人教版九年級數(shù)學上冊《22-3 第3課時 拱橋問題和運動中的拋物線》導學案設計優(yōu)秀公開課

1、第二十二章二次函數(shù)22.3實際問題與二次函數(shù)第 3 課時 拱橋問題和運動中的拋物線學習目標：1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題2. 利用二次函數(shù)解決拱橋及運動中的有關問題3. 能運用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行決策重點：掌握二次函數(shù)模型的建立，會把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題 難點：利用二次函數(shù)解決拱橋及運動中的有關問題自主學習一、知識鏈接如圖是二次函數(shù)的圖象，現(xiàn)在請你根據(jù)給出的坐標系的位置，說出二次函數(shù)的解析式類型.(1) (2) (3) 課堂探究二、要點探究探究點 1：利用二次函數(shù)解決實物拋物線形問題合作探究如圖是拋物線形拱橋，當拱頂離水面 2m 時，水面寬 4m.水面下

2、降 1m，水面寬度增加多少？問題 1怎樣建立直角坐標系比較簡單呢？問題 2從圖看出，什么形式的二次函數(shù)，它的圖象是這條拋物線呢？問題 3如何確定 a 是多少？問題 4水面下降 1m，水面寬度增加多少？知識要點：解決拋物線型實際問題的一般步驟.(1) 根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?2) 把已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標；(3) 合理設出函數(shù)解析式；(4) 利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；(5) 根據(jù)求得的解析式進一步分析、判斷并進行有關的計算.典例精析例 1如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，長方形 OABC 的長是 12m，寬是 4m，按照圖中所示的平面直角坐標系，拋物線可以用 yx2+2x+c 表

3、示（1） 請寫出該拋物線的函數(shù)關系式；（2） 一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為 6m，寬為 4m，如果隧道內(nèi)設雙向行車道，那么這輛貨車能否安全通過？（3） 在拋物線形拱壁上需要安裝兩排燈，使它們離地面的高度相等如果燈離地面的高度不超過 8m，那么兩排燈的水平距離最小是多少米？變式如圖，施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道，OM 寬度為 16 米， 其頂點 P 到 OM 的距離為 8 米（1） 請建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶蟪鲞@條拋物線的函數(shù)解析式；（2） 隧道下的公路是雙向行車道（正中間是一條寬 1 米的隔離帶），其中的一條行車道能否行駛寬 3.5 米、高 5.8 米的特種車輛？請通過

4、計算說明探究點 2：利用二次函數(shù)解決運動中拋物線型問題例 2某廣場噴泉的噴嘴安裝在平地上有一噴嘴噴出的水流呈拋物線狀，噴出的水流高度 y（m）與噴出水流離噴嘴的水平距離 x（m）之間滿足（1） 噴嘴能噴出水流的最大高度是多少？（2） 噴嘴噴出水流的最遠距離為多少？變式 某公園要建造圓形噴水池，在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子 OA， O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子頂端 A 處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離 OA 距離為 1m 處達到距水面最大高度 2.25m.如果不計其它因素，那么水池的半徑至少要多少 m 才能使噴出

5、的水流不致落到池外？例 3 如圖，一名運動員在距離籃球圈中心 4m（水平距離）遠處跳起投籃，籃球準確落入籃圈，已知籃球運行的路線為拋物線，當籃球運行水平距離為 2.5m 時，籃球達到最大高度，且最大高度為 3.5m，如果籃圈中心距離地面 3.05m，那么籃球在該運動員出手時的高度是多少米？拱橋問題和運動中的拋物線問題三、課堂小結轉(zhuǎn)化的關鍵建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼的軌驅(qū)嶋H距離準確的轉(zhuǎn)化為點的坐標；選擇運算簡便的方法.當堂檢測1. 足球被從地面上踢起，它距地面的高度 h(m)可用公式 h=4.9t2+19.6t 來表示， 其中 t(s)表示足球被踢出后經(jīng)過的時間，則球在 s 后落地.2. 如圖，小李

6、推鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度 y(米)關于水平距離 x(米)的函數(shù)解析式為 y = - 1 x2 + 1 x + 3 ，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為822米.第 2 題圖第 3 題圖3. 某公園草坪的防護欄是由 100 段形狀相同的拋物線形組成的，為了牢固起見， 每段護欄需要間距 0.4m 加設一根不銹鋼的支柱，防護欄的最高點距底部 0.5m(如圖)，則這條防護欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為（ ）A.50mB.100mC.160mD.200m4. 有一座拋物線形拱橋，正常水位時橋下水面寬度為 20m，拱頂距離水面 4 m如圖所示的直角坐標系中，求出這條拋物線表示的函數(shù)的解析式.

7、5. 跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一，運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分一名運動員起跳后，他的飛行路線如圖所示，當他的水平距離為15m 時，達到飛行的最高點 C 處，此時的豎直高度為 45m，他落地時的水平距離（即 OA 的長）為 60m，求這名運動員起跳時的豎直高度（即 OB 的長）能力提升懸索橋兩端主塔塔頂之間的主懸鋼索，其形狀可近似地看作拋物線，水平橋面與主懸鋼索之間用垂直鋼索連接.已知兩端主塔之間的水平距離為 900 m，兩主塔塔頂距橋面的高度為 81.5 m，主懸鋼索最低點離橋面的高度為 0.5 m.(1) 若以橋面所在直線為 x 軸，拋物線的對稱軸為 y 軸，建立平面

8、直角坐標系， 如圖所示，求這條拋物線對應的函數(shù)表達式；(2) 計算距離橋兩端主塔分別為 100m，50m 處垂直鋼索的長.參考答案自主學習知識鏈接（1）y=ax2（2）y=ax2+k（3）y=a(x-h)2+k 或 y=ax2+bx課堂探究二、要點探究探究點 1：利用二次函數(shù)解決實物拋物線形問題合作探究問題 1以拱頂為原點，拋物線的對稱軸為 y 軸，建立直角坐標系，如圖問題 2由于頂點坐標是（0，0），因此這個二次函數(shù)的形式為 y=ax2 問題 3 已知水面寬 4 米時，拱頂離水面高 2 米，因此點 A（2，-2）在拋物線上， 由此得出-2=a·22，解得 a= - 1 .2問題 4

9、解：這條拋物線表示的二次函數(shù)為 y= - 1 x2 . 當水面下降 1m 時，水面2的縱坐標-3令 - 1 x2 = -3, 解得 x = - 6, x =6. 即， 水面下降 1m 時， 水面寬度增加2126(2- 4)m.典例精析例 1解：（1）根據(jù)題意得 C（0，4），把 C（0，4），代入 y - 1 x2+2x+c，得6c=4.所以拋物線解析式為 y - 1 x2+2x+4.6（2）拋物線解析式為 y - 1 x2+2x+4= - 1 (x-6)2+10.所以對稱軸為 x6，由題意66得貨運汽車最外側與地面 OA 的交點為（2，0）或（10，0），當 x2 或 x10時，y 22 6

10、，所以這輛貨車能安全通過.33（3）令 y8，則- 1 (x-6)2+10=8,解得 x16+26,x26-2,則 x1x24.所333以兩排燈的水平距離最小是 4m.變式解：（1）如圖，以 O 為原點建立直角坐標系，易得拋物線的頂點坐標為（8，8）.設 ya（x8）2+8，將點（0，0）代入上式得 064a+8，解得 a= - 1 .8故函數(shù)的表達式為 y - 1 （x8）2+8（0x16）.8（2）由題意得車沿著隔離帶邊沿行駛時，車最左側邊沿處，x7.53.54，當x4 時，y6，即允許的最大高度為 6 米，5.86，故該車輛能通行.探究點 2：利用二次函數(shù)解決運動中拋物線型問題例 2 解

11、：(1)y - 1 x2+2x= - 1 (x-2)2+2.故當 x2 時，噴嘴噴出水流的最大高度22是 y2.(2)令 y=0,即- 1 x2+2x=0,解得 x1=0,x2=4.即噴嘴噴出水流的最遠距離為 4m.2變式解：建立如圖所示的坐標系.根據(jù)題意得，A 點坐標為(0，1.25)，頂點 B 坐標為(1，2.25).設拋物線為 y=a(x+h)2+k，由待定系數(shù)法可求得拋物線表達式為： y= (x-1)2+2.25.當y=0 時,可求得點C 的坐標為(2.5,0) ;同理，點 D 的坐標為(-2.5,0) . 根據(jù)對稱性， 如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要 2.5m，才能使噴出的水

12、流不致落到池外.圖圖例 3 解：如圖，建立直角坐標系.則點 A 的坐標是（1.5，3.05），籃球在最大高度時的位置為 B（0，3.5）.以點 C 表示運動員投籃球的出手處.設以 y 軸為對稱軸的拋物線的解析式為 y=a(x-0)2+k ，即 y=ax2+k.而點 A，B 在這條拋物線上，所以有ì2.25a + k = 3.05, 解得ìa = -0.2, 所以該拋物線的表達式為 y=0.2x2+3.5.îîík = 3.5,ík = 3.5.當 x=2.5 時，y=2.25 .故該運動員出手時的高度為 2.25m.當堂檢測1.42.

13、23.C4. 解：設該拱橋形成的拋物線的解析式為 y=ax2.該拋物線過(10,-4),-4=100a， a=-0.04.y=-0.04x2.5. 解：設拋物線的解析式為 ya（xh）2+k，根據(jù)題意得：拋物線的頂點坐標為（15，45），ya（x15）2+45，與 x 軸交于點 A（60，0），0a（6015）2+45，解得：a - 145.解析式為 y= - 145（x15）2+45，令 x0 得：y - 145（015）2+45=40.這名運動員起跳時的豎直高度為 40 米能力提升解：（1）根據(jù)題意，得拋物線的頂點坐標為（0，0.5），對稱軸為 y 軸，設拋物線的函數(shù)表達式為 y=ax2+0.5. 拋物線經(jīng)過點（ 450 ， 81.5 ）， 代入上式， 得81.5=