cái)?shù)A恰有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.® ：當(dāng)i 0為A的重的特征值時(shí),A可相似對(duì)角化 j的重?cái)?shù) n r(A) Ax 根底解系的個(gè)數(shù). 假設(shè)n階矩陣A有n個(gè)互異的特征值A(chǔ)可相似對(duì)角化.8 .實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量; 不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必定正交；：對(duì)于普通方陣,不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)；一定有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.假設(shè)A有重的特征值,該特征值的重?cái)?shù)=n r iE A； 必可用正交矩陣相似對(duì)角化,即：任一實(shí)二次型可經(jīng)正交變換化為標(biāo)

24、準(zhǔn)形; 與對(duì)角矩陣合同,即：任一實(shí)二次型可經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形； 兩個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣相似有相同的特征值.9 .正交矩陣AAT E正交矩陣的性質(zhì)： AT A1; aat ata e ; 正交陣的行列式等于1或-1;A是正交陣,那么At, a1也是正交陣；兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣；A的行列向量都是單位正交向量組 .10.11. 求正交矩陣丁,把實(shí)對(duì)稱矩陣,4化為對(duì)角陣的方法：甌f同 L解特征方程|A - AE=0,|正交網(wǎng) 求出對(duì)稱的全部不同的特征值444包2 .對(duì)每個(gè)特征值4,求出對(duì)應(yīng)的特征向量, 即求齊次線性方程組J -4石卜=0的根底解系.3 .將屬于每個(gè)4的特征向最先正交化,再單位化. 這

25、樣共可得到«個(gè)兩兩正交的單位特征向量"口小,辦4 .以為列向量構(gòu)成正交矩陣/ = 有 T = A1, 2, 3線性無(wú)關(guān),22 一2一33 一3一技巧：取正交的根底解系,跳過(guò)施密特正交化讓第二個(gè)解向量先與第一個(gè)解向量正交,再把第二個(gè)解向量代入方程,確定其自由變量第四局部二次型1.二次型及其矩陣形式2.二次型向標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化的三種方式3.正定矩陣的判定1.fXi,X2,L ,xnann na21"濟(jì)X,x2,L , xni 1 j 1Lla22la2nx2llllan2lannxnanixT Ax其中A為對(duì)稱矩陣,x (x1,x2,L ,xn)TA與B合同CTAC B .(A,B為實(shí)對(duì)稱矩陣,C為可逆矩陣)正慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)項(xiàng)數(shù)P負(fù)慣性指數(shù)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)r p符號(hào)差2 p r ( r為二次型的秩) 兩個(gè)矩陣合同它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù)他們的秩與正慣性指數(shù)分別相等. 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：A與B等價(jià) 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是：r(A) r(B)I正交變換n2. f(x1,x2,L ,x