全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題

1、全國高中數(shù)學競賽模擬試題一、選擇題(每題6分共36分)1 .由0,1,2,3,4,5六個數(shù)字能組成數(shù)字不重復且百位數(shù)字不是5的偶數(shù)有個A.360 B.252 C.720 D.2402020項之和為2020,則前2 .已知數(shù)列 an(n >1)滿足an 2 = an 1- an,且a2=1,若數(shù)列的前2020 項的和等于A.2020 B.2020 C.2020 D.20203 .有一個四棱錐，底面是一個等腰梯形，并且腰長和較短的底長都是1,有一個底角是60°,又側棱與底面所成的角都是450 ,則這個棱錐的體積是A.1 B.3C.D.4 .若(2x 4)2na0a1x2 a2xa2

2、nx2n (n £ N+),則a2a4a2 n被3除的余數(shù)是A.0B.1C.2D.不能確定5 .已知x, y<2,72),且 xy44 y2的最小值是A、20B、12C、16D>16 4.26.在邊長為12的正三角形中有n個點，用一個半徑為 J3的圓形硬幣總可以蓋住其中的點，則n的最小值是A.17B.16C.11D.10二、填空題(每題9分共54分)7 .在銳角三角形 ABC中，設tanA,tanB,tanC 成等差數(shù)列且函數(shù) f(x)滿足 f(cos2c尸cos(B+C-A),則 f(x)的解析是為 1008 .(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)的

3、末三位數(shù)是i 19 .集合A中的元素均為正整數(shù)，具有性質：若 a A,則12-a A,這樣的集合共有個.10 .拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線 x+y-1=0與拋物線相交于 A、B兩點,-8 6,若存在，C點的且|AB|= 8-6-.在拋物線上是否存在一點C,使ABE正三角形坐標是11 .在數(shù)列an中，a1=2, an an 1 1(n N )，設Sn為數(shù)列aj的前n項和，則S20072 s2006S2005 的值為12 .設函數(shù)f(x) 3TFx ,其中0.函數(shù)f(x)在0,)上是單調遞減函數(shù);則的取值范圍是.三、解答題(每題20分共60分)213 .已知點A、50和曲線上

4、y2 12 x 2 J5, y 0上的點P1、P2、Pn。4若PA、RA、PnA成等差數(shù)列且公差 d >0,(1) .試將d表示為n的函數(shù)關系式.411口一，*，八(2) .右d-，-尸，是否存在滿足條件的 n(n N ).右存在，求出n可取的所有值，右不存在，說55明理由.14 .設 a,b,c C(1,+ 8),證明：2(log1a+logb + logAC)>9.a b b c c a a b c15 .定義下列操作規(guī)則：規(guī)則A:相鄰兩數(shù)a、b,順序顛倒為b、a,稱為一次“變換”。(如一行數(shù)1、2、3、4要變?yōu)?3、1、2、4,可以這樣操作：1、2、3、41、3、2、43、1

5、、2、4。)規(guī)則B：相鄰三數(shù)a、b、c,順序顛倒為c、b、a,稱為一次“變換”。規(guī)則C：相鄰四數(shù)a、b、c、d,順序顛倒為d、c、b、a,稱為一次“變換”。現(xiàn)按照順序排列著 1、2、3、2020、2020,目標是：經(jīng)過若干次“變換”，將這一行數(shù)變?yōu)?020、1、2、2020、2020。問：(1)只用規(guī)則 A操作，目標能否實現(xiàn)？(2)只用規(guī)則B操作，目標能否實現(xiàn)？(3)只用規(guī)則C操作，目標能否實現(xiàn)?參考答案1 .解：末位是0的數(shù)共有個As- A3 ,末位是2或4的數(shù)共有2( a4a/- A3A2)個. 由加法原理，共有 A4- A3+2( A；A3- A3A；2)=252 個.2 .斛： an

6、3 = an 2 - an 1 =( an 1 - an )- an 1 =- an , 因此，對 n>1, an+an 1 +an 2 + an 3+an 4 + an 5=0,從而數(shù)列中任意連續(xù) 6項之和均為0.2020=334X 6+1,2020=334 X 6+2,所以前 2020 項之和為 a1 ,即 硼=2020 于是前2020項的和等于a1 + a2=2020.所以選（C）.3 .解：這個體積是底邊和高均為 1的正六棱錐的體積的一半，因此 V4.解：aQ a2 a412n2n 1 2na2n =(2 4)( 2 4)尸一622a2 a4a2n = 22n1(32n 1) 4

7、2n( 1)2n 1 1 12n=-21(mod3).所以選(B).15.解：由已知得y ,所以x44T4彳-2x4x4 16x2 24x4 9x227x24x4 9x2(4x222 ) x4x2"4 4、,2 x當且僅當4x2時，取等號8故當x二時,822 x244 y2有最小值164.2所以選C6.解：如圖（1）,作一個分割，在每個交叉點上置一個點，這時任意兩點間距離不小于4>2 J3（硬幣直徑），故這時硬幣不能蓋住其中的兩個點，說明n=10是不夠的.如圖（2）,另作一個分割，得到16個全個等的邊長為 3的正三角形，其中“向上”的三角形4,共有10個，它們的外接圓的半徑正好

8、是V3.借助圖（3）可以證明：只要圖（2）中的10個“向上”的三角形都用硬幣覆蓋，則三角形ABC完全被覆蓋，這時若在三角形ABC內(nèi)置11個點，則必有一個硬幣可以至少蓋住其中的2個點.故n的最小值是11,所以選（C）.6.解：Q 對 x, y R,有f(xy 1)(3)2,有f(xy 1)f(y)f(x) f(x)f(x)f(y) f(y) x 2=f(y)f(x) f(x) y 2即 f(x) y f(y) x,令y 0,得f(x) x 1。7.解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB,于是有 3tanB=tanA

9、tanBtanC,因為 B 為銳角，所以 tanB w 0,所以 tanAtanC=3,令 cos2C=x,貝U cos2 C =-x ,所以 tan2 A =2tan C9_9(1 x)所以 cos(B+C-A)=cos(2 A-2A)=-cos2A=1-2 cos A =1-1111xcos2 C2_45x2 .tan A 5 4x4 5x即 f(x)=.5 4x8.解:(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=100i +100i+9100 i +100i+212=10000i （i100所以 （10ii 1所以末三位是9.解：從集合21) +3000i(i+1)+189

10、189(mod1000).1001)(10i 3)(10i 7)(10i 9)189=189X 100 900(mod1000).i 1900A 的性質可得，A 必然是六個集合1,11,2,10,3,9,4,8,5,7,6,中某幾個的并集，因此符合要求的a共有C6+C6+C（?+C（4+C|+C66 =26-1=63個.210.解：設所求拋物線方程為 y2 2px（p 0）,由弦長|AB|=8,611建立關于p的方程.-2 1244得p= 二或p=- 24（舍去），故拋物線方程為 y2 x.111111設AB的中點為D（X0,y。），拋物線上存在滿足條件的點由于 ABC為正三角形一.3.所以

11、CDL AB, |CD|= |AB|=由 CDJ_ AB得 x3 y3_25解得x3 芻,11215由|CD| 12立111110T1y3或x3 ,y1111C(x3,y 3),12.3.11得|x3y3 1|1411114但點（,）不在拋物線上.故拋物線上存在一點（空當111111.解：當n為偶數(shù)時，a1 a2 a3 a4an 1an 1當n奇數(shù)時,a12 , a2a3a4a5an 1 a n故 S20072 s2006S20051005 2 1003 1004 312.解：（1）設 0x1X2則 f(X) f(x2)(XiX2):23(1Xi)231131 X23(1X2)2.設 M 3

12、(1 x1)23 1Xi 3 1X2V（iX2）2,則顯然M 3.1f(X1)f(X2)0, 一M11 1一 1-,只需要 ，就能使f（x）在0,）上是M33單調遞減函數(shù);13.y>0,故為遞增數(shù)列P1A最小，|PnA最大2由方程上 y241 2 x 2j5, y 0知A(J5,0)是它的右焦點L: X4，、，產(chǎn)是它的右準線. 5PA 75 2 RA 3于是 3 (而 2) (n 1)dd 55(n 1)n 1,111551(2) - d (-,-/=)1丁-T=5,55 n 1.5、i，L L U、一,. *.設n (5%，,5 4,26 5中5) 又 n N ，n取最大值14, n取

13、最小值8.n 可取 8、9、10、11、12、13、14 這七個值。14.證明：: a,b,c 1(1,+ °°), log ba,log cb,log ac,都是正數(shù),并且它們的乘積等于1,.logb a logc b loga c 'logba logc b loga c _3 + ' 3 31=a b b c c a(a b)(b c)(c a)3 (a b)(b c)(c a)又2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)>3 3/(a b)(b c)(c a),1、33_>=3 (a b)(b c)(c a) (a b) (b

14、c) (c a) 2(a b c)log b a logc b log a c 9-+ = + -江a b b c c a 2(a b c)log b a logc b log a c即2(+ +)力a b b c c a a15.解答：（1）能，實行如下操作:1、2、L、2003、2004、20051、2、L、2003、2005、2004 1、2、L、2005、2003、2004 -八、（4分）L1、2005、2、3、L、2003、20042005、1、2、L、2003、2004（2）不能，從左到右，把數(shù)所占的位置編上號，按照規(guī)則B,若數(shù)m在k號位置，一次變換后可能是k 2、k、k 2號位置，所以操作過程中數(shù) m所占位置的奇偶性不會改變。而1、2、3、2020、2020中1在1號位，目標 2020、1、2、2020、2020中1是2號位，這不可能。（8分）（3）能，通過如下操作（記為“*操作”）：a、 b 、c、 d、e d 、 c 、b 、 a 、 e d、e、a、b、c b、a 、 e、d 、 cb、 c 、 d 、 e 、 ae、d 、c、b、 ae、a、b、c、d可以將一個數(shù)往前提4 個位置，而其他各數(shù)的順序不變。（12 分 ）將 2001 、 2002、 2